第6章 3.1 空间图形基本位置关系的认识 （教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3．1 空间图形基本位置关系的认识
3．2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)
学习目标 | 素养要求 |
1．理解点、直线、平面之间的位置关系，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系． 2．能用文字、图形、符号三种语言描述三个基本事实． 3．理解三个公理的地位与作用． | 1．通过符号语言描述空间中点、直线、平面之间的位置关系，提升数学抽象的核心素养． 2．通过空间点、线、面位置关系的公理的学习，提升逻辑推理的核心素养． |
[自主梳理]
知识点一 空间图形基本位置关系的认识
[问题1] 平面α是由点组成的，直线l也是由点组成的，从集合的观点看，点P与直线l有何关系？点P与平面α有何关系？直线l与平面α呢？
答：P∈l或P∉l.P∈α或P∉α.l⊂α或l⊄α.
[问题2] 若A∈a，a⊂α，能否推出A∈α？
答：由直线在平面内的定义可知，若A∈a，a⊂α，则A∈α.
►知识填空
空间点、直线、平面之间的位置关系
类型位置关系 | 文字语言表达 | 图形语言表达 | 符号语言表达 |
点与直线 | 点A在直线l上 |
| A∈l |
点A在直线l外 |
| A∉l | |
点与平面 | 点A在平面α内 |
| __A∈α__ |
点A在平面α外 |
| A∉α | |
直线与直线 | 直线a与l相交 |
| a∩l＝M |
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| 直线a与l不相交 |
| a∩l＝∅ |
直线与平面 | 直线l在平面α内 |
| l⊂α |
直线l与平面α相交 |
| l∩α＝A | |
直线l与平面α平行 |
| l∥α | |
平面与平面 | 平面α与平面β不相交 |
| α∥β |
平面α，β相交于l |
| α∩β＝l |
知识点二 刻画空间点、线、面位置关系的公理
[问题1] 生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等，请问这是为什么？
答：因为不在同一直线上的三点可以确定一个平面．故三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪．
[问题2] 若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
答：直尺边缘上的其余点都在桌面上．
[问题3]
观察正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？
答：不是．平面ABCD∩平面BCC1B1＝BC.
►知识填空
空间点、线、面位置关系的公理
公理 | 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 | 作用 |
基本 事实 1 | 过__不在__一条直线上的__三__个点，有且只有一个平面． |
| A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α. | ①确定平面的依据 ②判定点、线共面． |
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基本 事实 2 | 如果一条直线上的__两个__点在一平面内，那么这条直线在这个平面__内__． |
| A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α. | ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内． |
基本 事实 3 | 如果不重合的两个平面__有一个公共点__，那么它们__有且只有__一条过该点的公共直线． |
| P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且 P∈l | ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上． |
根据基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”可以得到以下三个推论
推论1：一条直线和该直线__外__一点确定一个平面；
推论2：两条__相交__直线确定一个平面；
推论3：两条__平行__直线确定一个平面．
[自主检验]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行四边形是一个平面．( )
(2)若A∈a，a⊂α，则A∈α.( )
(3)两个平面的交线可能是一条线段．( )
(4)若两个平面有三个公共点，则这两个平面必重合．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α
C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
答案：B
3．平面α与平面β相交于直线m，用符号语言表示为________．
答案：α∩β＝m
4.已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：________．
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