特训2 平面向量，复数-【创新教程·微点特训】2025-2026学年高三数学寒假作业假期实战特训

数学 特训2平面向量、复数 (时间：45分钟满分：73分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 2.若-2+i+31,则 i A.1-5i B.1-i C.1+5i D.1+i 3.已知a,b是非零平面向量，则“a·b<a2”是“|b<a”的 A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若a=(x,1),b=(2,x-1),则“x=2”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在复平面内，复数对应的点与复数=3对应的点关于实轴对称，则，等于 A.1+i B.-1+i C.-1+i D.1-i 6.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+b)⊥(a+b),则 A.入+=1 B.λ+=-1 C.λμ=1 D.4=-1 7.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为 视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和， 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表中给出了部分风 力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应 的向量与船速对应的向量如图所示（线段长度代表速度大小，单位：/s),则该时刻的真 风为 () 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 视风风速 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 船速 5 劲风 8.0≈10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 ·3· 8.在平行四边形ABCD中，DA=DB,E是平行四边形ABCD内（包括边界）一点， DE·DA_DE·DB.若CE=xCB+yCD,则x十y的取值范围为 DA DB A.[1,2] c.[引 D.[0,1] 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知复数之满足|之一1|=|z=1,则 ( A.x∈R B.=1 C.z+z=1 D.2=1 10.下列四个命题中为真命题的是 A.若向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c B.若向量a=(5,0),b=(2,1),则a在b上的投影向量为(4,2) C.若向量e是与向量(1,2)共线的单位向量，则e= √525 55 D.已知向量a=(cosa,sina),b=(2,1),则|a-b1的最大值为√5+1 11.已知各项均不为零的数列{an,定义向量cn=(an,a+1),bn=(n,n十1)，n∈N”.下列命 题中为真命题的是 A.若对任意的n∈N,都有cn∥b。成立，则数列{an}是等差数列 B.若对任意的n∈N,都有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列 C.若c1·b1=c2·b1,则c1=c2 烯 D.若am=2n一3，则向量c1在向量b上的投影向量为 34 2525 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知复数1=a十2i,之2=3-i(i为虚数单位)，若之12是纯虚数，则实数a= 13.向量a,b,c满足a+b+c=0,a=1,1b=|c=2,则a·b+b·c十c·a= 14.设向量a,b的夹角的余弦值为号，且a=1,b1=3,则(2a+b)·b ·4·。0≥2√傷-品=6，当且仅当 10 5a-9109卑a=163902,6=3E-2时 9(9-a) a十1 17 10 取等号，故b十g。的最小值为61，所以选项D 10 正确.] 12.解析：：A={x-2≤x≤5}， B={xm十1x2m-1}, AUB=A,.B二A, ①当B=⑦时，满足B二A, 此时m十1>2-1，故m<2, ②当B≠必时，因B三A, fm十12m-1, 则m十1≥-2，解得2≤m≤3. (2m-1≤5， 综上，m∈(-0∞，3]. 答案：(-0∞，3] 13.解析：当m=0时，不等式显然恒成立，即x∈R,满足 条件； 当≠0时，为二次函数，要恒大于零只有开口向 上，△0. 所以m>0且△=m2-4m<0,即0<m<4, 综上所述：0≤m<4. 答案：[0,4) 14.解析：因为f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),则f(x十1)= (x十1-a)(x十1-b)(x十1-c), 令f(x十1)=0，可得x=a-1或x=b-1或x=c-1, 由于a<b<c,则a-1<b-1<c-1. f(2-x)=(2-x-a)(2-x-b)(2-x-c), 设g(x)=-f(2-x)=(x十a-2)(x十b-2)(x十c-2), 令g(x)=0,可得x=2-a或x=2-b或x=2-c, 由于a<b<c,则2-c<2-b<2-a. 由f(1十x)f(2-x)≤0，可得f(x十1)g(x)≥0， 若c-l≠2-a,取x1=max{c-1,2-a},x2=min{c 1,2-a, 当x>x1时，f(x十1)>0，g(x)>0,此时，f(x十1) g(x)>0, 当x2<x<x1时，由穿根法可知，f(x十1)g(x)<0, 矛盾， 所以c-1=2-a,即a十c=3,则a-1=2-c, 所以f(x+1)g(x)=[x-(a-1)2]·[x-(c-1)]· [x-(b-1)]·[x-(2-b)], 因为f(x十1)g(x)≥0对任意的x∈R恒成立， ·5 所以[x-(b-1)]·[x一(2一b)]≥0对任意的x∈R恒 成立，则6-1=2-6，解得6=是， 3=9 故a十b十c=3十2=2· 9 答案：2 特训2 1.C[(1十5i)i=i十5=-5十i,则虚部为1.] 2B[因为=2牛+31=2Ψ+i=-2+1+3=1+i, 2 所以=1-i.] 3.B[由b<a,得a·b=a b cos(a,b) a|acos(a,b)≤a,故必要性成立； 由a·b<a°，得a b cos〈a,b)<ab, 得bcos(a,b)<a, b<a不一定成立，故充分性不成立 所以“a·b<a”是“b<a”的必要不充分条件.] 4.A[由a∥b,得x(x-1)=2,解得x=2或x=-1,所 以“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件.] -3+i=(-3+i0(1+21=-5-5i=-1 5.C[由4=1广8=0-2(1+2n 5 -i,所以=一1十i] 6.D由于a=(1,1),b=(1,-1),.a十λb=(1,1)+(λ， -a)=(1+λ，1-)，a十b=(1,1)十(1，-1)=(1+u, 1-).又(a十b)⊥(a+b),.(a+b)·(a+b)= 0,即(1十A)(1十)十(1-A)(1-)=0,解得=-1.] 7.A[如图，设点A(3,3), y B(0,2),C(2,0),由题意 3 视风风速 知，视风风速对应的向量 为AB,船速对应的向量为 CA,因为船行风风速对应 船速 的向量与船速对应的向量 0 1 C2 3 为相反向量，所以船行风风速对应的向量为AC,则真风 风速对应的向量为AB-AC=CB=(-2,2),CB= √(-2)+2=2√2，而2√2∈(1.6,3.3)，故该时刻的 真风为轻风.] 8.B[如图，取AB的中点M,连 接DM. 因为DE:DA_DE.D ,所A M DA DB 以DE·cos∠EDA=|DE cos∠EDB,即cos∠EDA= cOs∠EDB,所以点E在∠BDA的平分线上. 因为DA=DB,所以，点E在线段DM上，不妨设DE= ADM,A∈[0,1]，所以CE=CD+ADM. 易知DM=DA+AM=C店-是CD,所以C正=CD A(CB-2CD)=(1-受)c而+aC成.周为c=xc 十yC方，所以x十y=1-含十A=1+令因为A∈[01小， 所以x+y=1+合∈1,2]门 9.BC[设x=a十bi,a,b∈R,由之-1|=x=1,得 √a+6=1, 对于A=子±：不是实数，A错说：对于B,后 a-bil=√a+(-b)=√a+b=1,B正确；对于C, 十=a十i十a-i=2a=1,C正璃：对于D,由=号 =9由=9得=+9，可 知≠，因此，三≠1，D错误.] 10.BD「若b=0,则显然有a∥b,b∥c,但a与c没有限制 条件，故a∥c未必成立，故A错误；a在b上的投影向 量为6b号b=（4,2,故B正魂：与向量1,2》共 线的单位向量为e= ,)(,)故 C错误；若向量a=(cosa,sina),b=(2,1),则|a-b √(cosa-2)'+(sina-1)'=√6-2(2cosa+sina) =√6-25cos(a-p)≤W6十2√5=√5+1，其中cosg -2n9-号，当且收当。9=+2,6长7时. a-b取得最大值V5+1,故D正确.] 11.AD[设数列{an}的首项为a1 由已知得6么测会-常则数列侣}为常数列， 即号=号，所以a,=a,则a1-a,=(n十1Da,一a =a1,所以数列{an}为等差数列，A正确；由cn⊥bn,得 （m+1a=一a,即。=一n片不为定值，所以 an 数列{an}不是等比数列，B错误；由已知得b1=(1,2), c1=(a1,a2),c2=(a2aa）,由c1·b1=c2·b1,得a1十 2a2=a,十2a,即a1十a2=2a3,无法确定G1=c2(另解： 若C1·b,=c2·b1=0,即c1⊥b1,C2⊥b1,则无法确定c1 ·5 =c2),C错误；an=2n-3,则c1=(a1,a2)=(-1,1),又 b=(3,4),所以向量c1在向量b上的投影向量为 ·合（层）D正确] 12.解析：因为12=(a十2i)(3-i)=3a十2十(6-a)i为 纯虚数，所以 3a+2=0, (6-a≠0， 所以a=-子 答案：-号 13.解析：由a十b十c=0,得(a+b十c)2=a2+b+c2+2a· b+2b·c+2c·a=0,故2(a·b+b·c+c·a) =-(a2+b+c2) =-9 aa6+bc+ca=是 答案：号 14.解析：因为a=1,b=3,cos(a,b>=写，所以(2a十b)· b=2a·b+b2=2a·b1·cos(a,b)+b2=2X1 ×3×号+3=1. 答案：11 特训3 1.D[由y= 1 有意义可得2x-x2>0,所以x2 √2x-x 2x<0,解得0<x<2,所以函数y= 1 的定义域 √/2x-x M=(0,2). 由0<x<2,可得y=2x-x2=-（x-1)2十1∈(0,1]， 所以函数y= 1 的值域N=[1,十o),所以M∩ √2x-x N=[1,2).] 2.A[由f(x)是定义在上且周期为2的偶函数可得， ()=()-f(+2）=(得)国为当2≤ ≤3时，fx)=5-2红，所以f()=5-2×=-2 即f(子)=-] 3.A[画数)=（十）的定义城为x≠0， 由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x), 即-(10)=(+》理将g e-1 =-2,所以m=-2.] 4.D[因为f(x)的定义域为R,关于原点对称， 且f(-x)=cos(-x)·ln(2x+2)=cosx·ln(2+ 2)=f(x), 所以f(x)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除 A,C. 因为f(0)=ln2>0,故排除B.]