第2章 2 从位移的合成到向量的加减法（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量加减法，涵盖定义、三角形法则、平行四边形法则、运算律及应用，通过位移合成问题导入，结合自主梳理、知识填空与自主检验，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接向量概念与运算。 其亮点在于以问题驱动探究，通过作图实践（如向量加减几何作图）、题型分层（作图、运算、综合应用）及反思感悟，培养直观想象与数学运算核心素养，课堂小结系统梳理方法，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §2　从位移的合成到向量的加减法 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十四） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 和 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 a＋b 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 起点 和 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 一致 之和 较大 绝对值 零向量 0 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 b＋a (b＋c) 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 相反向量 a＋(－b) 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 a－b 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（十四） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解向量加(减)法的定义，会用向量加(减)法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和(或差). 2．会用向量加法的运算律进行向量的加(减)运算． 1．通过向量加(减)法的定义，三角形法则、平行四边形法则的应用，培养直观想象的核心素养． 2．通过向量加(减)法的运算提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量的加法 [问题1]　 某对象从A地经B地到C地，两次位移 eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(BC,\s\up14(→)) 的结果，与从A地直接到C地的位移 eq \o(AC,\s\up14(→)) 的关系如何？ 答：结果相同，即 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up14(→)) . [问题2]　实数的加法满足哪些运算律？向量加法是否也满足这些运算律？ 答：实数的加法满足交换律和结合律，向量加法也满足． ►知识填空 1．向量加法的定义 求两个向量______的运算称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则、三角形法则 图示 作图方法 平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝b，以有向线段 eq \o(AB,\s\up14(→)) 和 eq \o(AD,\s\up14(→)) 为邻边作▱ABCD，则有向线段______表示的向量即为向量a与b的和，记作________． eq \o(AC,\s\up14(→)) 三角形法则 作有向线段 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a，以有向线段 eq \o(AB,\s\up14(→)) 的终点为________，作有向线段 eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝b，连接AC得到有向线段 eq \o(AC,\s\up14(→)) ，也可以表示向量a与b的______． 3．两个共线向量的和 若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向________，大小为两个向量大小________；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与________向量的方向一致，大小是两个向量大小差的__________． 其中互为相反向量的两个向量的和为__________，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝______． 4．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝________． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋____________． 知识点二　向量的减法 [问题]　 在数的运算中，减法可以看作加法的逆运算，那么向量的减法与向量的加法的关系怎样？ 答：向量的减法是向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b). ►知识填空 1．向量减法的定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的____________，即a－b＝_____________． 2．几何意义 如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量 eq \o(BA,\s\up14(→)) 就是__________．(如图) [自主检验] 1．在△ABC中，若 eq \o(BA,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝b，则 eq \o(CA,\s\up14(→)) 等于(　　) A．a　　　　　　　 B．a＋b C．b－a D．a－b 解析：选D　 eq \o(CA,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BA,\s\up14(→)) － eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝a－b. 2．化简 eq \o(OP,\s\up14(→)) － eq \o(QP,\s\up14(→)) ＋ eq \o(PS,\s\up14(→)) ＋ eq \o(SP,\s\up14(→)) 等于(　　) A． eq \o(QP,\s\up14(→)) B． eq \o(OQ,\s\up14(→)) C． eq \o(SP,\s\up14(→)) D． eq \o(SQ,\s\up14(→)) 解析：选B　原式＝( eq \o(OP,\s\up14(→)) ＋ eq \o(PQ,\s\up14(→)) )＋( eq \o(PS,\s\up14(→)) ＋ eq \o(SP,\s\up14(→)) )＝ eq \o(OQ,\s\up14(→)) ＋0＝ eq \o(OQ,\s\up14(→)) . 3．下列四式中不能化简为 eq \o(AD,\s\up14(→)) 的是(　　) A．( eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CD,\s\up14(→)) )＋ eq \o(BC,\s\up14(→)) B．( eq \o(AD,\s\up14(→)) ＋ eq \o(MB,\s\up14(→)) )＋( eq \o(BC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CM,\s\up14(→)) ) C． eq \o(OC,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CD,\s\up14(→)) D． eq \o(MB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up14(→)) － eq \o(BM,\s\up14(→)) 答案：D 4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 答案：0　2 题型一　向量加、减法几何作图及应用 [例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图(1)所示，在平面内任取一点O， 作 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝b，则 eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝a＋b， 再作 eq \o(OC,\s\up14(→)) ＝c，则 eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝a＋b－c. 法二：如图(2)所示，在平面内任取一点O， 作 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝b，则 eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝a＋b，再作 eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝c， 连接 eq \o(OC,\s\up14(→)) ，则 eq \o(OC,\s\up14(→)) ＝a＋b－c. [反思感悟] 求作几个已知向量的和或差的方法 (1)作两向量的和向量 ①将两个向量的起点平移到同一点O，作平行四边形，利用平行四边形法则得到和向量． ②利用三角形法则，依次平移两个向量，并让它们首尾相接． (2)作两向量的差向量 将两个向量的起点平移到同一点O，连接两向量终点，指向被减向量． (3)作多个向量的和或差时，应先确定作图顺序，再依次完成． 如图，在四边形ABCD中，根据图示填空： a＋b＝__________， b＋c＝__________， c－d＝__________． a＋b＋c－d＝__________． 答案：－f　－e　f　0 题型二　向量加、减法的运算 [例2]　化简： (1) eq \o(BA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OD,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) － eq \o(BC,\s\up14(→)) ； (2)( eq \o(AC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BO,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up14(→)) )－( eq \o(DC,\s\up14(→)) － eq \o(DO,\s\up14(→)) － eq \o(OB,\s\up14(→)) ). 解：(1) eq \o(BA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OD,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) － eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝( eq \o(BA,\s\up14(→)) － eq \o(BC,\s\up14(→)) )＋( eq \o(OD,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ) ＝ eq \o(CA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(CD,\s\up14(→)) . (2)( eq \o(AC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BO,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up14(→)) )－( eq \o(DC,\s\up14(→)) － eq \o(DO,\s\up14(→)) － eq \o(OB,\s\up14(→)) ) ＝ eq \o(AC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BA,\s\up14(→)) － eq \o(OC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CO,\s\up14(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BA,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BA,\s\up14(→)) ＝0. [反思感悟] 1．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 2．与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算． 1．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且 eq \o(BP,\s\up14(→)) ＝ eq \o(QC,\s\up14(→)) ，则化简 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up14(→)) － eq \o(AP,\s\up14(→)) － eq \o(AQ,\s\up14(→)) 的结果为(　　) A．0　　　　　　　 B． eq \o(BP,\s\up14(→)) C． eq \o(PQ,\s\up14(→)) D． eq \o(PC,\s\up14(→)) 解析： eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up14(→)) － eq \o(AP,\s\up14(→)) － eq \o(AQ,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) － eq \o(AP,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up14(→)) － eq \o(AQ,\s\up14(→)) ＝ eq \o(PB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(QC,\s\up14(→)) ＝－ eq \o(QC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(QC,\s\up14(→)) ＝0.故选A． 答案：A 2．化简：( eq \o(AD,\s\up14(→)) － eq \o(BM,\s\up14(→)) )＋( eq \o(BC,\s\up14(→)) － eq \o(MC,\s\up14(→)) )＝________． 解析：原式＝ eq \o(AD,\s\up14(→)) ＋ eq \o(MB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up14(→)) － eq \o(MC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up14(→)) ＋ eq \o(MC,\s\up14(→)) － eq \o(MC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up14(→)) . 答案： eq \o(AD,\s\up14(→)) 题型三　向量加、减法的综合应用 [例3]　如图，ABCD是平行四边形，设 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝b. (1)试用a，b表示 eq \o(AC,\s\up14(→)) ， eq \o(BD,\s\up14(→)) ； (2)当向量a，b满足什么条件时，ABCD是矩形？ (3)当向量a，b满足什么条件时，ABCD是菱形？ 解：(1)由运算法则可得 eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝a＋b， eq \o(BD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up14(→)) － eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝b－a． (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以要使ABCD是矩形，应满足| eq \o(AC,\s\up14(→)) |＝| eq \o(BD,\s\up14(→)) |，即|a＋b|＝|b－a|. (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使ABCD是菱形，应满足| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝| eq \o(AD,\s\up14(→)) |，即|a|＝|b|. [反思感悟] 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示． 已知a与b不共线，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为________． 答案： eq \f(π,2) [课堂小结] 1．向量的减法是加法的逆运算，向量的加法满足交换律和结合律． 2．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时(不共线时)，常选用平行四边形法则． 3．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 4．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. $