特训3 函数及其性质-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

数学 特训3函数及其性质 (时间：60分钟 满分：90分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.若函数y= 的定义域为M,值域为N,则M∩N= √2x-x 警 A.(0,+o∞) B.(2,+∞) C.(1,2] D.[1,2) 2.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x, 则 斯 c h 3若函数f)=x1+”。 是偶函数，则m= ( 柄 A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.函数f(x)=cosx·1n(2十2x)在区间[一3π，3π]上的图象可能是 5.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心 学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1十1%)365=1.01365；如果每天的 “退步”率都是1%，那么一年后是(1一1%)365=0.99365.那么大约经过几天后“进步”的是 “退步”的2倍？请选出最接近的一项.(1g2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈ 1.995356) A.25 B.30 C.35 D.40 ·5· log2x,0<x≤2， 6.已知函数f(x)= 若f(a十1)-f(2a-1)≥0，则实数a的取值范围是 2x-3,x>2, A.（-∞，2] B.[2,+∞) C.[2,6] 7.已知奇函数f(x)是R上增函数，g(x)=xf(x),则 A.g log,g(2)8(2) Bg1og)>g(2)>g(2) C.g(2)>g(2)>glg, D.g((2o 8.已知2+log2x=3十logy=5十log之，则x,y,之的大小关系不可能为 A.x>y>z B.>>y C.y>x>x D.y>>x 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知定义在R上的函数f(x)在（一∞，2]上单调递增，且f(x十2）为偶函数，则() A.f(x)的对称中心为(2,0) B.f(x)的对称轴为直线x=2 C.f(-1)<f(4) D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为 10.若实数x1,x2满足e1=2-x1,x2nx2=1一2x2,则 A0K<号 B.x2(2-x1)=1 C.x2 D.x-x1<2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 11.已知函数f(x)=(x一a)1n十也的图象关于直线x=2对称，则a十b= 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数y=[x]称 为高斯函数，其中x∈R,[x]表示不超过x的最大整数，例如：[一2.1]=一3，[3.1]=3. 已知函数f(x)= 十日，则函数y=[f(x)]的值域是 x2+3x十4 ·6 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13.(13分)已知幂函数g(x)=(m2-m+1)x”在区间(0，十∞)上单调递增，定义域为R 的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=g(x)十2. (1)求f(x)的解析式； (2)若对于任意实数t,都有f(t一2t)+f(2t一k)>0恒成立，求实数k的取值范围. ·7· 14.(15分)已知函数f(x)=log2(4+1)+kx为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解关于m的不等式f(2m+1)>f(m-1); (3)设g(x)=log2(a·2十a)(a≠0)，若函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，求实数 a的取值范围. 砌 烯 ·8·因为DA=DB,所以点E在线段DM上，不妨设DE= ADM,A∈[0,1]，所以CE=CD+ADM. 易知DM=DA+AM=C店-号Cd.所以C正=CD+ ACB-cD)-（1-合)ci+aC店.周为c正=xC +yCD所以x+y=1-之+入=1+交因为A∈[0,1小， 所以+y-1+含∈[]门 9.BC[设x=a十bi,a,b∈R,由|≈-1|=|x|=1,得 (@-1”郑得a=方=士9 √Q2+6=1, 对于A=了士受不是实数，A错溪：对于B到= |a-bil=√a+(-b)产=√a+6=1,B正确；对于C, 十8=a十6i十a-i=2a=1.C正确：对于D.由=十 知≠，因此，三≠1，D错误.] 10.BD[若b=0,则显然有a∥b,b∥c,但a与c没有限制 条件，故a∥c未必成立，故A错误；a在b上的投影向 量为公b9b=4,2,故B正确：与向量12》共 线的单位向量为e= C错误；若向量a=(cos&,sina),b=(2,1),则a-b= √(cosa-2)'+(sina-1)'=√6-2(2cosa+sina) =√6-2√5cos(a-gp)≤√/6+2W5=√5+1，其中cosg 2,ng=5,当且仅当。-9=十2,6长乙时， =25 |a-b取得最大值√5+1，故D正确.] 11.AD[设数列{an}的首项为a1 由已知联6少么则兽-常则教列{侣}为常数列， 即号-号，所以a,=a,则a1一a,=(n+1Da,-0 =a1,所以数列{an}为等差数列，A正确；由cn⊥bn,得 十：不为定值，所以 (n十1)a+1=-an,即a1=-n 数列{an}不是等比数列，B错误；由已知得b1=(1,2), c1=(a1a2),c2=(a2a3),由c1·b1=c2·b1,得a1十 2a2=a2十2a3,即a1十a2=2a3,无法确定c=c2（另解： 若C1·b1=c2·b1=0,即c1⊥b,c2⊥b1,则无法确定C1 ·5 =c2),C错误；an=2n-3,则c,=(a1,ag)=(-1,1),又 b,=(3,4),所以向量C1在向量b上的投影向量为 ·合-（层）D王] 12.解析：因为=(a十2i)(3-i)=3a十2十(6-a)i为 纯虚数，所以30+2=0 16一a≠0， 所以=一 答案：号 13.解析：由a十b十c=0,得(a十b+c)=a十b十c2十2a· b+2b·c+2c·a=0,故2(a·b+b·c+c·a) =-(a2+b2+c2) =-9 心a:b+b·c+e…a=-9」 2 答案：-号 14.解析：因为a=1.b1=3,cosa,b>=子，所以(2a+b). b=2a·b+b|2=2a·|b·cos<a,b>+1b12=2×1 ×3×号+32=1. 答案：11 特训3 1.D[由y= 有意义可得2x一x2>0,所以x2 2x-x 2x<0,解得0<x<2,所以函数y= 的定义域 /2x-x M=(0,2). 由0<x<2,可得y=2.x-x2=-(x-1)2+1∈(0,1]， 所以函数y= 1一的值城N=[1,十∞)，所以M门 √2.x-x N=[1,2).] 2.A[由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数可得， f(-)=f()=(+2）-()周为当2≤x ≤3时f)=5-2x,所以f()=5-2x号=-2 即(4)=-2] 3.A[函数f)=(+)的定义城为xx≠0， 由f(.x)是偶函数，得f(-x)=f(x), 即-+0)）=（+”小理将” e*-1 =-2,所以m=一2.] 4.D[因为f(x)的定义域为R,关于原点对称， 且f(-x)=cos(-x)·ln(2+2)=cosx·ln(2r+ 2)=f(x), 所以∫(x)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除 A,C. 因为f(0)=ln2>0,故排除B.] 5.C[假设经过n天，“进步”是“退步”的2倍， 则(90)广=2即(9)广=2 解得n=logg2=1g101-1g99 lg 2 0.301030 =2.004321-1.995635 ≈35， 即经过约35天，“进步”是“退步”的2倍.门 6.D[因为当x∈(0,2]时，f(x)= y=f(a) log2x单调递增，此时f(x)≤ f(2)=1,当x∈(2，十oo)时， f(x)=2.x一3单调递增，此时 0 f(x)>1, logx,0<x2, 所以f(x) 是 2x-3,x>2 定义在(0，十©∞)上的增函数. 所以若f(a+1)-f(2a-1)≥0， 即f(a+1)≥f(2a-1), 则a+1≥2a-1>0,得号<a<2.] 7.B[由奇函数f(x)是R上增函数可得，当x>0时， f(x)>0, 又g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf-x) =xf(x)=g(x), 即g(x)为偶函数，且当x>0时单调递增， 根据偶函数的对称性可知，当x<0时，函数单调递减， 距离对称轴越远，函数值越大， 因为g(g）)=gg4g2)=g()月 82)-s里)而1g4>11>2>2>0,即 1og4>2号>2号，所以g(log）>g(2音) g(2).] 8.B[由题意知log2x=1十logy=3+logz, 令log2x=1+log3y=3+log之=k,则x=2*, y=3-1,之=5-3， y 大小关系 结论 0 1 3 125 I>y>x A正确 8 9 1 y>x>≈ C正确 6 64 243 125 y>>t D正确 下面证明：选项B错误， 若x>之，则2>5-3 即 2 <5”,两边同时取自然对 ·60 数，得kln 5<3n5,即为<n5:若>，则53 1n2 脚（得）】 >5,两边同时取自然对数， 得(k-1)·ln >2n5,即k>2n5 3 5 1n3 下面比税和2三+1的大小 1 1n2 1n3 因为3n5 2ln5+1 5 3ln5_2ln5-1 5 1n2 13 1n2 5 1n5(3n号-2n号） -1, 5 因为()广-（侵）-罗-要-器<0，所以 (3）<(受），即3n号<2n号，所以n<2n5 1n2 In 3 +1,所以k<3血5与k>2ln5+1不可能同时成立，故 5 1n2 5 1m3 B错误.] 9.BCD[因为f(.x+2)为偶函数，所以f(-x+2) =f(x十2)，所以f(x)图象关于直线x=2对称， 故A错误，B正确： 又f(x)在(-o∞，2]上单调递增，所以f(.x)在(2，十∞)上单 调递减，所以f(-1)=f(5)<f(4),故C正确； 由不等式f(x十3)>f(4x)结合f(.x)的对称性及单调 性，得x十3-2<4x-2, 即(x+3-2)2<(4.x-2)2,即(5x-1)(3x-3)>0,解得 K号或心1， 所以不等式fx+3)>f(4)的解案为（∞，号）U (1,十∞)，故D正确.] 10.ABD[设函数f(x)=e十x-2,显然为增函数，f(0) =-1<0(合）=e-号>0.由已知x)=0,故 0<,<名，故A正确：由ln=1-2有c片+ n名-2=0，则=he1=又e=2-则 g-)-1故B正：由0n分释号<君 <x2<1,则x2>x1,故C错误；由x2(2-x1)=1得x -2利名=十-2，于<1，得 0C+号-2<g故DE.] 11.解析：函数f(x)=(x-a)1n十b的定义裁满足+b x >0,即x(x+b)>0, 由题知f(x)的定义域关于x=2对称，故b=一4. 则f(4-x)=f(x), 即(x-a)'1n4=(4-x-a)'1n44, x 4-x 故(-a)1n二4=(x十4-4)n二4， x 则x-a=x十a-4,解得a=2.故a十b=-2. 答案：一2 12.解析：今y+3x十4由x∈R.则有+（③y-1)x +4y=0, 当y=0时，有x=0: 当y≠0时，则有△=(3y-1)2-16y2=-7y2-6y+1 =-(7y-1)(y+1)≥0， 解得-1≤≤号，又y≠0，即-1≤y<0或0<≤号. 签上可得-1Gy分则)-+3中十g=叶 8[g篇] 故y=[f(x)门的值域是{-1,0,1. 答案：{-1,0,1} 13.解：(1)因为g(x)=(m2一m十1)xm是暴函数，所以 m一m十1=1，解得m=0或m=1.当m=0时，g(x)= x乞，g(x)在区间(0，十o∞)上单调递减，舍去：当m=1 时，g(x)=√元，g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，符合 题意，故g(x)=√元.又当x>0时，f(x)=g(x)十2 √x+2,且f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0, 当x<0时，一x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(√/一z Wx+2, x>0, +2)=-√一x-2.故f(x)= 0, x=0 --x-2,x<0. (2)由f(t-2t)+f(2-k)>0,可得f(t-2t)> 一f(2一k).因为f(r)是定义域为R的奇函数，所以 f(t2-2t)>f(-2t2+k).由当x>0时，f(x)=√G+2 >2,可知f(x)在(0，十∞)上单调递增，当x<0时， f(x)=-√一x-2<-2,结合f(0)=0,f(x)为奇函 数，得f(x)是R上的增函数.故t一2t>一2t+k,即 <3r-2弘周为3r-21=3-号)广-弓e.所以 312-21≥- 子，所以<一子，即实数及的取位范国 ·6 14.解：(1)函数的定义域为R,因为函数f(.x)=log2(4十 1)十kx为偶函数，所以f(一x)=f(x),即log2(4厂十 1)-k.x=log2(4+1)+k.x,所以2k.x=log2(4r+1) 4+1 45 1og2(4+1D=log:r+1=log4=-2, 所以k=一1. (2)因为f(x)=1og,(4+1)-x=1g2华十1 10g(2+号）当≥0时，2≥1y=2r+单洞递 增，所以f(x)在[0，十∞)上单调递增.又函数f(x)为 偶函数，所以函数∫(x)在（一∞，0]上单调递减.因为 f(2mm十1)>f(m-1),所以|2+1|>m-1,解得 m<-2或m>0,所以不等式的解集为(-0∞，一2)U (0,十∞) (3)因为函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，所以 方程f(x)=g(x)有两个不同的根，即log(4F十1)一x =log2(a·2十a)有两个不同的根，方程可化为a·2 十a=号1-公+2设1=2>0，则ad+a=1叶 2 即(a-1)t十at-1=0.又t=2在R上单调递增，所以 方程(a一1)2十at一1=0有两个不相等的正根，所以 a-1≠0， △=a2-4(a-1)×(-1)>0, 。号7>0 解得2W2一2<a<1,所 >0… 以实数a的取值范围是(2√2一2,1)， 特训4 1.B[函数f(x)=aln(2x), x 求导得f)=-是1n2x)+是 曲线f(x)在x=?处的切线斜率为 =4a 又曲线f()在x=2处的切线与直线y=3x十5垂直， 1 所以3X4a=-1,解得u=一2] 2.A[f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),且f(x)= 2cosx一3<0，所以函数f(x)为R上的减函数且为奇函 数，因此f(ma-3)十f(a2)>0→f(ma-3)>-f(a)= (2a-3<-a2, f(-a2)→ma-3<-a2,即 -2a-3<-a2 -3<a<1,→-1<a<1.] -1<a<3