章末检测卷4 复数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(四)　复数 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：选C　∵a－1＋(a－2)i是实数， ∴a－2＝0，∴a＝2.故选C. 2．复数(i为虚数单位)的虚部是(　　) A．－ B． C．－i D．i 解析：选A　＝＝－i， 所以复数的虚部是－. 3．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z等于(　　) A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i 解析：选B　z＝＝＝＝－1＋i. 4．已知z＝2－i，则z(＋i)等于(　　) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i 解析：选C　因为z＝2－i， 所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i. 5．复数z＝2i2－(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　　根据复数的运算可得复数z＝－2＋i， 则z对应的点(－2，1)位于第二象限． 6．在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　) A．3＋i B．3－i C．1－3i D．－1＋3i 解析：选D　　在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i. 7．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　) A．E B．F C．G D．H 解析：选D　观察图形可知Z点对应的复数z＝3＋i， 则＝＝＝2－i，即对应点为H(2，－1). 8．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：选A　z＝＝ ＝＝ ＝－＋i， 所以＝－－i. 所以z·＝ ＝＋＝. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值为(　　) A．0 B. 1 C．－1 D．2 解析：选BC　因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i， 且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1. 10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0(k∈R)有实数根，则实数根为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 解析：选BD　设x0是方程的实数根，则x＋(k＋2i)x0＋2＋ki＝0，即(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的条件得 解得x0＝或－，故选BD. 11．下列是关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的是(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 解析：选BD　∵z＝＝－1－i， ∴|z|＝ ＝，∴A是假命题． ∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴B是真命题． ∵＝－1＋i，∴C是假命题． ∵z的虚部为－1，∴D是真命题．综上，故选BD. 12．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则1＝2 B．若z1＝2，则1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 解析：选ABC　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di. 选项 具体分析 结论 A 若|z1－z2|＝0，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，a＝c，b＝d，所以1＝2 正确 B 若z1＝2，则a＝c，b＝－d，所以1＝z2 正确 C 若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·1＝z2·2 正确 D z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi在a2＋b2＝c2＋d2的前提下不能保证a2－b2＝c2－d2，2ab＝2cd 错误 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．i是虚数单位，复数＝________． 解析：＝＝＝3－2i. 答案：3－2i 14．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 解析：法一：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|. ∵(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2， ∴4＋(a－b)2＝16，∴|a－b|＝2， 即|z1－z2|＝2. 法二：设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2××2＝2. 答案：2 15．若x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________． 解析：设x＝a＋bi(a，b∈R)， 则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2. ∵(x＋y)2－3xyi＝4－6i， ∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i. ∴即 故|x|＋|y|＝2|x|＝2. 答案：2 16．已知2＋i，2－i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的两个根，则p＝__________，q＝________．(本题第一空2分，第二空3分) 解析：由题意得(2＋i)＋(2－i)＝－p， (2＋i)(2－i)＝q，所以p＝－4，q＝5. 答案：－4　5 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)设复数z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，则实数m取何值时，复数z： (1)为纯虚数？ (2)为实数？ (3)对应的点在复平面的第四象限？ 解：(1)若z为纯虚数，则 解得m＝3，即m＝3时，复数z为纯虚数． (2)若z为实数，则 解得m＝－1或m＝－2， 即m＝－1或－2时，复数z为实数． (3)若复数z对应的点在复平面的第四象限， 则 解得－2<m<－1， 即－2<m<－1时，复数z对应的点在复平面的第四象限． 18. (12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求： (1)z1z2；(2). 解：z2＝＝＝ ＝＝1－3i， 则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)＝＝ ＝＝＋i. 19．(12分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数． (1)求复数z； (2)若ω＝，求复数ω的模|ω|. 解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i. 因为(1＋3i)·z是纯虚数， 所以3－3b＝0，且9＋b≠0， 所以b＝1，所以z＝3＋i. (2)ω＝＝＝ ＝－i. 所以|ω|＝ ＝. 20．(12分)已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|. (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解：(1)|z1|＝|i(1－i)3| ＝|i|·|1－i|3＝2. (2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2).所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1. 21．(12分)设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z＝－3＋4i. (1)求z2及|z2|. (2)若z1＝z2，求θ与a的值． 解：(1)设z2＝m＋ni(m，n∈R)， 则z＝(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni ＝－3＋4i， 所以 解得或 所以z2＝1＋2i或z2＝－1－2i. 又因为z2在复平面内对应的点在第一象限， 所以z2＝－1－2i应舍去，故z2＝1＋2i，|z2|＝. (2)由(1)知(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i＝1＋2i， 即解得cos θ＝. 因为θ∈(0，π)，所以θ＝， 所以a2＝1＋4sin2θ＝1＋4×＝4， 所以a＝±2. 综上，θ＝，a＝±2. 22．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2. (1)求z； (2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由题意得z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi， 所以 由①②得(x－y)2＝0， 所以x＝y，将其代入②得2x2＝2，所以x＝±1. 故或 故z＝1＋i或z＝－1－i. (2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)， 所以|AC|＝2 ，S△ABC＝×1×2＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)， 所以|AC|＝2. S△ABC＝×1×2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $