第03讲 二次根式的加法与减法（2个知识点+7个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第03讲 二次根式的加法与减法 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：7大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 二次根式的加减】 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下： (1)化成最简二次根式； (2)找出被开方数相同的二次根式； (3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变. 【知识点2 二次根式的混合运算】 （1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算； （2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式. 【题型1 可以合并的二次根式】 【例1】下列各组根式中，能合并的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】首先把二次根式化简，化简后被开方数相同的能够合并． 【详解】解：A、，2与不能合并，故错误； B、，与能合并，正确； C、，|b|，不能合并，故错误； D、与不能合并，故错误； 故选：B． 【变式1-1】下列二次根式，不能与合并的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】④⑤． 【分析】各式化简得到结果，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：， ①； ②； ③； ④； ⑤，， 所以不能与合并的是④⑤． 故答案为：④⑤． 【变式1-2】在下列二次根式中：，，，， （1）能与合并的是 ； （2）能与合并的是 【答案】 ， 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：，，，，， ∴（1）能与合并的是； （2）能与合并的是，． 故答案为：（1）；（2），． 【变式1-3】已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 【题型2 二次根式的加减运算】 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式2-1】计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再去括号进行加减运算； （2）先化简二次根式，再去括号进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-3】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． （2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3 二次根式的混合运算】 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式． （1）先对二次根式化简，再计算括号内减法，然后计算乘除法，最后再算加法即可； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算，然后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3-1】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除混合运算的法则解答即可． （2）根据二次根式的加减乘除混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用平方差公式与完全平方公式计算，再合并同类二次根式； （2）先进行乘除运算，再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先计算二次根式的乘除法，化简，再计算加减法； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 二次根式中巧用乘法公式化简求值】 【例4】已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 【变式4-1】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． （2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ． 【变式4-2】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分母有理化，已知字母的值，化简求值： （1）先进行分母有理化，求出的值，将多项式因式分解后，代值计算即可； （2）先通分进行化简后，代值计算即可． 【详解】（1） ， ； （2）． 【变式4-3】已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 【题型5 二次根式先化简再求值】 【例5】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，代数求值等，解题的关键是掌握二次根式的各运算法则． 先进行二次根式的混合运算，再代数求值． 【详解】解：原式． 将代入，得原式． 【变式5-1】已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 【变式5-2】已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键． （1）首先将，进行分母有理化，再计算即可； （2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可． 【详解】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 【变式5-3】先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 【题型6 二次根式的应用】 【例6】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积 ． 故选：A． 【变式6-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 【变式6-2】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． (1)原长方形纸片的长为 ，宽为 ； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用以及二次根式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，结合面积为，即可计算正方形纸片B的边长，进一步可得答案． （2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 正方形纸片B的边长为， ∴， 原长方形纸片的长为 ，宽为 ． （2）解：∵长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 【变式6-3】如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． (1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】(1)长方形铁皮的长为分米，宽为分米 (2)长方体铁皮盒子的体积为立方分米 【分析】本题考查利用平方根解方程，二次根式混合计算等． （1）根据题意设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米，再列式计算后即可求出本题答案； （2）先求出正方形的边长为分米，再利用长方体体积公式计算即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米． 根据题意可得． 即． ， ， ． 长方形铁皮的长为分米，宽为分米； （2）解：正方形的面积为32平方分米， 正方形的边长为分米． ∴长方体体积， ， ， 【题型7 二次根式的阅读材料题】 【例7】材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是_____________．（写出一个即可） (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据题干求解作答即可； （2）根据 ，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，可判断与的大小． 【详解】（1）解：由题意知，的有理化因式是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下； 由题意知，，， ∵， ∴，即． 【变式7-1】阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【答案】(1) (2)①1，；② (3)8 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和整体思想是解题的关键： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）①根据二次根式的运算法则进行计算即可；②整体代入法，列出方程进行求解即可； （3）用换元法进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ； ②∵， ∴， 解得； （3）设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式7-2】阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：． 例：化简． 解：首先把化为，这里，由于 即． ． 请你仿照阅读材料的方法解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)化简：写出计算过程 (3)化简：为正整数 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（）利用题干中的方法解答即可； （）利用题干中的方法解答即可； （）利用题干中的方法将每个二次根式转化成两个二次根式的差后，利用加法的运算律解答即可． 【详解】（1）这里， ， 即：， 这里， ， 即：， 故答案为：； （2） 这里， ， 即：， （3） ．．．．．．， 原式．．． 【变式7-3】阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 1．下列二次根式，不能与合并的是 （填写序号即可）． ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】②⑤ 【详解】解：根据同类二次根式的意义，化简后被开方数相同的二次根式为最简二次根式，然后可合并，因此可由=，= ，，可得可合并的为②⑤. 故答案为：②⑤. 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 3．设 ， ，则 ； ． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为： ；15． 4．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出的整数部分为，小数部分为，代入计算即可求出值． 将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故答案为：5． 5．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 6．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，，，再按实数的运算法则进行运算即可； （2）按乘法的完全平方公式和乘法的平方差公式进行运算，再算减法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． 7．完成下列各小题： （1）已知，求的值； （2）已知，求式子的值； 【答案】（1）15；（2）±4 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． （2）根据已知等式可得，再利用完全平方公式变形可得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴原式=2（x+y）2-xy=15． （2）∵， ∴， ∴， ∴=±4． 8．已知，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 9．有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的长和宽； (2)若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料； (3)若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？ 【答案】(1) (2)能 (3)5根 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； （3）根据，，则，从而可以得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为 ∴正方形的边长为： ∴， ∴矩形木板的面积为 （2）解：能，过程如下： ∵矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料， ∴裁出的矩形的长为： 由（1）得矩形的长为，宽为， 则，，， ∵，， ∴，， ∴能裁出符合条件的矩形木料； （3）解：由题意，， ∵ ∴， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 10．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可 (2)将下列各式分母有理化要求写出变形过程： ①； ②． (3)请计算下列式子要求写出计算过程． 计算：的结果． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可； （2）①分子、分母分别乘以即可； 分子、分母分别乘以即可； （3）根据分母有理化的方法将原式化为，再进行计算即可． 本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，二次根式混合运算的方法以及分母有理化因式的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：， 的有理化因式可以为， ， 的有理化因式可以为， 故答案为：，； （2）①原式 ； 原式 ； （3）， ， 同理，， 原式 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式的加法与减法 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：7大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 二次根式的加减】 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下： (1)化成最简二次根式； (2)找出被开方数相同的二次根式； (3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变. 【知识点2 二次根式的混合运算】 （1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算； （2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式. 【题型1 可以合并的二次根式】 【例1】下列各组根式中，能合并的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】下列二次根式，不能与合并的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【变式1-2】在下列二次根式中：，，，， （1）能与合并的是 ； （2）能与合并的是 【变式1-3】已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【题型2 二次根式的加减运算】 【例2】计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算下列各式： (1)； (2)． 【变式2-2】计算下列各式： (1)； (2)． 【变式2-3】计算： (1) (2)． 【题型3 二次根式的混合运算】 【例3】计算： (1)； (2)． 【变式3-1】计算： (1) (2)． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【题型4 二次根式中巧用乘法公式化简求值】 【例4】已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【变式4-1】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-2】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式4-3】已知：，，求：的值． 【题型5 二次根式先化简再求值】 【例5】先化简，再求值：，其中． 【变式5-1】已知，，满足，求代数式的值． 【变式5-2】已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-3】先化简，后求值：，其中，． 【题型6 二次根式的应用】 【例6】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． (1)原长方形纸片的长为 ，宽为 ； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【变式6-3】如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． (1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【题型7 二次根式的阅读材料题】 【例7】材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是_____________．（写出一个即可） (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由．（提示：逆向运用分母有理化） 【变式7-1】阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： (3)若，则的值是 ． 【变式7-2】阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：． 例：化简． 解：首先把化为，这里，由于 即． ． 请你仿照阅读材料的方法解决下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)化简：写出计算过程 (3)化简：为正整数 【变式7-3】阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 1．下列二次根式，不能与合并的是 （填写序号即可）． ①； ②； ③； ④； ⑤． 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 3．设 ， ，则 ； ． 4．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 5．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)． 6．计算 (1)； (2)． 7．完成下列各小题： （1）已知，求的值； （2）已知，求式子的值； 8．已知，，求的值． 9．有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的长和宽； (2)若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料； (3)若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？ 10．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可 (2)将下列各式分母有理化要求写出变形过程： ①； ②． (3)请计算下列式子要求写出计算过程． 计算：的结果． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $