第6章 5.1 直线与平面垂直（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与平面垂直”，涵盖定义、判定定理、性质定理及线面角等核心知识。通过路灯灯柱、木工检查木棒等生活实例导入，衔接线线垂直旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和模型应用培养核心素养，如用正方体、四棱锥例题直观呈现线面关系，发展直观想象；通过严格逻辑推理证明定理，提升逻辑推理。课堂小结系统梳理判定方法，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第六章　立体几何初步 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 §5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四十） Part 03 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 前 预 习 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 任何一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 一条直线 一个平面 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 平行 a∥b 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 平行 任意一点 投影 锐角 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 两条相交 a∩b＝A l⊥α 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 垂直 垂直 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课时作业（四十） 点击进入word 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 谢谢观看 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解并掌握直线与平面垂直的相关定义、直线与平面所成角的定义． 2．掌握直线与平面垂直的性质定理、判定定理，并能运用它们解决有关线面垂直问题． 1．通过学习直线与平面垂直、直线与平面所成角的定义，培养直观想象的核心素养． 2．通过直线与平面垂直的性质与判定定理的应用，提高逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　直线与平面垂直的定义 ►知识填空 1．直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作________． 有关 概念 直线l叫做平面α的________，平面α称为直线l的________．它们唯一的公共点P称为________． 图示及 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． 2．重要结论(唯一性结论) 过一点有且只有____________与一个平面垂直，过一点有且只有____________与一条直线垂直． 知识点二　直线与平面垂直的性质 [问题]　 如图是马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，请回答下面的问题． (1)灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？ 答：垂直． (2)灯柱所在的直线间是什么位置关系？ 答：平行． ►知识填空 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 垂直于同一平面的两条直线________． a⊥α，b⊥α⇒_______． 2．直线到平面的距离 如果一条直线与平面________，那么这条直线上____________到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离． 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线与它在这个平面上的________所成的________叫做这条直线与这个平面所成的角． (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们所成的角是0°的角． 知识点三　直线与平面垂直的判定 [问题]　 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．用曲尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ 答：不能，因为不能保证木棒与板面内任一直线垂直． ►知识填空 1．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的____________直线垂直，那么该直线与此平面垂直． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α，,___________,l⊥a，l⊥b)) ⇒_______． 2．重要结论：如果两条平行线中的一条________于一个平面，那么另一条也________于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与平面所成的角为α，则0°<α≤90°.(　　) (2)如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线．(　　) (3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．直线l⊥α，m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行　　　　　　　 B．相交 C．异面 D．垂直 答案：A 3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 答案：C 4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 答案：C 题型一　线面垂直判定定理的应用 [例1]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A， ∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O＝ eq \r(6) ，OM＝ eq \r(3) ，A1M＝3， ∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM， 又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD. [反思感悟] 1．直线与平面垂直定义的双重作用 一是判定，是指如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直； 二是性质，是指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线． 2．证明线面垂直的关键点 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直，三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法． 如图所示，直角△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点， 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，连接BD(图略)， 则AD＝DC＝BD. 又因为SB＝SA，SD＝SD， 所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC. (2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD. AC∩SD＝D，所以BD⊥平面SAC. 题型二　线面垂直性质定理的应用 [例2]　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF与异面直线AC ，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示． 因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AC. 又因为AC⊥BD， BD∩DD1＝D， 所以AC⊥平面BDD1B1， 所以AC⊥BD1. 同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C， 所以BD1⊥平面AB1C. 因为EF⊥A1D，且A1D∥B1C， 所以EF⊥B1C. 又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C， 所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1. [反思感悟] (1)本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据． (2)在空间证明线线平行的方法有定义法、公理4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理． 如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 题型三　直线与平面所成的角 [例3]　在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证： (1)BC⊥平面PAC； (2)若AB＝ eq \r(2) AP，求直线AB与平面 AMN所成角的正切值． 证明：(1)∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵△ABC是直角三角形，AB为斜边， ∴BC⊥AC. 又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. (2)由(1)知BC⊥平面PAC， ∵AN⊄平面PAC，∴BC⊥AN. 又∵AN⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥PB. 又∵PB⊥AM，AM∩AN＝A， ∴PB⊥平面AMN. 即∠BAM是AB与平面AMN所成的角． ∵△AMB∽△ABP， ∴∠APB＝∠BAM， 在Rt△APB中，AB＝ eq \r(2) AP， ∴tan ∠APB＝ eq \r(2) . 故直线AB与平面AMN所成角的正切值为 eq \r(2) . [反思感悟] 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的投影，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算． 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：∠ABN是直线AB与平面PBM所成的角． 证明：设圆O所在的平面为α，因为PA⊥α，且BM⊄α，所以PA⊥BM. 又因为AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点， 所以AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A， 所以BM⊥平面PAM，而AN⊄平面PAM， 所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM， 所以AN与PM，BM两条相交直线都垂直． 故AN⊥平面PBM. 即∠ABN是直线AB与平面PBM所成的角． [课堂小结] 1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 2．线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是90°. (2)线面垂直，则线线垂直． 3．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据． $