专题01 安徽期末真题精选常考91题10考点（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期沪科版

专题01 安徽期末真题精选常考91题10考点 （高效培优期末专项训练） 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 求二次函数解析式与实际应用 考点03 反比例函数的图象与性质 考点04 反比例函数与一次函数综合 考点05 比例线段与位似变换 考点06 相似三角形的判定与性质及实际应用 考点07 锐角的三角函数 考点08 解直角三角形及其应用 考点09 圆的相关概念及应用 考点10 圆与全等、相似综合题 考点01 二次函数的图象与性质 1．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 3．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 4．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．     B．     C．     D．     7．(24-25九上·安徽巢湖·期末)已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 8．(24-25九上·安徽铜陵铜官区·期末)若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 考点02 求二次函数解析式与实际应用 10．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m． 11．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 12．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)某公司生产一种产品，生产费用（万元）由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品（件），制造费用（万元），材料费用（万元），人工费用为固定费用万元，其中，，生产中得到了下表中的数据． 生产件数（件） 生产费用（万元） (1)求与的函数表达式； (2)公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价（万元/件）与生产件数（件）满足一次函数关系．设该产品每年的利润为万元（利润销售收入生产费用），求的最大值． 13．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第x月满足函数关系式，其变化趋势如图2． (1)求的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 14．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，已知二次函数的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 考点03 反比例函数的图象与性质 15．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ）． A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 16．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)反比例函数(k≠0)的图象经过点(-2，3)，则下列点也在此函数图象上的是（    ） A．(1，6) B．(3，-2) C．(3，2) D．(-3，-2) 17．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 18．(24-25九上·安徽巢湖·期末)在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是 m． 19．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A，若点B是的中点，且，则 ． 20．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)0．已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 考点04 反比例函数与一次函数综合 21．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)已知反比例函数y＝ (m为常数，且m≠5)． (1)若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 22．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A．B，且点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标． 23．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)已知反比例函数． (1)若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； (2)如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 24．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 考点05 比例线段与位似变换 25．如果，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 26．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)已知点是上的黄金分割点（），若，则等于（    ） A． B． C． D． 27．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)已知，则的值为 ． 28．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 ． 29．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1； （2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1． 30．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，在边长都为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，以原点O为位似中心在第一象限画一个，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为）； (1)画出； (2) 坐标为 ，坐标为 ； (3)若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为 ． 31．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点ΔABC(顶点为网格线的交点) (1)在给定的网格中，以点M为旋转中心将线段AB顺时针旋转90°，得到线段A1B1(点A、B的对应点分别为A1、B1)，画出线段A1B1； (2)在给定的网格中，以点N为位似中心将ΔABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2 (点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2)，画出△A2B2C2． 考点06 相似三角形的判定与性质及实际应用 32．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，是边上一点，且．若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 33．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 34．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 35．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件 ，使ΔACD∽ΔABC． 36．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 37．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 38．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 考点07 锐角的三角函数 39．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（  ） A． B． C． D． 40．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，若和的面积分别为、，则（   ） A． B． C． D． 41．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=17，则cosA的值是（    ） A． B． C． D． 42．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)在中，，则下列三角函数值正确的是（   ） A． B． C． D． 43．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（    ） A． B．2 C． D． 44．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)在Rt△ABC 中，∠C是直角，sinA=，则cosB= 45．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，在中，，则的长度为 ． 46．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)计算：cos30°+2sin45°-tan60°． 47．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)计算：． 48．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，在中，，，．求的三个三角函数值． 考点08 解直角三角形及其应用 49．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 50．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= °． 51．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     52．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 53．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．    (1)若将绕点C转动使得，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； (2)经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到，参考数值：，，） 54．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，一航船在A处测到北偏东60°方向上有一小岛B，航船向正东方向以40海里/小时的速度航行1.5小时到达C处，又测到小岛B在北偏东15°方向上．(参考数据：=1.414，≈1.732) (1)求A处到小岛B的距离AB(结果保留整数)； (2)已知小岛B周围42海里内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行，有无触礁危险？ 考点09 圆的相关概念及应用 55．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 56．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（    ） A．25° B．30° C．35° D．45° 57．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 58．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 59．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，已知的半径为5，弦，R是弦上任意一点，则线段的长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 60．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 61．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 ． 62．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 63．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为 ． 64．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 65．(24-25九上·安徽安庆·期末)“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．    66．(24-25九上·安徽淮北·期末)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 67．(24-25九上·安徽阜阳颍州区新世纪学校·期末)如图，为的半径，弦垂直平分半径，垂足为E．若的长为6，求的半径． 68．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 69．(24-25九上·安徽安庆·期末)如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 70．(24-25九上·安徽淮南部分学校联考·期末)日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 71．(24-25九上·安徽阜阳颍州区新世纪学校·期末)如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 72．(24-25九上·安徽合肥包河区·期末)如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 73．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，四边形是的内接四边形，连接、，延长至点E． (1)若，求证：平分； (2)若，的半径为2，求． 74．(24-25九上·安徽淮北部分学校·期末)如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 75．(24-25九上·安徽淮北五校联考·期末)如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 76．(24-25九上·安徽淮南多校联考·期末)如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点． (1)求证：与相切； (2)若，，且，求阴影部分的面积． 77．(24-25九上·安徽淮南多校联考·期末)如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 78．如图，在等腰中，，交于，两点，半径于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 79．(24-25九上·安徽安庆外国语学校·期末)如图1，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，为的切线，点F在延长线上， (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 80．(24-25九上·安徽黄山歙县·期末)如图，是的直径，平分，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 81．(24-25九上·安徽阜阳名校大联考·期末)如图，是半圆O的直径，与半圆O相切于D点，交于点E． (1)求证：； (2)若与的延长线相交于点F，且，求的值． 82．(24-25九上·安徽淮南部分学校联考·期末)如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切，弦于点F，过D点作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径和的长． 83．(24-25九上·安徽芜湖·期末)如图，是的外接圆，是的直径，点为上一点，，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)当，时，求的长． 84．(24-25九上·安徽安庆·期末)如图．是的直径，点是的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点10 圆与全等、相似综合题 85．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． (1)求的长． (2)连接交于点，求的值． 86．(24-25九上·安徽阜阳太和县·期末)如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 87．(24-25九上·安徽淮南多校联考·期末)如图，是的内接三角形，，弦交于点，连接.    （1）求证：； （2）若，，求的长. 88．(24-25九上·安徽淮北部分学校·期末)如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 89．(24-25九上·安徽淮北五校联考·期末)如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)当，，求的长． 90．(24-25九上·安徽合肥蜀山区·期末)已知：的直径与弦相交于点，是弦的中点，，为垂足． (1)如图，当是中点时，求的度数； (2)求证：． 91．(24-25九上·安徽合肥第四十五中学·期末)如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． (1)求证：点是弧的中点； (2)若，，求的长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 安徽期末真题精选常考91题10考点 （高效培优期末专项训练） 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 求二次函数解析式与实际应用 考点03 反比例函数的图象与性质 考点04 反比例函数与一次函数综合 考点05 比例线段与位似变换 考点06 相似三角形的判定与性质及实际应用 考点07 锐角的三角函数 考点08 解直角三角形及其应用 考点09 圆的相关概念及应用 考点10 圆与全等、相似综合题 考点01 二次函数的图象与性质 1．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握和理解顶点式，顶点为即可求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：A． 2．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 3．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 4．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图形与几何变换．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴得到的抛物线对应的函数关系式为， 故选：C． 5．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 6．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．     B．     C．     D．     【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，得，，根据二次函数的对称轴可得，从而即可得到一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限， 故选：A． 7．(24-25九上·安徽巢湖·期末)已知a≠0，函数y＝与y＝ax2﹣a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当a＞0时，，所以，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 当a＜0时，，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 故选：D． 8．(24-25九上·安徽铜陵铜官区·期末)若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性和对称性求解，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，在处有最大值， 到的距离为，到的距离为， ， 故选：D． 9．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 考点02 求二次函数解析式与实际应用 10．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m． 【答案】10 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可； 【详解】 当时，得： ， 解得：，（舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 故答案为：10 11．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键． （1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解； （2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过， 代入二次函数解析式得 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由图象可知图象与的交点为， 不等式的解集为． 12．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)某公司生产一种产品，生产费用（万元）由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品（件），制造费用（万元），材料费用（万元），人工费用为固定费用万元，其中，，生产中得到了下表中的数据． 生产件数（件） 生产费用（万元） (1)求与的函数表达式； (2)公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价（万元/件）与生产件数（件）满足一次函数关系．设该产品每年的利润为万元（利润销售收入生产费用），求的最大值． 【答案】(1) (2)2000元 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）利用利润销售收入生产费用得到利润w关于x的函数表达式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 将，；，代入， 得，解得， ∴与的函数表达式为 （2）解：根据题意， ， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2000元． 13．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第x月满足函数关系式，其变化趋势如图2． (1)求的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）把函数图象经过的点代入函数解析式，解方程组求出m、n的值即可解答； （2）根据图1求出每千克的售价与x的函数关系式，然后根据“利润=售价﹣成本”得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由图可知经过点， ∴，解得． ∴． （2）解：设， 由图可知，函数图象经过点， 则，解得， 所以，， 所以，每千克所获得利润 ∵， ∴当时，所获得利润最大为元． 答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克． 14．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，已知二次函数的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2）点D的坐标为（-1，0） （3）x的取值范围为了-1<x<4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式； （2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标； （3）画出图象，再根据图象直接得出答案． 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点， ∴， ∴a=，b=-，c=-1， ∴二次函数的解析式为y=x2-x-1； （2）当y=0时，得x2-x-1=0； 解得x1=2，x2=-1， ∴点D坐标为（-1，0）； （3）图象如图， 当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4． 考点03 反比例函数的图象与性质 15．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ）． A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵k＝6＞0， ∴图象位于第一，第三象限， 故A正确，不符合题意； B．∵−2×（−3）＝6＝k， ∴图象必经过点， 故B正确，不符合题意； C．∵x≠0， ∴y≠0， ∴图象不可能与坐标轴相交， 故C正确，不符合题意； D．∵k＝6＞0， ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小， 故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 16．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)反比例函数(k≠0)的图象经过点(-2，3)，则下列点也在此函数图象上的是（    ） A．(1，6) B．(3，-2) C．(3，2) D．(-3，-2) 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故四个选项中，只有在此函数上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是明确同一反比例函数图象上点的坐标符合． 17．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断一次函数的图象 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 18．(24-25九上·安徽巢湖·期末)在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是 m． 【答案】12 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：）成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是． 故答案为：12． 19．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A，若点B是的中点，且，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，先由题意得出，再由反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】解：∵点B是的中点，且， ∴， ∵点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限，， ∴， 故答案为：． 20．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)已知反比例函数． (1)如果这个函数图象经过点，求的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小，求的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征。 ()运用了“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数”这一坐标特征，将已知点代入函数解析式求解； ()依据“反比例函数为常数，(为常数，)，当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，随的增大而增大”这一反比例函数的性质，通过分析函数的增减性确定的取值范围，进而求出k的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点， ∴， 解得； （2）∵这个函数图象在它所处的象限内，函数随的增大而减小， ∴， 解得． 考点04 反比例函数与一次函数综合 21．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)已知反比例函数y＝ (m为常数，且m≠5)． (1)若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (2)若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】（1）m＜5；（2）-1. 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的综合 【分析】（1）由反比例函数y=的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围； （2）先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y=中，即可求出m的值． 【详解】解：（1）∵在反比例函数y=图象的每个分支上，y随x的增大而增大， ∴m﹣5＜0， 解得：m＜5； （2）将y=3代入y=﹣x+1中，得：x=﹣2， ∴反比例函数y=图象与一次函数y=﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）． 将（﹣2，3）代入y=得： 3= 解得：m=﹣1． 22．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A．B，且点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)P（0，3）或（0，-1） 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的综合 【分析】（1）将x=-2代入y=-x+1求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为（0，a），得到PC=，根据△ABP的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：当x=-2时，y=-（-2）+1=2， ∴A（-2，2）， ∵反比例函数y=的图象过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4， ∴y=-1，即B（4，-1）， 设点P的坐标为（0，a）， ∵一次函数y=-x+1的图象与y轴交于点C． ∴C（0，1）， ∴PC=， ∵△ABP的面积为6， ∴， 解得a=-1或a=3， ∴点P的坐标为（0，-1）或（0，3）． 23．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)已知反比例函数． (1)若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； (2)如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 【答案】(1) (2)9 【知识点】平移(作图)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）把这两个函数解析式联立，化简可得，反比例函数的图象与直线只有一个公共点，可得，即可求得值； （2）将向右平移3个单位长度，得曲线，画出图象，观察图象借助网格求解出面积即可． 【详解】（1）解：由题意得 得． 反比例函数的图象与直线只有一个公共点， ， 解得． （2）解：如图所示，为所求： 平移至处所扫过的面积：． 24．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 【答案】(1)6； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求的值即可； （2）结合图像，即可获得答案； （3）首先确定点的坐标，求出，根据求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， ∵可得，解得； （2）解：∵直线与双曲线交于点， 结合图像可知，不等式的解集为； （3）解：对于直线， 令，可有，解得， ∴， 将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得，解得， ∴， ∴． ∵的面积为14，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 考点05 比例线段与位似变换 25．如果，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 26．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)已知点是上的黄金分割点（），若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割比可直接列式求解． 【详解】根据黄金分割点的概念可得：， ∵， ∴， 故选C． 27．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值． 【详解】令 则a=6k，b=5k，c=4k 则 故答案为：． 28．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段 ． 【答案】/1.5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，， 所以． 解得． 故答案为：． 29．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1； （2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； 【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； 30．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，在边长都为1的小正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，以原点O为位似中心在第一象限画一个，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为）； (1)画出； (2) 坐标为 ，坐标为 ； (3)若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查位似图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由位似中心为点O，相似比为，可知连接并延长使得，连接并延长使得，连接并延长使得，再顺次连接，即可得到； （2）由在坐标系中的位置可直接得出答案； （3）由（2）中结论可得内任意一点的对应点的横、纵坐标均为该点横、纵坐标的2倍． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：坐标为，坐标为， 故答案为：，； （3）解：若内任意一点D的坐标为，则内的对应点的坐标为， 故答案为：． 31．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点ΔABC(顶点为网格线的交点) (1)在给定的网格中，以点M为旋转中心将线段AB顺时针旋转90°，得到线段A1B1(点A、B的对应点分别为A1、B1)，画出线段A1B1； (2)在给定的网格中，以点N为位似中心将ΔABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2 (点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2)，画出△A2B2C2． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）连接BM，将BM绕着M点顺时针旋转90°，连接AM，将AM绕着M点顺时针旋转90°，利用网格特点和旋转的性质画出A的对应点A1， B的对应点B1，然后连接A1B1，即可得到线段A1B1； （2）直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段A1B1即为所求； （2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求． 考点06 相似三角形的判定与性质及实际应用 32．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，是边上一点，且．若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先证明得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 33．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 34．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 35．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件 ，使ΔACD∽ΔABC． 【答案】AC＝AB•AD（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定添加适当的条件即可． 【详解】解： 添加：AC＝AB•AD ∵AC＝AB•AD ∴ ∵∠A＝∠A ∴ΔACD∽ΔABC． 故答案为：AC＝AB•AD（答案不唯一）． 36．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法，几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，，根据余弦值得到相似比，由此得到，求出的面积，根据，结合图象即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 37．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 38．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 【答案】楼高为12.8米． 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ， 解得， 楼高为12.8米． 考点07 锐角的三角函数 39．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【详解】解：如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴， ∴． 故选：D 40．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，若和的面积分别为、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】作于M，于N，利用三角函数分别表示两个三角形的高、，再利用三角形面积公式即可表示两个三角形的面积． 【详解】作于M，于N，如图， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选C 【点睛】本题考查了三角函数的应用和三角形的面积公式，熟练掌握三角函数知识点是解题关键． 41．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=17，则cosA的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】先根据勾股定理求出AC，然后再利用余弦的定义解答即可． 【详解】解：如图所示： BC=8，AB=17； ∴AC=， ∴cosA= 故选：A 42．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)在中，，则下列三角函数值正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．首先利用勾股定理计算出的长，再利用三角函数定义进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵ ∴， ∴，，，， 故选：B． 43．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数、根据特殊角三角函数值求角的度数、解直角三角形的相关计算 【分析】由勾股定理求得AD的长，进而通过特殊三角函数值求得角B的大小，进而求得AB长，进而可得到EF的长． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵E、F分别为AC、BC的中点 ∴ 故选：B． 44．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)在Rt△ABC 中，∠C是直角，sinA=，则cosB= 【答案】 【知识点】求角的余弦值 【分析】由题意直接运用直角三角形的边角间关系进行分析计算即可求解得出结论. 【详解】解：如图， 解：在Rt△ABC中， ∵∠C是直角， ∴， 又∵, ∴. 45．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 46．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)计算：cos30°+2sin45°-tan60°． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】原式= =， =. 47．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 48．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，在中，，，．求的三个三角函数值． 【答案】，， 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可； 【详解】中，，，， ， ， ， ． 考点08 解直角三角形及其应用 49．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 50．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)如图，小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= °． 【答案】30 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【详解】解：由题意得AB＝4米，BC＝2米 在Rt△ABC中，， ∴∠A＝30°． 故答案为：30． 51．(24-25九·安徽池州东至县兰溪中学·期末)拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【答案】箱体的最高点C到地面的距离为． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形．过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，在中，利用正切函数的定义求得，推出，在中，利用正弦函数的定义求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴箱体的最高点C到地面的距离为． 52．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，由题意知，四边形是矩形，利用锐角三角函数解求出，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 即树高为． 53．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．    (1)若将绕点C转动使得，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； (2)经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到，参考数值：，，） 【答案】(1) (2)此时光线最佳 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用： （1）过点D作，过点B作，过点C作，求得，，进一步求出点C和点E之间的水平距离是； （2）过点D作，过点C作，得四边形为矩形，求出，再求出，从而可求出，再进行比较大小即可得出结论 【详解】（1）解：过点D作，过点B作，过点C作    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点C和点E之间的水平距离是； （2）解：过点D作，过点C作，    ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴此时光线最佳 54．(24-25九上·安徽池州訕东至县兰溪初级中学·期末)如图，一航船在A处测到北偏东60°方向上有一小岛B，航船向正东方向以40海里/小时的速度航行1.5小时到达C处，又测到小岛B在北偏东15°方向上．(参考数据：=1.414，≈1.732) (1)求A处到小岛B的距离AB(结果保留整数)； (2)已知小岛B周围42海里内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行，有无触礁危险？ 【答案】(1)约82海里 (2)有触礁危险 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）过C作CD⊥AB，垂足为D，在直角△ACD中，根据三角函数求得CD的长，再在直角△BCD中运用三角函数即可求解； （2）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，根据三角形的面积公式出BE，与42海里比较即可． 【详解】（1）解：过C作CD⊥AB，垂足为D，如图， 根据题意可得，，， ， （海里）， 在中， ， （海里），（海里）， 在中， ， （海里）， （海里）． 答：A处到小岛B的距离AB约82海里； （2）解：过点B作BE⊥AC，垂足为点E，如图， ， （海里）， ∵41＜42， ∴航船继续向正东方向航行，有触礁危险． 考点09 圆的相关概念及应用 55．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设为圆半径，为点到圆心距离．当时，点在圆内；当时，点在圆外；当时，点在圆上；据解决本题的关键是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断的长度． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点在内， ， 的长度可以是． 故选： D． 56．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（    ） A．25° B．30° C．35° D．45° 【答案】C 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连接CD，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=55°，再利用互余得出∠CAD的度数． 【详解】如图所示：连接CD， ∵AD为直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠B=55°， ∴∠CAD=90°-∠D=90°-55°=35°． 故选：C． 【点睛】考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键． 57．(24-25九上·安徽颍上县南照镇中心学校·期末)如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 58．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求扇形半径、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 59．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，已知的半径为5，弦，R是弦上任意一点，则线段的长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，过点O作于H，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于H，则， 由勾股定理得：，则， ∴在各选项中，线段的长可能是4， 故选：D． 60．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 先根据圆的内接四边形的性质可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴的长为． 故选：C． 61．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 62．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 【答案】8米/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故答案为：． 63．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为 ． 【答案】30° 【知识点】角平分线的性质定理、圆周角定理 【分析】根据圆周角定理求出，再由角平分线的性质可得到结果； 【详解】∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， 故答案为． 64．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 【答案】米 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，求得是解答的关键．连接交于D，连接，利用垂径定理的逆定理得到，米，在中，由勾股定理得，进而求得即可． 【详解】解：连接交于D，连接， 由题意，米，米， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴米， ∴（米）， 答：点到水面的距离为米． 65．(24-25九上·安徽安庆·期末)“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．    【答案】该门洞的半径为． 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，，    根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 66．(24-25九上·安徽淮北·期末)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】10寸 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合为的直径，弦于E，寸，则，根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设直径的长为寸， 则半径寸， 为的直径，弦于E，寸， （寸）， 连接OA，则寸， 根据勾股定理得， ∴， 解得， （寸）． 67．(24-25九上·安徽阜阳颍州区新世纪学校·期末)如图，为的半径，弦垂直平分半径，垂足为E．若的长为6，求的半径． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，勾股定理．熟练掌握垂径定理，线段垂直平分线性质，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 连接，根据垂直平分线的性质和垂径定理可得，，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，然后代入求值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为的半径，弦垂直平分半径，， ∴，， 设的半径为r， 则， 在中， 由勾股定理得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴的半径为． 68．(24-25九上·安徽六安裕安区青山路中学·期末)如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求某点的弧形运动路径长度、平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题平移作图，画旋转图形，弧长公式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点点的坐标，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求，， 点在旋转过程中经过的路径长为． 69．(24-25九上·安徽安庆·期末)如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1)图见详解 (2)这钢梁圆弧的半径长为 【知识点】利用垂径定理求值、确定圆心(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 70．(24-25九上·安徽淮南部分学校联考·期末)日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂径定理的实际应用、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； （2）解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 71．(24-25九上·安徽阜阳颍州区新世纪学校·期末)如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，推出，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，最后再由垂径定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 72．(24-25九上·安徽合肥包河区·期末)如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握及应用这些知识点是解此题的关键． （1）根据圆周角定理可得，由平行线的性质可得，再根据垂径定理即可得解； （2）设圆O的半径为，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴， ∴E为的中点； （2）解：∵，， ∴设圆O的半径为，，，． 在中，，即， 解得， ∴． 73．(25-26九上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，四边形是的内接四边形，连接、，延长至点E． (1)若，求证：平分； (2)若，的半径为2，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形、圆周角定理、求角的余弦值 【分析】（1）根据四边形是的内接四边形，可得，再根据结合圆周角定理即可得出，从而证得平分； （2）连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角为直角结合勾股定理可求得的长，从而求得，再根据圆周角定理可知，从而可得的值． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接并延长交于点，连接， 是直径， ， ，的半径为2， ， ， ， ， ． 74．(24-25九上·安徽淮北部分学校·期末)如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)的长为 (2)水面截线减少了 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为；    （2）如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了．    75．(24-25九上·安徽淮北五校联考·期末)如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点，连接，    由圆周角定理得：， 弦的长为8，且， ， 解得， 的半径为． （2）解：如图，过点作于点，     的半径为5， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， 则的正切值为． 76．(24-25九上·安徽淮南多校联考·期末)如图，平行四边形中，是上一点，平分，以为圆心，为半径的圆与相切于点，连接，作于点． (1)求证：与相切； (2)若，，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求解、利用平行四边形的性质求解、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）由相切得，由平分，，得，即可得证； （2）设的半径为；由平行四边形的性质及角平分线的性质得，从而得 ，即，；在中，由勾股定理建立方程求得的值；由确定r的值，根据阴影面积为梯形面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：与相切， ． 平分，， ． 与相切． （2）解：设的半径为，则． 四边形是平行四边形，，，， ． 平分， ， ， ． ，， ， ，． 在中，， ，解得或3． 当时，；当时，． ，， ， ， ， 即，． ，， ， 即， ． 77．(24-25九上·安徽淮南多校联考·期末)如图，四边形的四个顶点都在上，平分，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； （1）根据圆周角定理得到，在证，根据圆周角定理得结论； （2）根据圆内接四边形的性质和勾股定理即可解答； 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， （2）四边形的四个顶点都在上，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，． 设交于点E， 则 在中， ，即， 解得： 故 即的半径为6． 78．如图，在等腰中，，交于，两点，半径于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． 【详解】（1）证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 79．(24-25九上·安徽安庆外国语学校·期末)如图1，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，为的切线，点F在延长线上， (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识． （1）连接，证明，则，由为的切线，得到，则，进一步证明，即可得到结论； （2）设，则，在中，，解得，得到，，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ （2）如图， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 80．(24-25九上·安徽黄山歙县·期末)如图，是的直径，平分，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和角平分线得出，再根据垂线和平行线的性质得出，进而得出是的切线； （2）根据圆周角定理和垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如图，连接，交于， 是的直径， ， 又，， 四边形是矩形， ，，， ， ， 设的半径为， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 即的半径为5． 81．(24-25九上·安徽阜阳名校大联考·期末)如图，是半圆O的直径，与半圆O相切于D点，交于点E． (1)求证：； (2)若与的延长线相交于点F，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质，正切函数的定义． （1）连接，利用切线的性质求得，再利用等角的余角相等求得，根据等角对等边，即可证明结论成立； （2）求得，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为半圆O的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 82．(24-25九上·安徽淮南部分学校联考·期末)如图，是的直径，点P是延长线上一点，且与相切，弦于点F，过D点作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6； 【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据是半径，是的切线得，， 即，根据于F得，则，根据得，即可得； （2）在中，设，则，，由勾股定理可得，即，解得，则，，在中，根据等面积法可求，在中，由勾股定理得，即可得，根据角平分线的性质可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是半径，是的切线， ∴， ∴， 即， ∵于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在中，设， ∴，， 由勾股定理可得：， 即， 得， ∴，， ∵于F， ∴， 即， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的半径为6，的长为． 83．(24-25九上·安徽芜湖·期末)如图，是的外接圆，是的直径，点为上一点，，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据圆的一些性质找到角之间的关系，再根据直角三角形的性质找到边之间的关系． 根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，从而可证平分； 根据圆的性质可知，根据等角对等边可知，根据圆周角定理可知，所以可得，根据是的直径，可知，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可求的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 84．(24-25九上·安徽安庆·期末)如图．是的直径，点是的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（）连接，由点是的中点可得，由圆周角定理得，即得，即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，，进而由三角形中位线的性质得到，设，则，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， 点是的中点， ， ， 是所对的圆周角， ， ∴， ； （2）解：如图，连接交于点， ，， ， ，， 点是的中点， ， 是的中位线， ， ， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 考点10 圆与全等、相似综合题 85．(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． (1)求的长． (2)连接交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分别求出，，，．证明，可求出， （2）连接，求解，证明，利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ，， ， ， ∵， ， ． 为的直径， ． ， ， ，即， ． （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ， ， ． ，， ， ． 86．(24-25九上·安徽阜阳太和县·期末)如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，阴影部分的面积为 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、切线的性质定理、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 87．(24-25九上·安徽淮南多校联考·期末)如图，是的内接三角形，，弦交于点，连接.    （1）求证：； （2）若，，求的长. 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】根据等边对等角证明、同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得出，再根据圆周角定理得出，最后根据等量代换即可得； （2）结合题（1）的结论，推出，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1） 又（圆周角定理） ； （2）由（1）得：，即 又 又 故AB的长为． 88．(24-25九上·安徽淮北部分学校·期末)如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由切线的性质得，再证证，，进而可得，即可证明结论； （2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，证明，得，可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 89．(24-25九上·安徽淮北五校联考·期末)如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)当，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定及性质等； （1）连接，由圆的基本性质得，由圆周角定理得，由平行线的性质得，由切线的判定方法即可得证； （2）过作交于，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得 ，由三角形的面积求出，再由勾股定理求出，由矩形的判定及性质得，即可求解； 掌握圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定及性质，能熟练利用“连半径，证垂直”证明切线和构建直角三角形由勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， 的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：过作交于，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ． 90．(24-25九上·安徽合肥蜀山区·期末)已知：的直径与弦相交于点，是弦的中点，，为垂足． (1)如图，当是中点时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形得到，，再证明为的中位线得到，进而，，然后利用等边对等角求解即可求解； （2）连接，分别证明，得到，，进而得到即可得结论． 【详解】（1）解：连接，， ∵是中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵是中点，是弦的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是弦的中点， ∴， ∴，又， ∴， ∴，则； ∵是的直径， ∴，又， ∴， ∴，则， ∵， ∴，则． 91．(24-25九上·安徽合肥第四十五中学·期末)如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为． (1)求证：点是弧的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理． （1）连接，证明，即可证明点是弧的中点； （2）连接，证明，列出比例式，计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（舍去）， 故． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $