特训4 导数及其应用-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

11.解析：函数f(x)=(x-a)1n十b的定义裁满足+b x >0,即x(x+b)>0, 由题知f(x)的定义域关于x=2对称，故b=一4. 则f(4-x)=f(x), 即(x-a)'1n4=(4-x-a)'1n44, x 4-x 故(-a)1n二4=(x十4-4)n二4， x 则x-a=x十a-4,解得a=2.故a十b=-2. 答案：一2 12.解析：今y+3x十4由x∈R.则有+（③y-1)x +4y=0, 当y=0时，有x=0: 当y≠0时，则有△=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y+1 =-(7y-1)(y+1)≥0， 解得-1≤≤号，又y≠0，即-1≤y<0或0<≤号. 签上可得-1Gy分则)-+3中十g=叶 8[g篇] 故y=[f(x)门的值域是{-1,0,1. 答案：{-1,0,1} 13.解：(1)因为g(x)=(m2一m十1)xm是暴函数，所以 m一m十1=1，解得m=0或m=1.当m=0时，g(x)= x乞，g(x)在区间(0，十o∞)上单调递减，舍去：当m=1 时，g(x)=√元，g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，符合 题意，故g(x)=√元.又当x>0时，f(x)=g(x)十2 √x+2,且f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0, 当x<0时，一x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(√/一z Wx+2, x>0, +2)=-√一x-2.故f(x)= 0, x=0 --x-2,x<0. (2)由f(t-2t)+f(2-k)>0,可得f(t-2t)> 一f(2一k).因为f(r)是定义域为R的奇函数，所以 f(t2-2t)>f(-2t2+k).由当x>0时，f(x)=√G+2 >2,可知f(x)在(0，十∞)上单调递增，当x<0时， f(x)=-√一x-2<-2,结合f(0)=0,f(x)为奇函 数，得f(x)是R上的增函数.故t一2t>一2t+k,即 <3r-2弘周为3r-21=3-号)广-弓e.所以 312-21≥- 子，所以<一子，即实数及的取位范国 ·6 14.解：(1)函数的定义域为R,因为函数f(.x)=log2(4十 1)十kx为偶函数，所以f(一x)=f(x),即log2(4厂十 1)-k.x=log2(4+1)+k.x,所以2k.x=log2(4r+1) 4+1 45 1og2(4+1D=log:r+1=log4=-2, 所以k=一1. (2)因为f(x)=1og,(4+1)-x=1g2华十1 10g(2+号）当≥0时，2≥1y=2r+单洞递 增，所以f(x)在[0，十∞)上单调递增.又函数f(x)为 偶函数，所以函数∫(x)在（一∞，0]上单调递减.因为 f(2mm十1)>f(m-1),所以|2+1|>m-1,解得 m<-2或m>0,所以不等式的解集为(-0∞，一2)U (0,十∞) (3)因为函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，所以 方程f(x)=g(x)有两个不同的根，即log(4F十1)一x =log2(a·2十a)有两个不同的根，方程可化为a·2 十a=号1-公+2设1=2>0，则ad+a=1叶 2 即(a-1)t十at-1=0.又t=2在R上单调递增，所以 方程(a一1)2十at一1=0有两个不相等的正根，所以 a-1≠0， △=a2-4(a-1)×(-1)>0, 。号7>0 解得2W2一2<a<1,所 >0… 以实数a的取值范围是(2√2一2,1)， 特训4 1.B[函数f(x)=aln(2x), x 求导得f)=-是1n2x)+是 曲线f(x)在x=?处的切线斜率为 =4a 又曲线f()在x=2处的切线与直线y=3x十5垂直， 1 所以3X4a=-1,解得u=一2] 2.A[f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),且f(x)= 2cosx一3<0，所以函数f(x)为R上的减函数且为奇函 数，因此f(ma-3)十f(a2)>0→f(ma-3)>-f(a)= (2a-3<-a2, f(-a2)→ma-3<-a2,即 -2a-3<-a2 -3<a<1,→-1<a<1.] -1<a<3 3.B[因为f(-x)=-x-sin(-x)=-f(.x),且f(.x)的 定义域为R,所以f(x)=x一sinx为奇函数，所以f(x2 +4x)<-f(3)=f(-3), 因为(x)=1-cosx≥0，且不恒等于0，所以函数f(x) =x一sinx在定义域上为增函数，故x十4x<-3,故解 集为(-3，-1).] 4.C[根据题意，设直线y=kx十b与曲线y=e-1的切 点为(x1,e-1), 与曲线y=e2的切点为(x2,e'22), 因为y=e一1的导数为y=e,y=e-2的导数 为y=e-2, 所以两曲线的切线方程分别为y一e'1十1=e1(x一x1), y-e'22=e2-2(x-x2）, fe5=e'2-2, 可得 ((1-)e1-1=(1-x2)e'22, 解得3=一n2 (x2=2-ln2, 所以切线方程为y-em2十1=en(.x十ln2), 1 则6=2n2-J 5.D[由题设f(x)=6x(x-1),则x<0或x>1时， f(x)>0,0<x<1时，f(x)<0,所以f(x)在(-∞， 0),(1,十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0) =1-a,f(1)=-a. 由2十a=2,即2=2一a,而y=2“在R上单调递增， y=2-a在R上单调递减， 显然2°=1<2一0=2,2=2>2一1=1，故0a<1,所 以f(0)>0>f(1), 又x→一o∞时，f(x)→一∞，x→十∞时，地f(x)→十0∞， 结合f(x)的图象可知f(x)共有3个零点.] 6A[:6g23, 3 为造通教)=>1，则了)n。 x 令f(x)=0,则x=e. 当1<x<e时，(x)>0;当x>e时，f(x)<0. 故函数f(.x)在(1，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调 递减 由于6=n2_2ln2_n4=f4,c=n3=f3》. 24 4 3 且e<3<4,则f(3)>f(4),即c>b. 又6>}-a,所以a<K] ·6g 7.B[依题意，Vx>0,f(x)>g(x)台a<xe-x-lnx恒 成立，令h(.x)=xe'-x-lnx,x>0, 求导得h(x)=(x+1)e-1-1=(x+1)· (e-）令p)=e-子，则易知g(x)在0，十∞) 上单调递增， 且9（合）=6-2<0,91）=e-1>0.则存在∈ (分1）使得g)=0,即e的= Tp 当0<x<xo时，h'(x)<0;当x>x时，h'(x)>0,所以 函数h(x)在(0，x)上单调递减，在(x,十∞)上单调递 增.由e0=,得xeo三1，十In zo=0,因此h(x)mm =h(Io)=Ioe'o -zo-In Io=1, 则a1,所以a的最大整数值为0.] 8.C[f(.x)=e-ex+2x-2, 则f(1)=0.令f(x)=0,则 e'=(e-2)x十2，如图，作出 e-2m+22头 1 函数y=e,y=(e-2)x+2 y=ex 的大致图象.由图可知函数y 0 01x =e,y=(e-2)x十2的图象有两个交点，即函数y= f(x)有两个零点1，x0,且x<0.令f(x)>0,则x>1 或x<xo:令f(x)<0,则x<x<1,所以f(x)在 (一∞，x),(1,十∞)上单调递增，在(x,1)上单调递减， 故f(x)的极大值点为xo,极小值点为1.函数y=x在 (一∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，所以函 数有极小值点，无极大值点，故A不符合题意.函数y= 一x在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， 所以函数有极大值，点，无极小值，点，故B不符合题意.由 y=x3-3x可得y=3x2-3,当x<-1或x>1时，y= 3.z-3>0:当-1<x<1时，y=3.z2-3.x<0,所以函数 y=x3-3x在(-，-1)，(1，+∞)上单调递增，在 (-一1,1)上单调递减，所以其极大值点为一1，极小值点 为1，故C符合题意.y=-x3+3.x=-(x3-3x),则由C 选项分析可知函数y=一x十3x的极小值点为一1，极 大值点为1，故D不符合题意.] 9.ABD[因为fx)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0, 故A正确；当x<0时，一x>0,因此f(-x)=[(一x)2-3] er+2=-f(x),因此f(x)=-(x2-3)·e-2,故B 正确；当x>0时，f(x)=(x-3)·e+2,f(x)=(x +2x-3)e=(x+3)(x-1)e,令f(x)>0,得x>1,令 f(x)<0,得0<x<1,因此f(x)在x=1处取得极小 值，因此奇函数f(x)在x=一1处取得极大值，故D正 确：当x>0时，f(x)≥2，即(x2一3)e≥0，解得x≥√3， 当x<0时，f(x)在x=一1处取得极大值，f(-1)= (1-3)e-2=2e-2>2,因此在(-∞，0)上也存在满足 f(x)≥2的区间，故C错误.] 10.Ac[对于函教fe)=n1十x)-ln1-)十2，令 1+x>0 1一x>0,解得一1<x<0或0<x<1, (x≠0 所以函数的定义域为(-1,0)U(0,1), 又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)-2 =-[n1+)-h1-)+2]--fx. 所以f(x)为奇函数，函数图象关于(0,0)对称， 故A正确； -22 =x-1 =-2z2-2(x2-10=2-4x2 (x2-1)x2 (x2-1)x 当.号)时f0,即在()上单 递减，故B错误； 当a(停.1时f>0甲e)在 递增， 根据奇函数的对称性可知f(x)在 -1,-)上单羽 增，在（0上单调递诚， 所以的板小值点为号板大值点为一号，故C正 确；又f(x)椒小值= =ln(3+2√2)+2√2>0， 且当x趋近于1时，f(x)趋近于无穷大，当x趋近于0 时，f(x)趋近于无穷大，所以f(x)在(0,1)上无零点， 根据对称性可知f(x在（一1,0）上无零点，故f(x)无 零点，故D错误.] 11.解析：由y=e十x十a,得y=e十1.设切点为P(x, yn),由直线y=2x十5是曲线y=e十x十a的一条切 线，得/+1=2， 解得0， 12x0+5=eo+xo+a,a=4. 答案：4 12.解析：因为f(x)=(x-1)(.x-2)(x-a)=x3-(a十3) x2+(3a+2)x-2a,所以f(x)=3.x2-2(a+3)x +3a+2. ·63 因为x=2是f(x)的极值，点，所以f(2)=12-4(a十3) 十3a十2=0，解得u=2,经检验，符合题意，所以f(x) =(x-1)·(x-2)2,所以f(0)=-4. 答案：一4 13.解：1)因为fx)=号ar-d, 所以f(x)=2a.x2-2.x, 则了1=2a-2=1,解得a=号， 所以f(x)=x3-x2,则f(.x)=3x2-2x=x(3.2-2), 所以当0<<号时f()<0, 当号<<2时)>0， 所以八)在(0号)上单调递减，在（导2）上单调递 增.又f0)=0f2)=41(号)=-克 所以函数f)在区间[0,2上的最小值为f(学)=一哥， 最大值为f(2)=4: 2 (2)函数fx)=子ax-t的定义战为R且f(x) 2a.x2-2.x=2.x(a.x-1), 若a=0时，当x<0时f(x)>0,当x>0时f(x)<0, 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十o∞)上单调 递减：若a>0时，剥当x<0或x>时f()>0, 当0<<时f(x)<0, 所以f)在(-0,0…（位+）上单调适培，在 (0,)上单调递减： 若a0时，则当K日或>0时f)<0, 当工<x<0时f(x)>0, 所以f(x)在(，日）(0，十∞)上单调递减，在 (位0)上单词递增： 综上可得：当a=0时f(x)在（一∞，0）上单调递增，在 (0,十∞)上单调递减； 当a>0时f(x)在(-∞，0)， (合十）上单调递增， 在(0，口)上单润递减： 当a<0时f)在(-，），0，+∞)上单调递减， 在（日0）上单调递增。 14.解：(1)由条件，g(x)=(e-1)cosx-sinx,.x∈(0,2π) g(x)=e"cos x-(e*-1)sin x-cos x=(e*-1) (cos x-sin x), 由0<x<2x,e>1,所以e-1>0, 令g(x)>0,则cosx>sinx, 得0<<子或<<2， 令g(x)<0,则cosx<sinx,得T<x< 所以g)在(0，牙)和（平，2x上单调道增， 在（任，）上单调递减 (2)由h(x)=e'-a-xcos x,则h'(x)=e-cosx十 xsin x,x∈[0,2π] 令g(x)=e-(x十1)，则g'(x)=e-1≥0， 所以当x∈[0,2π]时，p(x)单调递增， 又p(0)=0,所以p(x)≥0→e≥x十1， h'(x)=e-cos x+xsin x+1-cos x+xsin x =x(1+sinx)十(1-cosx)≥0， 所以h(x)在[0,2π]上单调递增，h(0)=1一a, h(2x)=e2-2π-a 由题意，1-a≤0≤e2-2r-a,解得1≤a≤e2x-2π， 所以a的最小值为1. 特训5 1.A[报据余孩定理有cosA=AE+AC-BC 2·AB·AC -6+4+28-4_2,因为0°<A<180,所以A=45.] 2√6(1+√3) 2.D[因为os号-5所以ms=2as号-1-， 又0a<所以=oa小品=专则 sin(e-子）=竖（sim。-coa)=号 2 (传+)语 3B[正切函数y=nx因象的对称中心为（受，0）k∈ Z.由点(a,0)a>0)是函数y=2an(r-晋）的图象的 一个对春中心，可知a一子-经∈，即a=晋十经 (∈Z.由a>0可得，当友=0时a取得最小值受.] 4.B[在锐角△ABC中，A,B∈(O,受： 则2B∈(0，π)，又cosA=cos2B, 所以A=2B, ·64 0<2B<受 又0<B<受 ,所以晋<B< 0<x-3B<受 所以2cosB<, 所以g=sinA=sin2B_2 sin Beos B 6sin B sin B sin B =2cosB∈（√2，W3), 故符合题意的只有B.] 5.Λ[因为()在[一设是]上单润追增，所以臣 ()下即0<w<2 因为直线1=臣为()图象的一条对称轴，（受，0）为 f(x)图象的一个对称中心， 所以号-音=+∈N0.甲。=21+2张，，∈ 2 N),故w=2,所以f(x)=sin(2x+g),又f(是) =sin(5+9）-1,故晋+g=+2,m(,∈0， 则g=晋十2：xk:∈Z. 因为-<g<,所以g-号，即f()=sin(2x+于) 当r[0音]时2x+[学智] 所以m(+)[小 故当x∈[0受]时，fx)的最小值为-.] 6.C [f(x)=(sin x+cos x)2+/3cos 22 sin'x+cos'x+2sin xcos x+/3cos 2x -1+sin 2r+3cos 2r=1+2sin(2x+ T=经=x,①正确： 当2x+号=受+2km,k∈Z时，f代x=3,②正确： 令受+2kx≤2x+号<竖+2x,k∈Z 解得是十≤r<径+m,k∈乙. 因此减区间为[臣+x登+x]k∈Z.®正确： 令2x十晋=m,k∈Z,解得x=-否十经，k∈乙，此时 f(x)=1,④错误.]数学 特训4导数及其应用 (时间：60分钟满分：90分) 、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.曲线/)=lh(2x)在x=号处的切线与直线y=3x+5垂直，则a= () 警 A- B.- 1 12 c D 斯 2.已知函数f(x)=2sinx一3x,若对任意m∈[一2,2]，f(ma-3)+f(a)>0恒成立，则实 数a的取值范围是 ( A.(-1,1) B.(-∞，-1)U(3,+∞) h C.(-3,3) D.(-∞，-3)U(1,+o) 和 3.已知函数f(x)=x一sinx,则不等式f(x2+4x)十f(3)<0的解集为 A.(-∞，-3)U(-1,+∞) B.(-3,-1) C.(-2-√7，-2十√7) D.(-∞，-2-√7)U(-2+√7，+∞) 1 4.若直线y=x+b是曲线y=e一1的切线，也是曲线y=e2的切线，则实数b=() 阳 数 A.2n2+1 Bn2+号 c22- 2 D.gi2 5.已知实数a满足2a+a=2,则函数f(x)=2x3一3x2+1一a的零点个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 1 6.已知a= 2。,则a6c的大小关系为 ,6= ( A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.6<c<a 7.若函数f(x)=x(e-l)的图象恒在g(x)=lnx十a的图象的上方，则a的最大整数值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 ·9· 8.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分 布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=。一er+(x-1),则下列 给出的函数中，其图象与y=f(x)的图象“相似”的是 A.y=z2 B.y=-x2 C.y=x-3x D.y=-x3+3x 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2一3)e+2,则 A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 10.若函数f(x)=ln(1十x)-ln(1-)+2,则 A.f(x)的图象关于(0,0)对称 B.f(z)在0,2上单调递增 2 C.()的极小值点为号 D.f(x)有两个零点 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.若直线y=2x十5是曲线y=e+x+a的一条切线，则a= 12.若x=2是函数f(x)=(x一1)(x-2)(x一a)的极值点，则f(0)= ·10· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.18分)已知函数fr)=号ar-. (1)若f(1)=1,求函数f(x)在区间[0,2]上的最值； (2)讨论函数y=f(x)的单调性. 。11· 14.(15分)已知函数f(x)=e-a. (1)若a=1,g(x)=f(x)·cosx一sinx,讨论函数g(x)在(0,2π)上的单调性； (2)若h(x)=f(x)一xcos x在[0,2π]上有唯一的零点，求实数a的最小值. 脚 烯 ·12·