精品解析：四川省达州市渠县天关中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

四川省达州市渠县天关中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 2. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 无理数有：，，共个． 故选：A． 【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数． 3. 已知2街5巷的十字路口表示为，则表示（ ） A. 6街6巷的十字路口 B. 6街3巷的十字路口 C. 3街3巷的十字路口 D. 3街6巷的十字路口 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置．由已知2街5巷的十字路口表示为可知，第一个坐标表示街，第二个坐标表示巷，据此即可得出结论． 【详解】解：由已知2街5巷的十字路口表示为可知，第一个坐标表示街，第二个坐标表示巷， 据此表示3街6巷的十字路口， 故选：D． 4. 下列语句正确的是(　　) A. 4是16的算术平方根，即±＝4 B. ﹣3是27的立方根 C. 的立方根是2 D. 1的立方根是﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：A、4是16的算术平方根，即＝4，故A错误； B、﹣3是﹣27的立方根，故B错误； C、＝8，8的立方根是2，故C正确； D、1的立方根是1，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练理解立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根． 5. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 6. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5， 此时这个三角形的周长=3+4+5=12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=， 此时这个三角形的周长=3+4+=7+． 故选C 7. 如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A. 7 B. 8 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理．由折叠前后对应边相等可得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 故选：B 8. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，利用勾股定理正确得出的长是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故弧与数轴的交点P表示的数为：． 故选：B． 9. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴这块地的面积 ， 故选：A． 10. 实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若点的坐标为，且点在第四象限，则______0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限：已知点所在的象限求参数，因为点的坐标为，且点在第四象限，得出，即可作答． 【详解】解：∵点的坐标为，且点在第四象限， ∴， 则， 故答案为：． 12. 若一个正数的两个平方根是和，则的值为 __________． 【答案】49 【解析】 【分析】本题重点考查​​平方根的性质​​，特别是“一个正数的两个平方根互为相反数”这一概念，​​利用这一性质列出方程并求解参数，进而求出的值是解题的关键​​． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求出，计算即可． 【详解】解：，， ∴，， 故答案为：49． 13. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，根据新定义结合二次根式的混合运算计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 15. 如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运动规律，找出点的运动规律是解题的关键． 根据点的运动可得，横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环，由此即可求解． 【详解】解：第一次从原点跳动到点， 第二次跳动到点， 第三次跳动到点， 第四次跳动到点， 第五次跳动到点， 第六次跳动到点， ∴横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，根据运算顺序和相关公式进行计算即可； （1）根据二次根式的性质进行化简，再进行合并同类二次根式即可得到答案； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，再进行同类二次根式合并即可得到答案. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， 则， 解得：或； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）的平方根是． 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值； （2）由（1）可知，，，根据平方根的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2，的平方根是， ∴，， ∴，， ∵c是的整数部分，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若点M在x轴上，求m的值和点M坐标； （2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值； （3）若轴，且，求n的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）的值为4或2 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标等于0即可得； （2）先点的横、纵坐标的绝对值相等即可得； （3）先根据可得的值，再根据轴可得点的横坐标相等，由此即可得． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得：， ， ∴点M的坐标为． 【小问2详解】 解：点到轴，轴距离相等， ， 即或， 解得：或． 【小问3详解】 解：轴，且，点，点， ，， 解得或， 当时，， 当时，， 综上，的值为4或2． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律、点到坐标轴的距离，熟练掌握点坐标的特征是解题关键． 20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是． （1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． （2）的面积是 ． （3）作关于y轴对称的，则A、两点之间的距离是 ． 【答案】（1）； （2）10 （3）如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，勾股定理的应用． （1）由点B，点C的位置可得其坐标． （2）利用割补法求解网格三角形的面积即可． （3）先确定点关于y轴对称的对称点，再顺次连接即可，最后利用勾股定理求解A、两点之间的距离即可． 【小问1详解】 解：由坐标系可得：点B的坐标为，点C的坐标为． 【小问2详解】 解：的面积是： ． 【小问3详解】 解：A、两点之间的距离是：． 21. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． （1）求滑道的长度； （2）若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到米，参考数据：） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可得：是直角三角形，，且，设滑道的长度为米，则米，米，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）设米，则米，由勾股定理得（米），则，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意可得：是直角三角形，，且， ，， ，， 设滑道的长度为米，则米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：滑道的长度为米； 【小问2详解】 ， ， ， 设米，则米， （米）， ， 解得：， （米）， 由（1）可知，（米）， （米）． 答：的长约为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22. 小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）______； （2）若，则______； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】（1） （2） （3）或，或， 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【小问1详解】 解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； 【小问2详解】 解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． 【小问3详解】 解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 23. 三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． （1）请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． （2）应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 【答案】（1） 解：， ， ∴， ∴． （2）秋千的长为4米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）根据空白部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，也等于边长为的两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 在中，，即， 解得； 答：秋千的长为4米． 24. 【阅读理解】 在二次根式中，常有相辅相成的“对子”，他们的乘积为有理数． 如：，，它们的乘积中不含根号，我们就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个因式是另一个因式的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解答： ，． 像这样通过分子、分母同乘一个不为零的式子把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）将分母有理化的结果为______； （2）已知：，，求的值； （3）根据以上经验可得：， ， ， ， 按照上述规律，求的值． 【答案】（1） （2） （3）44 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的加减运算，熟练掌握运算公式及运算法则是解题的关键； （1）分子分母同乘以即可得到答案； （2）代入后先分母有理化，再进行加减法即可； （3）先分母有理化，再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ； 【小问3详解】 解： ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． （1）求点的坐标和点的坐标； （2）在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； （3）在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 （3） 或．理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时， 有， ； ②如图，当点在点下方时， 有， ， ， 综上所述，或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质． （1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时， ， 三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县天关中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 2. 在实数，，，，，中，无理数的个数是（　　） A. B. C. D. 3. 已知2街5巷的十字路口表示为，则表示（ ） A. 6街6巷的十字路口 B. 6街3巷的十字路口 C. 3街3巷的十字路口 D. 3街6巷的十字路口 4. 下列语句正确的是(　　) A. 4是16的算术平方根，即±＝4 B. ﹣3是27的立方根 C. 的立方根是2 D. 1的立方根是﹣1 5. 已知点和关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 6. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对 7. 如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A. 7 B. 8 C. D. 9 8. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 9. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 90 10. 实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若点的坐标为，且点在第四象限，则______0．（填“”“”或“”） 12. 若一个正数的两个平方根是和，则的值为 __________． 13. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么_____． 14. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 15. 如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值． （2）求的平方根． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若点M在x轴上，求m的值和点M坐标； （2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值； （3）若轴，且，求n的值． 20. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是． （1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ． （2）的面积是 ． （3）作关于y轴对称的，则A、两点之间的距离是 ． 21. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米． （1）求滑道的长度； （2）若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长．（精确到米，参考数据：） 22. 小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）______； （2）若，则______； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 23. 三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． （1）请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． （2）应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 24. 【阅读理解】 在二次根式中，常有相辅相成的“对子”，他们的乘积为有理数． 如：，，它们的乘积中不含根号，我们就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个因式是另一个因式的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解答： ，． 像这样通过分子、分母同乘一个不为零的式子把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）将分母有理化的结果为______； （2）已知：，，求的值； （3）根据以上经验可得：， ， ， ， 按照上述规律，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动． （1）求点的坐标和点的坐标； （2）在点P，Q运动的过程中，连接，，使三角形的面积是三角形面积的4倍，求出点P的坐标； （3）在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $