【青桐鸣大联考】2025-2026学年高一上学期12月联考数学（北师大通用版）试题

秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 背桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 本 试 注意事项： 卷 1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答素标号涂黑， 由 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 各 上，写在本试卷上无效。 市 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 地 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 县 是符合题目要求的。 区 1.集合A={x|x2一6x十9=0}的非空子集的个数为 参 A.1 B.2 C.3 D.4 考 订 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x-4)>0,则 学 A甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 校 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 留 3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 存 A.了解某市小麦的根部生长情况 B.了解某品牌手机的防摔功能 准考证号 线 C.了解某省高一学生坚持晨读的情况 D.对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 姓 名 4.现某校组织学生进行踏背活动，该校共有高一学生600人、高二学生400人、高三学生 800人.现以分层随机抽样的方式抽取72人参加活动，则共应抽取高一和高二学生的 总人数为 A32 B.36 C.40 D.44 ax+2.026,x<0 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（北师大）试题第1页（共4页） 6.已知例函数fx)在x<0时的解折式为了(x)=x+21n(-2x)+9,则了x)其中的 一个零点所在的区问为 A.(3,4) B.(2,3) C.1.2) D.(0,1) 7.大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律：tN= 后+8，其中是 在经过单次预训练后具有N个参数的模型的测试损失值，A,B,。是常数，已知，= 2),B=-2,A>0,则A的最小值为 A克 B.1 C.2 D.3 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，∫(x)=2-4x一3， 则9g2- A-号 B号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=(x|2<x<4},B={x|川x一21<2)，则下列正确的有 A.3∈A B.B=(tI0<<4) C.A∈B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A2a+3b>8 B.abi<4 C.8a2+8b>15 D.ab"<46 11.已知函数f(x)=4一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 A.(=l0ga3) B.当a<0时，∫(x)是增函数 C.存在a,使得∫(x)是偶函数 D.当a∈(0，g）时fx)>0 数学（北师大）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.loga-6(7+43)= 4.对于正数xy,若n[e+ln(xy)+]-}则y= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=x3十x. (1)用定义法证明：∫(x)是增函数： (2)证明：x3+x>182, 16:(15分) 已知m为实数，集合A={x|2<x<2m一3}，B=(x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+c∞)时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值， 数学（付北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax+br+1,a,b均为实数. (1)当b=-a时， (1)若a=1,求∫(2)的值： (I)若∫(x)≥x恒成立，求a的值 2)若a0,且x≥x+1恒度立，证明-a<22a+ 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数∫(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4 考生注意清点试卷有无漏印或缺页， (1)求(x)与g(x)的解析式： (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得∫(2x)=k∫(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 线 若有要及时更换，否则贵任自负 数学（北师大）试题第4页（共4页）秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 背桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 本 试 注意事项 卷 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 由 如需改动，用根皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 各 上，写在本试卷上无效。 市 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 地 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 县 是符合题目要求的。 区 1.集合A={x|x2一6x+9=0}的非空子集的个数为 参 A.1 B.2 C.3 D.4 考 订 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x-4)>0,则 学 A甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 校 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 O 留 3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 存 A.了解某市小麦的根部生长情况 B.了解某品牌手机的防摔功能 准考证号 C.了解某省高一学生坚持晨读的情况 D.对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 姓 名 4.现某校组织学生进行踏青活动，该校共有高一学生600人、高二学生400人、高三学生 800人.现以分层随机抽样的方式抽取72人参加活动，则共应抽取高一和高二学生的 总人数为 A32 B.36 C.40 D.44 ax+2.026,x<0, 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（北师大）试题第1页（共4页） 6.已知偶函数了：)在z<0时的解析式为了x)=r+2(-2z)+2.则/：)其中的 一个零点所在的区问为 A.(3,4) B.(2,3) C.(1.2) D.(0,1) A 7.大数据语盲的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律：N一+B,其中(w是 在经过单次预训练后具有N个参数的模型的测试损失值，A,B,a是常数，已知，= 2,B=一2，A>0,则A的最小值为 A号 B.1 C.2 D.3 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<r<1时，∫(x)=24一4x一3， 则r2） A-号 B号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=(x|2<x<4},B={x1Ix一21<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B={tl0<t<4} C.A≤B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.abi<4 C.8a2+8b>15 D.ab°<4b 11.已知函数f(x)=4一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 A-1og3)=时 B.当a<0时，∫(x)是增函数 C.存在a,使得∫(x)是偶函数 D.当ae(o,g)时fx)>0 数学（北师大）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.loga-6(7+45)= 4.对于正数：若n[e+l(y4门-则y 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=x十x. (1)用定义法证明：∫(x)是增函数： (2)证明：x+x>182. 16:(15分) 已知m为实数，集合A={x|2<x<2m一3}，B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB; (2)证明：当m∈（一∞，3]U[8,+c∞）时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax十bx+1,a,b均为实数. (1)当b=一a时， (|)若a=1,求∫(2)的值： (1)若∫(x)≥x恒成立，求a的值 ②者a0,且≥x+中1恒度立，证明：-a<a牛2a+ 装 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数∫(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4, (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得∫(2x)=k∫(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则贵任自负 数学（北师大）试题第4页（共4页） 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= A≥2，当A=2时，2(t-1)2=0,3=t=1,故a= {3},其非空子集的个数为2一1=1. 0,有解.故A的最小值为2. 故选A. 故选C. 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 8.A【解析】设g(x)=f(x)-1,显然g(x)= 3)(x-4)>0解得x>4或x<一3，故甲是乙的必 g(-x),由g(x+1)是奇函数，知g(2+x)+ 要不充分条件 g(-x)=0,于是g(2+x)=-g(x),g(4十x)= 故选B. -g2+x)=g),于是g2929）=8(4×169 3.D【解析】对于A,了解某地区小麦的根部生长的 情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查；对 )=g()=g(学)=f(保) -1=2-4× 于B,了解某品牌手机的防摔功能，普查工作量大 且有破坏性，适合抽样调查；对于C,了解某地区所 号-8-1=-，故f(22）-g2025+1 有高一学生坚持晨读的情况，普查工作量大，适合 抽样调查；对于D,对我国最新研发的“玄龙O8战 3 斗机”的各零部件质量情况的调查，是精确度要求 故选A. 高的调查，适合全面调查. 9.ABC【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A 故选D. 正确； 4.C【解析】用分层抽样的方式可知抽取的总人数 对于B,由|x-2|<2得0<x<4,于是B={x|0< 600+400 x<4}={t0<t<4},故B正确； 应为72×600+400+80072X0 18=40. 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A二B, 故选C. 故C正确； 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. 是a+2026=0, 故选ABC. 易知a十b=0. 2026+b=0, 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 故选B. 错误； 6.C【解析】x>0时，f(x)=f(-x)=x2十 对于B,由基本不等式得4≥2√2ab,可得ab≤2， 2h2x一2，显然其在(0，十∞)上单润递指.注意 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 到f(1)=1+2ln2-9=2ln2-8<0,f(2)=4+ 2h4-号=2h4->0,可得fx)其中的-个 对于ca+6=+号=。号+后+器 2 零点所在的区间为(1,2). (。-+沿>385于是8a+86>15,故c 故选C. 正确； 7.C【解析】由条件可知合-2=2（信-2，得合 对于D,取a=3,b=2,则ab=3·(2)广=6· 2A+2=0,设t=3>0,则22-2At+A=0,由其 (合)广>4（分）=46，故D错误. 有解可得(-2A)2-8A=4A(A-2)≥0，解得 故选BC. ·数学（北师大）答案（第1页，共3页）· 11.ABD【解析】对于A,f(-1og23)=2,3 182, (11分) 3a·2+a=号，放A正确： 由π>2√2，知f(π)>f(2√2)，故π3+π>18√2. (13分) 对于B,此时y=4十a是增函数，y=一3a·2 16.解：(1)此时A={x2<x<5}, (2分) 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； 对于C,若f(x)是偶函数，则 f1)=f-D'可 B={x|4<x<8}, (4分) 可得AUB={x|2<x<8). f(2)=f(-2), (6分) 4-5a=1a 5 a 6 (2)证明：当2m-3<2,即m≤8时，A=⑦，An 42 得 解得 显然二者不 16-1a-+% 17 B=0. (9分) 164 a=12' 当m≥8时，B=⑦，A∩B=☑， (12分) 能同时满足，故C错误； 当2<2m-3≤m,卿号<m≤3时，AnB=② 对于D,设1=2r,当a∈(0，号)时，f(x)=2 成立， 3a+a=-)+a-a2≥a-号a2- 综合所述，原命题得证. (15分) 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN-DM产= a(合-a小>0，放D正确， √4-x2, (2分) 故选ABD, 于是AM=2-x, (3分) 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 CN=2-√4-x2, (4分) 所过定点的坐标为(0,0). 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x)- 13.-2【解析】注意到7+4√3=(2+√3)2= 24-=x+4--x4-20≤ 1 (2+√3)2(2-√3)21 (2-√3)2 (2-3,故1og(7+ x≤2) (6分) 4V3)=log2-@(2-√3)2=-2. (2)设t=x十√4-x2,注意到t=4十 1 14.1【解析】易知e5=e+lnx十lny十y- 2红7，放分v4-7-“, 4 (8分) e+lnx子ln}十y,唧e+1nx 1 -1=e+ 故S(x)=t t2-4t2 y 4 4十一1《2)+ h11 ,显然函数f()=e+1nx 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 故S(x)的最大值为2. (11分) y 数，由fx)=f)可得-子即y=1 (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4+x2+4- x2=8, (13分) 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 则 f(x)-f(x2)= x+x1-x8-x2 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 x1一x2 x1一x2 (x1-x2)(x+x1x2+x2)+(x1一x2） 值为2√2. (15分) =x十 1一C2 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x++1=(,+号)°++1>0,6分) x2-x+1, (2分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 0, (5分) 而f(π)=π3+π，f(2√2)=(2√2)3+2√2= 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) ·数学（北师大）答案（第2页，共3页）· 故由二次函数恒成立得 a>0, [)+(--)× 解得a=1,经 l△=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (8分) 验证知其成立.故a=l. (9分) (2)证明：由f(x)≥x+1得a.x2十(b-1)x≥0， 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 a>0, a>0, 由 得 (11分) 4+>1,即0<1 +9<1,故1-1 (6-1)2-0≤0，b=1, 4+g>0. (9分) 于是f(x)=ax2十x十1，其对称轴为x=一2a 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- 面1(“）=1(02a=(-六+ g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) 2a), (13分) 3)证明：f2)=2,f)g) 424-4-2x 易知f()在(-2石，+)上单调递墙，故2a≤ )×）=44 4 a2+1<a2+1+a, 1 (14分) 42x-42x 4 即-a+2a<a+1+22a2a+1, a 2a 2a 则/2)-2.=2eR,放存在 (16分) 实数k=2满足题意. (13分) 结合单调性可得f(经法-f云+2a)大 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· f(2a3+2a+1 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 2a (17分) 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)= 42十4 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 2 ->0. 得f(-x)+g(-x)=4,又f(-x)= 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)十g(x)= 原不等式等价于✉八是即” 4 4-*. (3分) (15分) 联立方程组 f(x)+g(x)=4, 解得g(x)= -f(x)+g(x)=4, 令t=4>0,则4：= ,不等式等价于1一> 2,f(x)=4-4 4+4x 3 2· ,且21>0，故等价于22-2>3，即(21+1)(1 综上，f(x)=4-4 2)>0, (16分) 2 (4分) 易知2t+1>0,则只需t一2>0， 8(x)=+4 2 (5分) 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 2 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: ga)ga）)-2[4n-4)+41-4]- 所以不等式的解集为>》。 (17分) ·数学（北师大）答案（第3页，共3页）· 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 评分细则 12.(0,0) 2x4-亚，敝gxV4-x- (8分) 13.-2 4, 14.1 故S(x)=t 4 =一4++1=- t2-4__t2 4(t-2)2+ 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 则fx)-f)=+x,-- 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立： x1一x2 x1一x2 故S(x)的最大值为2. (11分) (x1-x2)(x+x1x2十x)+（x1-x2) (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4十x2+4- =x员十 t1一C2 x2=8, (13分) 2++1=,+受)'++1>0,6分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立， 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 值为2W2 (15分) 而f(π)=x3+π，f(2√2)=(2√2)3+2√2= 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x2-x+1, (2分) 18√2， (11分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 由π>2W2,知f(x)>f(2W2),故x3+π>18√2. (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (13分) 0, (5分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) B={x|4<x<8}, (4分) 故由二次函数恒成立得 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) a>0, (2)证明：当2m-3C2,即m≤号时，A=②，An 解得a=1,经 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， B=☑. (9分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 当m≥8时，B=⑦，A∩B=☑， (12分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2+(b-1)x≥0， 当2<2m-3≤m,即 5 1a>0, a>0, <m≤3时，A∩B= 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0,6b=1, 成立， 综合所述，原命题得证 (15分) 于是f(x)=ax2+x十1，其对称轴为x=一2a 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM产= 面r(-“)-f(a-2)-f(-六+ √4-x2, (2分) 于是AM=2-x, (3分) 2a), (13分) CN=2-W√4-x2, (4分) 易知fx)在(-云十)上单润通增，放2弘≤ 故S(x)=4-(2-x)-(2-√/4-x2)- 1 27=x+司-日：70≤ a2+1<a2+1+ Q, (14分) +2a<a2+1+1-1-2a3+2a+1 1 x≤2) (6分) 即一 2a a 2a 2a (2)设t=x十√4-x2,注意到t2=4十 (16分) ·数学（北师大）评分细则（第1页，共2页）· 结合单调性可得（松。）（名+2）水 g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) ） (17分) (3)证明：f(2)=4-4 2—,f(x)g(x)= 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 )×）=4产4 4 得f(-x)+g(-x)=4z,又f(-x)= 42x-4-2x 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 4 42. (3分) 则f(2x)=2· 42x-4-2 4 =2f(x)g(x),故存在 f(x)+g(x)=4, 联立方程组 解得g(x)= 实数k=2满足题意. (13分) -f(x)十g(x)=4, 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 2,f(x)=44 42+4x 2· [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 42-4-x 因为对于任意实数x,42>0且4x>0,所以 综上，f(x)=2’ (4分) gx)+4>0. 8(x)=4“+4✉ 2 2 (5分) 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: 原不等式等价于>即”→ g)gx,)=2[4-)+(4-4刀= (15分) [-)+(哈]名-)x 令1=4>0，则4=}不等式等价于4-> ,且2>0，故等价于22-2>3t,即(21+1)(1- 3 (8分) 2)>0, (16分) 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1+x2>0,则 易知2t+1>0,则只需t一2>0， >1,即0<1，撤1->0 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 29 (9分) 又因为x1<x2,所以41-42<0，故g(x1)- 所以不等式的解集为红2>》。 (17分) ·数学（北师大）评分细则（第2页，共2页）·2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= A≥2，当A=2时，2(t-1)2=0,3=t=1,故a= {3},其非空子集的个数为2一1=1. 0,有解.故A的最小值为2. 故选A. 故选C. 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 8.A【解析】设g(x)=f(x)-1,显然g(x)= 3)(x-4)>0解得x>4或x<一3，故甲是乙的必 g(-x),由g(x+1)是奇函数，知g(2+x)+ 要不充分条件 g(-x)=0,于是g(2+x)=-g(x),g(4十x)= 故选B. -g2+x)=g),于是g2929）=8(4×169 3.D【解析】对于A,了解某地区小麦的根部生长的 情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查；对 )=g()=g(学)=f(保) -1=2-4× 于B,了解某品牌手机的防摔功能，普查工作量大 且有破坏性，适合抽样调查；对于C,了解某地区所 号-8-1=-，故f(22）-g2025+1 有高一学生坚持晨读的情况，普查工作量大，适合 抽样调查；对于D,对我国最新研发的“玄龙O8战 3 斗机”的各零部件质量情况的调查，是精确度要求 故选A. 高的调查，适合全面调查. 9.ABC【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A 故选D. 正确； 4.C【解析】用分层抽样的方式可知抽取的总人数 对于B,由|x-2|<2得0<x<4,于是B={x|0< 600+400 x<4}={t0<t<4},故B正确； 应为72×600+400+80072X0 18=40. 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A二B, 故选C. 故C正确； 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. 是a+2026=0, 故选ABC. 易知a十b=0. 2026+b=0, 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 故选B. 错误； 6.C【解析】x>0时，f(x)=f(-x)=x2十 对于B,由基本不等式得4≥2√2ab,可得ab≤2， 2h2x一2，显然其在(0，十∞)上单润递指.注意 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 到f(1)=1+2ln2-9=2ln2-8<0,f(2)=4+ 2h4-号=2h4->0,可得fx)其中的-个 对于ca+6=+号=。号+后+器 2 零点所在的区间为(1,2). (。-+沿>385于是8a+86>15,故c 故选C. 正确； 7.C【解析】由条件可知合-2=2（信-2，得合 对于D,取a=3,b=2,则ab=3·(2)广=6· 2A+2=0,设t=3>0,则22-2At+A=0,由其 (合)广>4（分）=46，故D错误. 有解可得(-2A)2-8A=4A(A-2)≥0，解得 故选BC. ·数学（北师大）答案（第1页，共3页）· 11.ABD【解析】对于A,f(-1og23)=2,3 182, (11分) 3a·2+a=号，放A正确： 由π>2√2，知f(π)>f(2√2)，故π3+π>18√2. (13分) 对于B,此时y=4十a是增函数，y=一3a·2 16.解：(1)此时A={x2<x<5}, (2分) 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； 对于C,若f(x)是偶函数，则 f1)=f-D'可 B={x|4<x<8}, (4分) 可得AUB={x|2<x<8). f(2)=f(-2), (6分) 4-5a=1a 5 a 6 (2)证明：当2m-3<2,即m≤8时，A=⑦，An 42 得 解得 显然二者不 16-1a-+% 17 B=0. (9分) 164 a=12' 当m≥8时，B=⑦，A∩B=☑， (12分) 能同时满足，故C错误； 当2<2m-3≤m,卿号<m≤3时，AnB=② 对于D,设1=2r,当a∈(0，号)时，f(x)=2 成立， 3a+a=-)+a-a2≥a-号a2- 综合所述，原命题得证. (15分) 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN-DM产= a(合-a小>0，放D正确， √4-x2, (2分) 故选ABD, 于是AM=2-x, (3分) 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 CN=2-√4-x2, (4分) 所过定点的坐标为(0,0). 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x)- 13.-2【解析】注意到7+4√3=(2+√3)2= 24-=x+4--x4-20≤ 1 (2+√3)2(2-√3)21 (2-√3)2 (2-3,故1og(7+ x≤2) (6分) 4V3)=log2-@(2-√3)2=-2. (2)设t=x十√4-x2,注意到t=4十 1 14.1【解析】易知e5=e+lnx十lny十y- 2红7，放分v4-7-“, 4 (8分) e+lnx子ln}十y,唧e+1nx 1 -1=e+ 故S(x)=t t2-4t2 y 4 4十一1《2)+ h11 ,显然函数f()=e+1nx 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 故S(x)的最大值为2. (11分) y 数，由fx)=f)可得-子即y=1 (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4+x2+4- x2=8, (13分) 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 则 f(x)-f(x2)= x+x1-x8-x2 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 x1一x2 x1一x2 (x1-x2)(x+x1x2+x2)+(x1一x2） 值为2√2. (15分) =x十 1一C2 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x++1=(,+号)°++1>0,6分) x2-x+1, (2分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 0, (5分) 而f(π)=π3+π，f(2√2)=(2√2)3+2√2= 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) ·数学（北师大）答案（第2页，共3页）· 故由二次函数恒成立得 a>0, [)+(--)× 解得a=1,经 l△=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (8分) 验证知其成立.故a=l. (9分) (2)证明：由f(x)≥x+1得a.x2十(b-1)x≥0， 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 a>0, a>0, 由 得 (11分) 4+>1,即0<1 +9<1,故1-1 (6-1)2-0≤0，b=1, 4+g>0. (9分) 于是f(x)=ax2十x十1，其对称轴为x=一2a 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- 面1(“）=1(02a=(-六+ g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) 2a), (13分) 3)证明：f2)=2,f)g) 424-4-2x 易知f()在(-2石，+)上单调递墙，故2a≤ )×）=44 4 a2+1<a2+1+a, 1 (14分) 42x-42x 4 即-a+2a<a+1+22a2a+1, a 2a 2a 则/2)-2.=2eR,放存在 (16分) 实数k=2满足题意. (13分) 结合单调性可得f(经法-f云+2a)大 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· f(2a3+2a+1 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 2a (17分) 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)= 42十4 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 2 ->0. 得f(-x)+g(-x)=4,又f(-x)= 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)十g(x)= 原不等式等价于✉八是即” 4 4-*. (3分) (15分) 联立方程组 f(x)+g(x)=4, 解得g(x)= -f(x)+g(x)=4, 令t=4>0,则4：= ,不等式等价于1一> 2,f(x)=4-4 4+4x 3 2· ,且21>0，故等价于22-2>3，即(21+1)(1 综上，f(x)=4-4 2)>0, (16分) 2 (4分) 易知2t+1>0,则只需t一2>0， 8(x)=+4 2 (5分) 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 2 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: ga)ga）)-2[4n-4)+41-4]- 所以不等式的解集为>》。 (17分) ·数学（北师大）答案（第3页，共3页）·2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 评分细则 12.(0,0) 2x4-亚，敝gxV4-x- (8分) 13.-2 4, 14.1 故S(x)=t 4 =一4++1=- t2-4__t2 4(t-2)2+ 15.解：(1)证明：取Hx1,x2∈R,且x1<x2,(1分) 则fx)-f)=+x,-- 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立： x1一x2 x1一x2 故S(x)的最大值为2. (11分) (x1-x2)(x+x1x2十x)+（x1-x2) (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4十x2+4- =x员十 t1一C2 x2=8, (13分) 2++1=,+受)'++1>0,6分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立， 即f(x2)>f(x1),故f(x)是增函数. (7分) 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 (2)证明：显然π>3>2√2， (9分) 值为2W2 (15分) 而f(π)=x3+π，f(2√2)=(2√2)3+2√2= 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= x2-x+1, (2分) 18√2， (11分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 由π>2W2,知f(x)>f(2W2),故x3+π>18√2. (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ (13分) 0, (5分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) B={x|4<x<8}, (4分) 故由二次函数恒成立得 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) a>0, (2)证明：当2m-3C2,即m≤号时，A=②，An 解得a=1,经 △=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， B=☑. (9分) 验证知其成立.故a=1. (9分) 当m≥8时，B=⑦，A∩B=☑， (12分) (2)证明：由f(x)≥x+1得ax2+(b-1)x≥0， 当2<2m-3≤m,即 5 1a>0, a>0, <m≤3时，A∩B= 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0,6b=1, 成立， 综合所述，原命题得证 (15分) 于是f(x)=ax2+x十1，其对称轴为x=一2a 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM产= 面r(-“)-f(a-2)-f(-六+ √4-x2, (2分) 于是AM=2-x, (3分) 2a), (13分) CN=2-W√4-x2, (4分) 易知fx)在(-云十)上单润通增，放2弘≤ 故S(x)=4-(2-x)-(2-√/4-x2)- 1 27=x+司-日：70≤ a2+1<a2+1+ Q, (14分) +2a<a2+1+1-1-2a3+2a+1 1 x≤2) (6分) 即一 2a a 2a 2a (2)设t=x十√4-x2,注意到t2=4十 (16分) ·数学（北师大）评分细则（第1页，共2页）· 结合单调性可得（松。）（名+2）水 g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) ） (17分) (3)证明：f(2)=4-4 2—,f(x)g(x)= 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 )×）=4产4 4 得f(-x)+g(-x)=4z,又f(-x)= 42x-4-2x 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 4 42. (3分) 则f(2x)=2· 42x-4-2 4 =2f(x)g(x),故存在 f(x)+g(x)=4, 联立方程组 解得g(x)= 实数k=2满足题意. (13分) -f(x)十g(x)=4, 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· 2,f(x)=44 42+4x 2· [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 42-4-x 因为对于任意实数x,42>0且4x>0,所以 综上，f(x)=2’ (4分) gx)+4>0. 8(x)=4“+4✉ 2 2 (5分) 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: 原不等式等价于>即”→ g)gx,)=2[4-)+(4-4刀= (15分) [-)+(哈]名-)x 令1=4>0，则4=}不等式等价于4-> ,且2>0，故等价于22-2>3t,即(21+1)(1- 3 (8分) 2)>0, (16分) 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1+x2>0,则 易知2t+1>0,则只需t一2>0， >1,即0<1，撤1->0 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 29 (9分) 又因为x1<x2,所以41-42<0，故g(x1)- 所以不等式的解集为红2>》。 (17分) ·数学（北师大）评分细则（第2页，共2页）·秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 背桐鸣大联考（高一） 数学（北师大） 本 试 注意事项 卷 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 由 如需改动，用根皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 各 上，写在本试卷上无效。 市 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 地 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 县 是符合题目要求的。 区 1.集合A={x|x2一6x+9=0}的非空子集的个数为 参 A.1 B.2 C.3 D.4 考 订 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x-4)>0,则 学 A甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 校 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 O 留 3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 存 A.了解某市小麦的根部生长情况 B.了解某品牌手机的防摔功能 准考证号 C.了解某省高一学生坚持晨读的情况 D.对我国最新研发的“玄龙08战斗机”的各零部件质量情况的调查 姓 名 4.现某校组织学生进行踏青活动，该校共有高一学生600人、高二学生400人、高三学生 800人.现以分层随机抽样的方式抽取72人参加活动，则共应抽取高一和高二学生的 总人数为 A32 B.36 C.40 D.44 ax+2.026,x<0, 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（北师大）试题第1页（共4页） 6.已知偶函数了：)在z<0时的解析式为了x)=r+2(-2z)+2.则/：)其中的 一个零点所在的区问为 A.(3,4) B.(2,3) C.(1.2) D.(0,1) A 7.大数据语盲的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律：N一+B,其中(w是 在经过单次预训练后具有N个参数的模型的测试损失值，A,B,a是常数，已知，= 2,B=一2，A>0,则A的最小值为 A号 B.1 C.2 D.3 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<r<1时，∫(x)=24一4x一3， 则r2） A-号 B号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=(x|2<x<4},B={x1Ix一21<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B={tl0<t<4} C.A≤B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.abi<4 C.8a2+8b>15 D.ab°<4b 11.已知函数f(x)=4一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 A-1og3)=时 B.当a<0时，∫(x)是增函数 C.存在a,使得∫(x)是偶函数 D.当ae(o,g)时fx)>0 数学（北师大）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数∫(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.loga-6(7+45)= 4.对于正数：若n[e+l(y4门-则y 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=x十x. (1)用定义法证明：∫(x)是增函数： (2)证明：x+x>182. 16:(15分) 已知m为实数，集合A={x|2<x<2m一3}，B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB; (2)证明：当m∈（一∞，3]U[8,+c∞）时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值. 数学（北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax十bx+1,a,b均为实数. (1)当b=一a时， (|)若a=1,求∫(2)的值： (1)若∫(x)≥x恒成立，求a的值 ②者a0,且≥x+中1恒度立，证明：-a<a牛2a+ 装 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数∫(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4, (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得∫(2x)=k∫(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则贵任自负 数学（北师大）试题第4页（共4页）