专题02 安徽期末真题精选压轴80题9考点（高效培优期末专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题02 安徽期末真题精选压轴80题9考点 （高效培优期末专项训练） 考点01 选填小压轴数字与图形规律 考点02 选填小压轴多解问题 考点03 选填小压轴多结论问题 考点04 填空小压轴双空题 考点05 解答压轴题一次方程（组）的实际应用 考点06 解答压轴题线段综合题 考点07 解答压轴题角的综合题 考点08 解答压轴题一元一次方程综合应用 考点09 解答压轴题新定义与阅读理解 考点01 选填小压轴数字与图形规律 1．(24-25七上·安徽六安金寨县·期末)有一数列…，…，其中从开始，每一个数都是1与它前面那个数的差的倒数，如：，……，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，明确题意，发现题目中的数字变化规律是解题的关键． 根据题意，求出前几个数，总结出数字的变化规律，即可得到的值． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 因此，这列数依次以循环出现， ， ， 故选：D 2．(24-25七上·安徽安庆潜山·期末)规定正整数n的“H运算”：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，…（连续乘，一直算到H为奇数停止）．如：数5经过1次“H运算”的结果是28，经过2次“H运算”的结果为7，经过3次“H运算”的结果为34；那么数257经过2025次“H运算”得到的结果是（    ） A．161 B．1 C．16 D．64 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型－数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．按照①②规定的运算一次一次的计算，得出它们的结果，从中发现规律求解． 【详解】解：第1次： 第2次： 第3次： 第4次： 第5次： 第6次： 第7次： 第8次： 第9次： 第10次： 第11次： 第12次： 第13次： … ∴从第10次开始偶数次等于1，奇数次等于16 ∵2025是奇数 ∴第2025次是16 故选：C． 3．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 4．(24-25七上·安徽合肥肥东县·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，请你探索第2025次得到的结果为（   ） A．6 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了与程序流程图相关的规律问题，数字类规律探究，正确理解题意找到规律是解题关键．分别计算出前九次的输出结果，可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，依次为12、6、3，由此进行求解即可． 【详解】解：开始输入的值为30， 第一次得到的结果为， 第二次得到的结果为， 第三次得到的结果为， 第四次得到的结果为， 第五次得到的结果为， 第六次得到的结果为， 第七次得到的结果为， 第八次得到的结果为， 第九次得到的结果为， …… 观察发现，从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，依次为12、6、3， ， 第2025次得到的结果为12， 故选：B． 5．(24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末)按一定规律排列的一列数依次为：，5，，17，，…，按此规律排列下去，第n个数（n为正整数）是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查根据数值的变化分析规律，关键在于通过数值的变化进行分析、归纳、总结． 从数的变化，可以先考虑它们的绝对值的变化规律，为，然后每隔一个数为负数，最后归纳第n个数即． 【详解】解：根据数值的变化规律可得： 第一个数： 第二个数： 第三个数： ∴第n个数为：． 故选：B． 6．(24-25七上·安徽合肥高新区·期末)如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键． 根据每行的最后一个数是这个行的行数a的平方，第a行的数字个数是个，由此规律可进行求解m和n的值，代入求值即可． 【详解】解：第一行1个数， 第二行3个数， 第三行5个数，……， 第a行个数， ∴前a行共有个数， ∵，， ∴第45行共有89个数，最后一个数是2025， ∴2024在第45行第88个数， ∵自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数， ∴，， ∴． 故答案为：133． 7．(24-25七上·安徽宣城·期末)按一定规律排列的单项式：，…第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解： ，…， 各单项式的系数的绝对值可表示为： 又各单项式的系数的符号为： 各单项式的系数的符号可利用：来确定， 各单项式含字母的部分为： 各单项式含字母的部分规律为： 第n个单项式是， 故选： 8．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据题意可知，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：C． 9．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)观察下列算式2+3=5、2+3=13、2+3=35、2+3=97、2+3=275、2+3=793、… ．则3（2+2+…+2）+2（3+3+…+3）的末位数字是（      ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据前几个等式的变化规律发现末尾数字是5、3、5、7为一组循环出现，再将所给算式变形求解即可． 【详解】解：观察算式2+3=5、2+3=13、2+3=35、2+3=97、2+3=275、2+3=793、…， 发现末尾数字是5、3、5、7为一组循环出现， 由于3（2+2+…+2）+2（3+3+…+3） =6（21+22+…+21）+6（31+32+…+31） =6[（21+31）+（22+32）+（22+33）…+（22021+32021）] ， 又2021=505×4+1，5+3+5+7=20， ∴6×（20×505+5）=60630， ∴原式的末尾数字为0， 故选：A． 10．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键． 仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第1个图形中黑色正方形的数量为2， 第2个图形中黑色正方形的数量为3， 第3个图形中黑色正方形的数量为5， 第4个图形中黑色正方形的数量为6， 第5个图形中黑色正方形的数量为8， ．．．， 当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个； 当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个， 当时，． 故选：D． 考点02 选填小压轴多解问题 11．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线定义以及分类讨论的思想，解题关键是运用分类讨论的思想． 分两种情况讨论：在的外部时，在的内部时，分别根据角的和差以及角平分线定义进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论：在的外部时， ，ON分别平分，， ，， ； 在的内部时，此时B与N重合， ，ON分别平分、， ，， ； 因此的度数为或． 故选D． 12．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 13．(24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末)已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 14．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)定义：数轴上表示数，的点A，之间的距离．如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．当点A，之间的距离等于3个单位长度时，则经过的时间长为 ． 【答案】4秒或6秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值方程、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义等知识，解题的关键是：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； 【详解】解：设经过x秒，则A表示的数为， B表示的数为， 根据题意，得，解得或6， 答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度． 故答案为：4秒或6秒． 15．(24-25七上·安徽宿州泗县·期末)如图，点A，C，B在数轴上表示的数分别是，1，5．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．当点P，Q到点C的距离相等时，t的值是 ．    【答案】或或或4 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清动点的运动方向、速度、时间以及两个动点的运动是属于相遇问题还是属于追及问题．依据题意，按点P在上运动和点P在上运动分类讨论，又分为点C在P、Q两点之间和P、Q两点重合，分别列方程求出相应的t的值． 【详解】解：由题意得：， 点P在上运动时， 当时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 当时，若点P在点C右侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 点P在上运动 当时，若点P在点C右侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 当时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 综上所述，t的值为或或或4． 故答案为：或或或4． 16．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 【答案】2或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，分和两种情况，分别用含t的式子表示出点P和点Q表示的数，进而表示出线段的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：2或． 考点03 选填小压轴多结论问题 17．(24-25七上·安徽巢湖·期末)有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】本题考查用数轴判断式子的正负、有理数的加减和乘法运算、绝对值的意义，根据有理数在数轴上的位置得到，，进而利用有理数的运算法则判断式子的符号即可求解． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，，， 故正确的有①、④和⑤，共3个， 故选：C． 18．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子： ①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】求一个角的余角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的定义，解题的关键是掌握余角和补角的定义．根据补角的定义可得：，，，根据余角的定义可得：的余角为，即可逐一判断． 【详解】解：和互补， ，，， 的余角为，故①正确； 的余角为，故②正确； 的余角为，故④正确； 和互补，且， 不是的余角，故③错误； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 19．(24-25七上·安徽宿州泗县·期末)对多项式添加1个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如：，称为对多项式的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，…… 下列说法正确的个数是（   ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，再进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：，且，则， ∴原式； 第二种情况：， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 第三种情况，， ∵， ∴，则原式； 第四种情况：， ∵， ∴原式； 再进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：， ∵，则， ∴当时，原式； 当时，原式； 第二种情况：， 当时，原式； 当时，原式； 第三种情况：， ∵， ∴原式； 第四种情况： ∵， ∴原式； 综上所述，经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果不可能为， ∴①错误； 进行一次“绝对操作”如下， 第一种情况：（为任意实数）； 第二种情况：（为任意实数）； 第三种情况：； 第四种情况：； 第五种情况：（为任意实数）； 第六种情况：（为任意实数）； 综上所述，化简结果有4种， ∴②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种，故错误； 经过一次“绝对操作”后的结果有： ；；；； 经过二次“绝对操作”后的结果有： ；；；；；；； 综上所述，③错误； ∴正确的个数是0个， 故选：A． 20．(24-25七上·安徽池州青阳县·期末)如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 21．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠AOF=∠DOF， ∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF， 即∠COE=∠BOE，所以①正确； ∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°， 所以②正确； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键． 22．(24-25七上·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)如图，在三角形中，点、在线段上，平分，有下列说法：①以为顶点的角共有6个；②以、、、为端点的线段共有4条；③若，，则；④若，，，则：：；其中说法正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段、角的和与差以及角度的计算，一元一次方程的应用；按照一定的顺序数出以为顶点的角即可判断①；按照一定的顺序数出以、、、为端点的线段即可判断②；根据角平分线定义、角的和与差计算即可判断③；根据线段的和与差计算即可判断④． 【详解】解：以为顶点的角有：、、、、，，共有6个，故①正确；以、、、为端点的线段有：、、、、、，共有6条，故②错误； ∵平分，， ∴， 又， ∴， 故③正确； ∵，， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故④正确， 故答案为：①③④． 23．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)如图，点O为线段外一点，M，C，B，N为上任意四点，连接，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则； ③若M为的中点，N为的中点，则； ④若，则． 正确的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】线段中点的有关计算、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角和线段的相关知识，正确判断角以及不同的角之间的关系成为解题的关键． 在①中，从以为边，以为边，以为边，以为边，以为边，数出有几个角即可．在②中，由平分，平分，可设，再换算即可．在③中，由M为的中点，N为的中点，得，再换算即可．在④中，设，设，再换算即可． 【详解】解：在①中，以为边的角有5个，以为边的角有4个，以为边的角有3个，以为边的角有2个，以为边的角有1个，一共有15个，故①正确． 在②中，如图，由平分，平分， 可设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故②正确． 在③中，∵M为的中点，N为的中点， ∴， ∴，故③正确． 在④中，∵， ∴设，， ∴， ∵，， ∴，故④错误． 综上所述，正确的①②③， 故答案为：①②③． 考点04 填空小压轴双空题 24．(24-25七上·安徽淮南·期末)如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 【答案】 【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解． 【详解】解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； …… n条直线交点最多为． 故答案为：；． 25．(24-25七上·安徽芜湖无为·期末)已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，点对应的数为 ，点对应的数为 ． （1）的中点 对应的数为 （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 秒． 【答案】 40 13秒或27秒 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查题考查数轴上两点之间的距离． （1）先求出4、B两点之间的距离，再求出M点到A、B两点的距离，然后再用B点对应的数减去M点到A、B两点的距离即可求得答案． （2）此问分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∵点对应的数为 ， ∴对应的数为， 则与A，B两点距离相等的M点对应的数为40， 故答案为：40； （2）相遇前∶ (秒)， 相遇后∶(秒)， 则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， 故答案为：13秒或27秒． 26．(24-25七上·安徽安庆潜山·期末)如图，射线在内，图中共有三个角，和，若其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍，则称射线是的“2倍线”． （1）一个角的平分线 这个角的“2倍线”（选填“是”或“不是”）； （2）若，射线是的“2倍线”，则的度数为 ． 【答案】 是 ，或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程在新定义习题中的应用，理清数量关系是解题的关键． （1）根据“2倍线”的定义即可得到答案； （2）分三种情况，由“2倍线”的定义即可得到答案． 【详解】解：（1）根据“2倍线”的定义，的角平分线是这个角的“2倍线”； 故答案为：是； （2）若，射线是的“2倍线”， ①，此时； ②，此时； ③，此时； 故答案为：，或． 27．(24-25七上·安徽池州青阳县·期末)对于数，用表示小于的最大整数，例如，，． （1）填空： ； （2）若，则的最大值为 ． 【答案】 2 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了相反数的意义： （1）根据的意义进行求解即可； （2）分x、y均为小数；x与y中有一个是小数，一个是整数以及x、y都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）当都为整数时，则， ∵， ∴， ∴， 当x、y中有一个整数，一个小数时，不妨设x为整数，y的小数部分为z， ∴， ∵， ∴， ∴； 当x、y都为小数时，设x的小数部分为m，y的小数部分为n， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，， ∴的最大值为2， 故答案为：2． 28．(24-25七上·安徽亳州·期末)如图，将两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起． （1）若，则∠BAD＝ °． （2）请写出∠BAD与∠EAC之间的数量关系： ． 【答案】 100° 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】（1）利用角的和差求得∠CAB的度数，则∠BAD＝∠DAC+∠CAB； （2）利用（1）中的方法计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：∠DAC＝EAB＝60°， ∵∠EAC＝20°， ∴∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°． ∴∠BAD＝∠DAC+∠CAB＝60°+40°＝100°． 故答案为：100°； （2）∠BAD与∠EAC之间的数量关系：∠BAD+∠EAC＝120°．理由： 由题意得：∠DAC＝EAB＝60°， ∵∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝60°﹣∠EAC， ∴∠BAD＝∠DAC+∠CAB＝60°+60°﹣∠EAC＝120°﹣∠EAC． ∴∠BAD+∠EAC＝120°． 故答案为：∠BAD+∠EAC＝120°． 29．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意可得，从而得出，代入数值求解即可． （2）依据题意，，结合，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：∵和互补， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．(24-25七上·安徽宣城·期末)已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为 （2）若，则的度数为 【答案】 /40度 /45度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用平角的定义进行计算是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，则由平角的定义得到； （2）根据角平分线的定义得到，再由，得到，由此求出，进而得到，则由平角的定义得到． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 31．(24-25七上·安徽六安金寨县·期末)如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计） （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 【答案】 30 25或35 【知识点】两点间的距离、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：30； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或35． 32．(24-25七上·安徽合肥蜀山区·期末)如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 【答案】 45 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）根据角的和差关系以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）设，根据角的和差关系以及角平分线的定义，推出，，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）设， ∵射线分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 33．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在，上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ； （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 /10厘米 或 【知识点】线段的和与差、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段和差计算等知识，解题关键是结合题意作出图形，并运用分类讨论的思想分析问题． （1）结合题意作出图形，由折叠的性质可得，可得，然后由求解即可； （2）分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）如下图， 由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即，两点间的距离为； （2）∵， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，如下图， 则有， ∴， ∴； ②当点在点右侧时，如下图， 则有， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：；或． 34．(24-25七上·安徽六安霍邱县·期末)如果一个两位数的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则 （用含、的式子表示）． 【答案】 7 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查新定义的数、列代数式、整式的四则混合运算的应用等知识点，理解“迥异数”的定义成为解题的关键． （1）根据题意直接将数值代入即可； （2）根据题意写出“迥异数”是含有m、n的式子，然后再根据题意列代数式化简即可． 【详解】解：（1）． 故答案为∶7． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则， 所以． 故答案为：． 35．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点落在点，点落在点． （1）若点，，在同一直线上，如图1，度，则 度； （2）若点，，不在同一直线上，如图2，度，则 度． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，角度计算，掌握翻折变换是解题的关键． （1）根据题意得出，，再根据平角的性质进行计算即可； （2）根据题意得出，，再根据平角的性质进行计算即可； 【详解】解：（1）由题意得：，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 36．(24-25七上·安徽池州青阳县·期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 【答案】 或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题属于新定义类型的问题，考查角的计算， （1）根据，则，由此可得出结论； （2）根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数；然后分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值； 解题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，， ∴， ∵将顺时针旋转（）得到， ∴， 分两种情况： 如图，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 综上所述，的值为或． 37．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 °； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角度数为 °． 【答案】 30或90/90或30 45或135/135或45 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）分的角在的内部和外部两种情况求解即可； （2）分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图1，，， 则； 如图2，，， 则； 故答案为：30或90； （2），分别是，的平分线，， 如图3， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图4， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45或135． 38．(24-25七上·安徽淮南寿县寿县广岩初级中学·期末)如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的定义，互补的含义，角的和差运算； （1）由角平分线的性质可得，，结合角的和差运算可得答案； （2）由角平分线的性质可得，，结合与互补，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵平分，平分， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 39．(24-25七上·安徽六安清水河学校·期末)一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，．求的最小值为 ，若满足时，则的值是 ． 【答案】 4 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查绝对值的意义、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值的知识和分类讨论的方法解答．根据题目中的数据可以用相应的绝对值表示两点的距离；利用分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】解：∵表示x与2距离，表示x与距离， ∴当表示x的点在2与之间时，的值最小，且最小值是； 当时，，； 当时，； 当时，，； ∴当时 故答案为：4；． 40．(24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末)斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【知识点】单项式规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 41．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 42．(24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末)在如图所示的数轴上，点表示的数为−7，点表示的数为5． （1）点与点之间的距离为 ． （2）若一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为秒，当，之间的距离为8个单位长度时，的值为 ． 【答案】 或/或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查数轴上两点间距离，一元一次方程应用． （1）根据题意利用两点间距离公式即可求出； （2）根据题意分情况讨论列出方程解出即可． 【详解】解：（1）∵点表示的数为−7，点表示的数为5， ∴点与点之间的距离为：； （2）由（1）知：， ①当，没有相遇时，之间的距离为8个单位长度， ∴，即：，解得：； ②当，相遇后之间的距离为8个单位长度， ∴根据题意得：，解得：， 故答案为：或． 43．(24-25七上·安徽合肥高新区·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 考点05 解答压轴题一次方程（组）的实际应用 44．(24-25七上·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人游园，其中（1）班有40多人，但不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元． (1)七年级（1）、（2）班各有学生多少人？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？请说明理由． 【答案】(1)七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生 (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱 (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱 【知识点】有理数减法的实际应用、两个有理数的乘法运算、有理数乘法的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有个学生，根据购票总费用=（1）班购票费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240做差即可得出结论； （3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有个学生， ∵（1）班有40多人，但不足50人， ∴（2）班学生超过50人，不足100人， ∴（1）班按照每张票的价格为13元购票，（2）班按照每张票的价格为11元购票， 由题意得：， 解得：， ∴． 故七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生； （2）（元）； 故如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱． （3）（元），（元）， ∴， ∴如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱． 45．(24-25七上·安徽淮南寿县寿县广岩初级中学·期末)2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【答案】(1)种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； (2)见详解 (3)A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个，根据题意列关于的一元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， ∴（元）， 种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； （2）解：设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，， ． 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； ∴ ∴当购买B种款式吉祥物大于个时，选择方案二合算； 当购买B种款式吉祥物等于个时，选择方案一和方案二一样合算； 当购买B种款式吉祥物大于个且小于个时，选择方案一合算； （3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100个， ∴设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个， ∵A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，且A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个， ∴， 解得． ∴ 则A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个． 46．(24-25七上·安徽芜湖无为·期末)移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 【答案】(1)他11月的月结话费是90元 (2) (3)当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据套餐A的收费方案列式求解； （2）根据“套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元”列方程求解； （3）根据使用流量的多少，计算比较大小． 【详解】（1）解： = （元） 答：他的月结话费为90元． （2）解：根据题意得： 解得， 答：x的值是17； （3）解：设他使用的流量为， 当时，选择A套餐； 当时，使用A套餐需要付费：，使用B套餐需要99元，故选择A套餐， 当时，使用A套餐需要付费：元，使用B套餐需要付费：元， 当，解得：， 即当时，选A套餐，当时，选B套餐； 综上所述：当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 47．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元，……依此类推 B套餐 1份盖饭＋1杯饮料 28 C套餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． 【数学思考】 （1）他们共点了_____份B套餐（用含x的代数式表示）； 【问题解决】 （2）若他们所点的套餐中共有6杯饮料，求他们实际消费的金额； （3）若优惠后他们共花费256元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 【答案】（1）；（2）元；（3）见解析 【知识点】列代数式、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据B套餐饮料杯数+C套餐饮料杯数=x，C套餐饮料杯数=C套餐小菜份数，结合已知，列式解答即可； （2）根据5份小菜，得到购买C套餐5份，有5杯饮料．结合套餐中共有6杯饮料，得到购买一份B套餐，于是求得购买A套餐5份，计算出原始付款金额，根据优惠政策，计算实际消费的金额即可； （3）根据题意，得他们点了份A套餐，份B套餐，5份C套餐， 分消费满150元，减24元共花费256元和消费满300元，减48元，共花费256元解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：（1）解：根据题意，得B套餐饮料杯数+C套餐饮料杯数=x，C套餐饮料杯数=C套餐小菜份数， ∵有5份小菜， ∴C套餐中有5杯饮料， ∴B套餐中饮料杯数为：． 故答案为：． （2）解：根据5份小菜，得到购买C套餐5份，有5杯饮料． 又套餐中共有6杯饮料，得到购买一份B套餐， 故购买A套餐5份， 故原价为（元）． ∵， ∴他们实际消费的金额是（元）． （3）解：根据题意得，他们点了份A套餐，份B套餐，5份C套餐， 当消费满150元但不满300元时， ， 解得， ∴，， ∴他们点了6份A套餐，5份C套餐． 当消费满300元时， ， 解得， ∴，， ∴他们点了3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 综上，他们点了6份A套餐，5份C套餐或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 48．(24-25七上·安徽阜阳颍州区·期末)甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元． （1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用； （2）当x=6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由． （3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？ 【答案】（1）在甲商场所付的费用：0.8x+800（元），在乙甲商场所付的费用：0.9x+300（元）； （2）在甲商场购买更优惠；（3）当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）在甲商场所付的费用=4000+超过4000元的部分×80%，在乙甲商场所付的费用=3000+超过3000元的部分×90%； （2）把x=6000代入（1）中的两个代数式即可； （3）由题意得：在甲商场所付的费用=在乙甲商场所付的费用，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：（1）在甲商场所付的费用：4000+（x﹣4000）×80%=0.8x+800（元）， 在乙甲商场所付的费用：3000+（x﹣3000）×90%=0.9x+300（元）； （2）当x=6000时， 在甲商场所付的费用：0.8x+800=0.8×6000+800=5600（元）， 在乙甲商场所付的费用：0.9x+300=0.9×6000+300=5700（元）， ∵5700＞5600， ∴在甲商场购买更优惠； （3）根据题意可得：0.8x+800=0.9x+300， 解得：x=5000， 答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同． 49．(24-25七上·安徽亳州·期末)某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)购进甲商品150件，购进乙商品100件 (2)可获利1900元 (3)第二次乙商品是按原价打9折销售 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用6000元购进甲、乙两种商品”列出方程求解即可； （2）根据“总利润=甲的利润+乙的利润”列出算式求解即可； （3）先得出第二次购进甲商品件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， 答：购进甲商品150件，购进乙商品100件； （2）解：根据题意可得： （元）， 答：可获利1900元； （3）解：第二次购进甲商品件， 第二次购进乙商品（件）， 设第二次乙商品是按原价打y折销售， ， 解得：， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 50．(24-25七上·安徽巢湖·期末)综合与实践 【项目背景】 砂糖橘是广西桂林特产，具有皮薄、汁多、化渣、味清甜、吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．为保证砂糖橘新鲜需用带冷柜的货车运输．在砂糖橘收获的季节，巢湖市某初中七年级同学前往当地最大的水果批发市场开展综合实践活动，其中一个项目是：对一批砂糖橘的运输费用进行调查统计，为商户的运输选择提供一些参考： 【材料收集与整理】 材料一：现有A，两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，型车的平均速度为75千米/小时，从桂林到巢湖型车比型车少用4小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖橘没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖橘从桂林到巢湖时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时·辆） 8元/（小时·辆） （参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费） 【数据分析与运用】 任务1  请求出A型车从桂林到巢湖的时间； 任务2  请求出这批砂糖橘共有多少吨？ 任务3  本次砂糖橘从桂林到巢湖的运输单独安排A型车或型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【答案】任务1：A型车从桂林到巢湖的时间为20小时；任务2：这批砂糖橘共有32吨；任务3：单独安排A型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是8000元 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，找准等量关系，正确列出算式和方程是解题的关键． （1）设A型车从桂林到巢湖的时间为小时，则型车从桂林到巢湖的时间为小时，根据路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有吨，根据单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【详解】（1）解：设A型车从桂林到巢湖的时间为小时，则型车从桂林到巢湖的时间为小时，依题意，得 解得：． 答：A型车从桂林到巢湖的时间为20小时． （2）解：设这批砂糖橘共有吨，依题意，得 ， 解得：． 答：这批砂糖橘共有32吨； （3）解：A型车为（辆）； 型车为（辆）…4（吨），即：（辆）； 运输32吨砂糖橘，A型车需要4辆，型车需要5辆， 从桂林到巢湖的距离为：（千米）． 安排A型车的总费用：（元） 安排型车的总费用：（元） 因为，所以单独安排A型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是8000元． 51．(24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【答案】(1)8 (2)乙同学接了温水，开水 (3)这杯水混合后的水温为 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． 52．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 53．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆； 方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆； 方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆． (3)方案3获利最大，最大利润是12.1万元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解，有理数混合运算的应用； （1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用110万元，购买3辆A型汽车购买2辆B型汽车的费用115万元；据此列出方程组，即可求解； （2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，等量关系式：购买a辆A型号的汽车的费用购买b辆B型号的汽车的费用400万元，列出方程，求出正整数解，即可求解； （3）根据（2）的购买方案，求出每种方案的获利情况，进行比较，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得： ， 解得：， 答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元． （2）解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得： ， 即：， 因为两种型号的汽车均购买， 所以a、b均为正整数， 所以或或， 所以共有以下3种购买方案： 方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆； 方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆； 方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆． （3）解：方案1可获利：（万元） 方案2可获利：（万元） 方案3可获利：（万元） 因为 所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元． 54．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A 、 B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元 (2)方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车；方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车；方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； (3)购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据 2 辆型汽车、 3 辆型汽车的进价共计 80 万元； 3 辆型汽车、 2 辆型汽车的进价共计 95 万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用 180 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可； （3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：A ， B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元； （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得且为正整数， 解得或或， ∴该公司共有三种购买方案， 方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车； 方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车； 方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； （3）解：当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 由上可得，最大利润为77000 元， ∴购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元． 考点06 解答压轴题线段综合题 55．(24-25七上·安徽淮南·期末)如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段和差运算以及与线段的中点有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，点是的中点，则，即可作答． （2）因为，点是的中点．所以，结合，即可作答． （3）依题意，进行分类讨论，即当点在线段的外部时或当点在线段的内部时，且结合线段的和差运算，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点． ∴； （2）解：∵，点是的中点． ∴， 由（1）得出， ∴． （3）解：依题意，当点在线段的外部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 当点在线段的内部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 综上：的长为或． 56．(24-25七上·安徽芜湖无为·期末)如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，． ①点是线段的中点吗？请说明理由． ②点在线段上，若，求的长．（写出必要的推理计算的过程） 【答案】(1)见解析 (2)①是，理由见解析② 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由于，，则，故，即可说理； ②因为，，则，故所以，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：①因为，． 所以． 又因为，所以为的中点． ②因为， 所以， 所以． 57．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)如图，点C在上，点M、N分别是的中点， (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键． （1）根据题意求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （2）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； （3）根据题意设得到，求得和的长，利用线段的关系即可得出答案； 【详解】（1）解：∵，，M，N分别是，的中点 ∴，， 则． （2）解：设，， ∵M，N分别是，的中点． ∴，， 则． （3）解： 设，根据题意得，如图， ∵点C在线段的延长线上，M，N分别是，的中点， ∴，， 则． 58．(24-25七上·安徽合肥高新区·期末)如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段的中点． (1)线段的长为_______； (2)线段的长为_______； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点之间的距离，线段的中点，有理数的乘方，解题的关键是理解题意，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据观察线段中点的规律即可得解； （2）根据观察得到的特殊规律转化为一般规律，即可得解； （3）分别求出每段线段的长度，进而由裂项求和法求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点 ∴，，， 故答案为：； （2）∵，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点 ∴， ， ， ……以此类推，可得： 故答案为：； （3）解：， ， …… ， ∴ ． 考点07 解答压轴题角的综合题 59．(24-25七上·安徽淮南教育集团·期末)已知：如图，O是直线上一点，，作射线． (1)如图1，若平分，，则＝______°(直接写出答案)； (2)如图2，若平分，比大36°，求的度数 (3)如图3，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)30 (2)18° (3)不能求出的度数；理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算．灵活应用角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和邻补角的意义解答即可； （2）设，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； （3）设，利用角平分线的定义和已知条件列出式子即可说明理由． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：30． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 设，则，， ∵比大36°， ∴． ∴． ∴． （3）不能求出的度数． 理由：∵平分， ∴．设，则，， ∴， ∴， 即．就是说，无论等于多少度，总等于它的一半，而不确定，故不能求出的度数． 60．(24-25七上·安徽淮南·期末)已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，． (1)如图1，，当平分时，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示） (3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而求出，再根据平角的定义即可得到答案； （2）根据，求出，则； （3）先求出，再分当时，如图3-1所示，当时，如图3-2所示，两种情况分别求出，的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，如图3-1所示， ∵射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 当时，如图3-2所示， ∵射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上所述，． 61．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中： (1)如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由； (2)当所在的直线平分时，求的度数； (3)试探究（小于）与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见详解 (2) (3)或或 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义等知识，理解题意，弄清各角在旋转过程中的数量关系是解题关键． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，从而可得的值，再根据互补角的定义可得的度数，由此即可得解； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差即可得答案； （3）设旋转角的度数为，分、和三种情况，分别根据角的和差即可得． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 如下图， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即平分； （2）当所在的直线平分时， 可得， ∴； （3）或或，理由如下： 设旋转角为，则，可分三种情况讨论： ①当时，在内部，如下图， 则； ②当时，在外部，且，如下图， 则； ③当时，如下图， 则， ∴． 综上所述，或或． 62．(24-25七上·安徽六安霍邱县·期末)在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图①，，求的度数． (2)如图②，请通过你所学习的相关知识来说明． (3)如图③，若点、在直线同侧，且点靠近点，请求出与之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键。 （1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答； （2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答； （3）由题意可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到、然后比较即可解答． 【详解】（1）解：由图①可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）解：由图②知： ∵平分， ∴， 设，所以， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴； （3）解：由图③知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与之间的数量关系是：. 63．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的有关计算，平角的定义．解题关键是掌握角的和差，能正确运用角的和差进行计算． （1）由的度数可以求得的度数，由平分，可以求得的度数，又由可以求得的度数； （2）根据直角和角平分线的定义可得，再利用平角的定义和角的和差即可求得； （3）根据（2）的解题思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：； 理由：∵是直角，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：； 理由：∵平分，是直角， ∴， ∴， ∴； 64．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，互余互补的计算，数形结合，找准各个角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据邻补角定义，由得到，再由平分得到，由是直角得到； （2）根据邻补角定义得到，再由平分得到，由是直角得到； （3）根据邻补角定义得到，即，再由平分得到，由是直角得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：； （2）解：是直线上一点， ， 平分， ， 是直角， ； ； （3）解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：． 考点08 解答压轴题一元一次方程综合应用 65．(24-25七上·安徽芜湖南陵县·期末)如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其它条件不变，直接写出MN的长度； (3)动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10cm (2) (3)存在，当为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据线段中点的定义分别求出MC，CN，即可得到答案； （2）同（1）求解即可； （3）分三种情况：当C为PQ的中点时，当P为CQ的中点时，当Q为PC的中点时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵M是AC的中点， ∴， 又∵N是BC的中点， ∴， ∴（厘米） （2）解：∵M是AC的中点， ∴， 又∵N是BC的中点， ∴， ； （3）解：如图所示：①当C为PQ的中点时，      解得：； ②当P为CQ的中点时，如图所示： 解得：； ③当Q为PC的中点时，如图所示：      解得： 综上所述，当为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点． 66．(24-25七上·安徽阜阳颍州区·期末)已知数轴上两点A、B对应的数分别为、40． (1)点P从点B开始沿数轴的负方向运动， ①在点P的运动过程中，若点P与点A的距离是线段长度一半时，点P对应的数是______； ②若点P的运动速度为每分钟5个单位长度，在点P的运动过程中，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，求点P的运动时间； (2)当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟10个单位长度的速度向左运动，问经过多少分钟时，点P到点A、点B的距离相等？ 【答案】(1)①15或；②或15分钟 (2)10或分钟 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上的两点距离，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数形结合是解题的关键． （1）①设点P表示的数为x，根据题意列出一元一次方程即可求解； ②设点P的运动时间为t，则点P表示的数为，表示出，，然后根据题意列方程求解即可； （2）设t分钟时点P到点A、点B的距离相等，此时点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）①设点P表示的数为x， ∵点P与点A的距离是线段长度一半 ∴ 解得或； ②设点P的运动时间为t，则点P表示的数为， 所以，， 依题意得，， 解得：或， 所以点P的运动时间为或15分钟； （2）设t分钟时点P到点A、点B的距离相等，此时点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， 则，即， 所以或， 解得或， 答：10或分钟时点P到点A、点B的距离相等． 67．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在处，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，熟练运用角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）先根据平角的定义计算出，再根据直角和角平分线的定义得出，即可求解； （2）①设，则，根据角平分线的定义及角的和差关系，可得，推出；②用含的式子表示出和，根据列关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ∴； （2）解：①； 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①知， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 68．(24-25七上·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为秒秒． 则______，______用含t的代数式表示 在运动过程中，当达到时，求t的值． 在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t，4t；（2）秒或秒；（3）存在，，当t的值分别为18、、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线，见解析. 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间； 当第二次达到时，射线OB在OA的左侧，根据列方程求解可得； 射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况： 两次平分时，根据，列方程求解， 两次平分时，根据，列方程求解， 平分时，根据，列方程求解． 【详解】解：，； 故答案为2t，4t； 如图， 根据题意知：，， 当第一次达到时， 即， 秒， 故秒时，第一次达到； 当第二次达到时，， 即，解得：， 故秒时，第二次达到； 射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： 平分时，， ， 解得：； 平分时，，即， ，或， 解得：，或舍； 平分时，， ， 解得：； 综上，当t的值分别为18、、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 69．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴ 把代入得：， 解得． 70．(24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末)已知是的平分线． (1)操作发现：如图①，， ①若，则______． ②若，则______．（用含的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转，求第一次时，运动了多少秒？ 【答案】(1)①；② (2)②中的结论仍然成立，理由见解析 (3)第一次时，运动了8秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用；利用数形结合的思想是解决问题的关键． （1）①先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可； ②先表示出，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可； （2）先表示出，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可； （3）求出，设运动时间为t，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）②中的结论仍然成立； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 设运动时间为t， 由题意得：， 解得：， 即第一次时，运动了8秒． 71．(24-25七上·安徽安庆潜山·期末)如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，M的运动的路程为，N的运动的路程为，点M，N在运动路线上相遇，则有，解方程即可； （2）分情况讨论：当点M，N在运动路线上相遇前，当点M，N在运动路线上相遇后分别求解方程即可； （3）N的运动时间为，M在运动时间为，即在整个运动过程中M一直在上运动，当直线把长方形分成两个梯形，时N在，如图求得，，，，及、，当时与时分别求出符合条件的解即可． 【详解】（1）解：根据题意， M的运动的路程为：， N的运动的路程为：， 点M，N在运动路线上相遇，则有： ， 解得：， ∴当时，点M，N在运动路线上相遇； （2）根据题意， M的运动的路程为：， N的运动的路程为： 当点M，N在运动路线上相遇前： ， 解得：， 当点M，N在运动路线上相遇后： ， 解得：； 当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为； （3）存在，理由如下： N的运动时间为：（s）， M在运动时间为：（s）， 即在整个运动过程中M一直在上运动， 当直线把长方形分成两个梯形，时N在， 如图： ，则， ，则， ， ， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：（不合题意，舍去）， 故：当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为． 考点09 解答压轴题新定义与阅读理解 72．(24-25七上·安徽亳州·期末)如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”． （1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） （2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长； （3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出答案） 【答案】（1）是；（2）5cm或7.5cm或10cm；（3）10或． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据“2倍点”的定义即可求解； （2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边三种情况，进行讨论求解即可； （3）根据题意画出图形，P应在Q的右边，分别表示出AQ、QP、PB，求出t的范围．然后根据（2）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）∵整个线段的长是较短线段长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“2倍点”． 故答案为：是； （2）∵AB＝15cm，点C是线段AB的2倍点，∴AC＝155cm或AC＝157.5cm或AC＝1510cm． （3）∵点Q是线段AP的“2倍点”，∴点Q在线段AP上．如图所示： 由题意得：AP=2t，BQ=t，∴AQ=20-t，QP=2t-（20-t）=3t-20，PB=20-2t． ∵PB=20-2t≥0，∴t≤10． ∵QP=3t-20≥0，∴t≥，∴≤t≤10． 分三种情况讨论： ①当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t＝12＞10，舍去； ②当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t＝10； ③当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t； 答：t为10或时，点    Q是线段AP的“2倍点”． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“2倍点”的定义分类讨论，理解“2倍点”的定义是解决本题的关键． 73．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 74．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15…的公差为_____，第5项是_____． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：________． (3)是不是等差数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)5，25 (2) (3)是，是第2025项 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了规律型-数字变化类，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （1）根据等差数列的概念可进行求解； （2）根据题目所给等量关系，数列中的第n个数为第1个数加上与公差的积； （3）先写出等差数列的通项公式：，解方程得，从而可判断是等差数列的第2025项． 【详解】（1）解：等差数列5，10，15，…的公差d为5，第4项是为20，第5项为25； 故答案为：5，25； （2）解：∵， ， ， …..； ∴； 故答案为； （3）解：是． 理由如下：等差数列的通项公式：， 当时，， 解得， 即是等差数列的第2025项． 75．(24-25七上·安徽合肥包河区·期末)数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是，如果点M、N在数轴上，且满足点M到点A或B的距离与点N到点B或A中另一个点的距离之和等于，我们就称是的和谐点对．例如，如图，点M、N表示的数分别为和4时，，我们称是的和谐点对． 请根据上述材料解决下面问题： (1)点E、F、G表示的数分别为，写出的和谐点对，并说明理由； (2)若点P从点A以每秒4个单位长度向左运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向右运动，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒，当为的和谐点对时，直接写出t的值． 【答案】(1)是的和谐点对 (2)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据和谐点对的意义计算即可； （2）分两种情况考虑：点在P在B点的右侧时；点在P在B点的左侧；根据新定义列出方程即可求解； 【详解】（1）解：是的和谐点对； 因为，且， 则是的和谐点对； （2）解：， 则点Q到达终点A的时间为（秒），点P到达点B的时间为（秒）； 即； 由题意，t秒后点P对应的数为，点Q对应的数为，； 因为为的和谐点对， ∴或； ①当P在B点的右侧时，此时： 若，则， 解得：； 若，则， 解得：（舍去）； ②当P在B点的左侧时，此时： ，则， 解得：； 综上，或． 76．(24-25七上·安徽巢湖·期末)探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学，通过自主学习课本知道了：一般地，任何一个无限纯循环小数都可以写成分数（，是整数，）的形式，如以无限循环小数，，为例： 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题： 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢？无限混循环小数可以化成分数吗？如，，，，分别可以化成什么分数呢？请你参与该学校学习小组同学们的思考，试着解决以上问题． 【答案】课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． ；；；；． 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，仿照题干中的方法，通过方程形式，即可把无限小数化成整数形式． 【详解】解：课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 方法2：，则． 设，由……可知，……， 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 设，由……可知，…… 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以． 于是，． ，则， 设，由……，所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是． 77．(24-25七上·安徽六安金寨县·期末)新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案） 【解决问题】 （3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值． 【实际运用】 （4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？ 【答案】（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）． 【知识点】角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据幸运线定义即可求解； （2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可； （3）根据幸运线定义得到方程求解即可； （4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题． 【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x， 由题意得，x+2x=48°，解得x=16°， ②设∠AOC=x，则∠BOC=x， 由题意得，x+x=48°，解得x=24°， ③设∠AOC=x，则∠BOC=x， 由题意得，x+x=48°，解得x=32°， 故答案为：16°或24°或32°； （3）OB是射线OM与ON的幸运线， 则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2； ∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=； ∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=； 故t的值是2或或； （4）时针1分钟走，分针1分钟走， 设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟， 则有0.5x+3×30=6x，解得：x=． 78．(24-25七上·安徽巢湖·期末)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 79．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为，若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点、的“节点”．例如，若点表示的数为，有，则称点为点、的“节点”．（题中表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离） 请根据上述规定回答下列问题： (1)若点为点的“节点”，且点在数轴上表示的数为，则______； (2)若点是数轴上点、的“节点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)若点在数轴上（不与、重合），满足、之间的距离是、之间距离的两倍，且此时点为点、的“节点”，求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据新定义“节点”的概念即可得到答案； （2）设点表示的数为，根据“节点”的定义列出方程分情况，并解答； （3）需要分类讨论：①当点在点右侧时，②当点在两点之间时，③当点在点左右侧时，根据，先求点表示的数，再根据，列方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， 则，， ∵点是数轴上点的“节点”， ∴， ∴， 当时，化简得：， 解得：， 当时，化简得：， 即显然不成立，无解； 当时，化简得：， 解得：， 综上所述，点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：分三种情况： ①当点在点右侧时（如下图）， ∵不满足之间的距离是之间距离的两倍， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当点在两点之间时（如下图）： ； ③当点在点左右侧时（如下图）， 设点表示的数为，则， 由题意得：， 解得：， ∴点E表示的数为， ∴． 综上所述，或． 80．(24-25七上·安徽合肥肥东县·期末)如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 【答案】(1)是 (2)①或3或；②、秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可； （2）①由题意得： 再分三种情况；当时， 当时， 当时， 再列方程求解即可；②当与相遇时，则 再分两种情况讨论：当时， 当时， 再列方程求解即可. 【详解】（1）解：如图，为的中点， 所以 所以是的“倍分点”， 故答案：是； （2）①由题意得： 当时，此时， 解得 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s时，点P是线段AB的“倍分点”. ②当与相遇时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s或s或s或s，点P是线段AQ的“倍分点”. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 安徽期末真题精选压轴80题9考点 （高效培优期末专项训练） 考点01 选填小压轴数字与图形规律 考点02 选填小压轴多解问题 考点03 选填小压轴多结论问题 考点04 填空小压轴双空题 考点05 解答压轴题一次方程（组）的实际应用 考点06 解答压轴题线段综合题 考点07 解答压轴题角的综合题 考点08 解答压轴题一元一次方程综合应用 考点09 解答压轴题新定义与阅读理解 考点01 选填小压轴数字与图形规律 1．(24-25七上·安徽六安金寨县·期末)有一数列…，…，其中从开始，每一个数都是1与它前面那个数的差的倒数，如：，……，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·安徽安庆潜山·期末)规定正整数n的“H运算”：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，…（连续乘，一直算到H为奇数停止）．如：数5经过1次“H运算”的结果是28，经过2次“H运算”的结果为7，经过3次“H运算”的结果为34；那么数257经过2025次“H运算”得到的结果是（    ） A．161 B．1 C．16 D．64 3．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 4．(24-25七上·安徽合肥肥东县·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，请你探索第2025次得到的结果为（   ） A．6 B．12 C．15 D．24 5．(24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末)按一定规律排列的一列数依次为：，5，，17，，…，按此规律排列下去，第n个数（n为正整数）是（  ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·安徽合肥高新区·期末)如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第行，是该行中的从左向右数的第个数，那么的值是（   ） A．133 B．132 C．131 D．130 7．(24-25七上·安徽宣城·期末)按一定规律排列的单项式：，…第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 9．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)观察下列算式2+3=5、2+3=13、2+3=35、2+3=97、2+3=275、2+3=793、… ．则3（2+2+…+2）+2（3+3+…+3）的末位数字是（      ） A．0 B．2 C．3 D．5 10．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)0．如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是（   ） A．1012 B．1013 C．3036 D．3038 考点02 选填小压轴多解问题 11．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 12．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 13．(24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末)已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 14．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)定义：数轴上表示数，的点A，之间的距离．如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．当点A，之间的距离等于3个单位长度时，则经过的时间长为 ． 15．(24-25七上·安徽宿州泗县·期末)如图，点A，C，B在数轴上表示的数分别是，1，5．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．当点P，Q到点C的距离相等时，t的值是 ．    16．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 考点03 选填小压轴多结论问题 17．(24-25七上·安徽巢湖·期末)有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子： ①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．(24-25七上·安徽宿州泗县·期末)对多项式添加1个绝对值符号（绝对值里面至少含有两项）后只含加减运算，然后化简，结果按降幂排列，称为一次“绝对操作”，例如：，称为对多项式的一次“绝对操作”；选择这次“绝对操作”的其中一个结果，再进行如上操作，称为二次“绝对操作”，…… 下列说法正确的个数是（   ） ①经过两次“绝对操作”后，式子化简后的结果可能为； ②进行一次“绝对操作”后的式子化简结果可能有5种； ③经过若干次“绝对操作”，一定存在式子化简后的结果与原式互为相反数． A．0 B．1 C．2 D．3 20．(24-25七上·安徽池州青阳县·期末)如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 21．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．(24-25七上·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)如图，在三角形中，点、在线段上，平分，有下列说法：①以为顶点的角共有6个；②以、、、为端点的线段共有4条；③若，，则；④若，，，则：：；其中说法正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 23．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)如图，点O为线段外一点，M，C，B，N为上任意四点，连接，下列结论： ①以O为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则； ③若M为的中点，N为的中点，则； ④若，则． 正确的是 ． 考点04 填空小压轴双空题 24．(24-25七上·安徽淮南·期末)如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 25．(24-25七上·安徽芜湖无为·期末)已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，点对应的数为 ，点对应的数为 ． （1）的中点 对应的数为 （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 秒． 26．(24-25七上·安徽安庆潜山·期末)如图，射线在内，图中共有三个角，和，若其中一个角的度数是另外一个角的度数的2倍，则称射线是的“2倍线”． （1）一个角的平分线 这个角的“2倍线”（选填“是”或“不是”）； （2）若，射线是的“2倍线”，则的度数为 ． 27．(24-25七上·安徽池州青阳县·期末)对于数，用表示小于的最大整数，例如，，． （1）填空： ； （2）若，则的最大值为 ． 28．(24-25七上·安徽亳州·期末)如图，将两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起． （1）若，则∠BAD＝ °． （2）请写出∠BAD与∠EAC之间的数量关系： ． 29．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 30．(24-25七上·安徽宣城·期末)已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为 （2）若，则的度数为 31．(24-25七上·安徽六安金寨县·期末)如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计） （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 32．(24-25七上·安徽合肥蜀山区·期末)如图，在同一平面内，过点O依次作射线，其中，射线分别平分和． （1）若，，则 ； （2）若，，请用一个等式表示的数量关系 ． 33．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在，上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ； （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 34．(24-25七上·安徽六安霍邱县·期末)如果一个两位数的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）设一个两位数为“迥异数”，其个位数字为，十位数字为，则 （用含、的式子表示）． 35．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点落在点，点落在点． （1）若点，，在同一直线上，如图1，度，则 度； （2）若点，，不在同一直线上，如图2，度，则 度． 36．(24-25七上·安徽池州青阳县·期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 37．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 °； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角度数为 °． 38．(24-25七上·安徽淮南寿县寿县广岩初级中学·期末)如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 39．(24-25七上·安徽六安清水河学校·期末)一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，．求的最小值为 ，若满足时，则的值是 ． 40．(24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末)斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 41．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 42．(24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末)在如图所示的数轴上，点表示的数为−7，点表示的数为5． （1）点与点之间的距离为 ． （2）若一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动的时间为秒，当，之间的距离为8个单位长度时，的值为 ． 43．(24-25七上·安徽合肥高新区·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 考点05 解答压轴题一次方程（组）的实际应用 44．(24-25七上·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人游园，其中（1）班有40多人，但不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元． (1)七年级（1）、（2）班各有学生多少人？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？请说明理由． 45．(24-25七上·安徽淮南寿县寿县广岩初级中学·期末)2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 46．(24-25七上·安徽芜湖无为·期末)移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 47．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元，……依此类推 B套餐 1份盖饭＋1杯饮料 28 C套餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有11份盖饭，x杯饮料和5份小菜． 【数学思考】 （1）他们共点了_____份B套餐（用含x的代数式表示）； 【问题解决】 （2）若他们所点的套餐中共有6杯饮料，求他们实际消费的金额； （3）若优惠后他们共花费256元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 48．(24-25七上·安徽阜阳颍州区·期末)甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元． （1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用； （2）当x=6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由． （3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？ 49．(24-25七上·安徽亳州·期末)某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： （注：获利=售价进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 26 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 50．(24-25七上·安徽巢湖·期末)综合与实践 【项目背景】 砂糖橘是广西桂林特产，具有皮薄、汁多、化渣、味清甜、吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．为保证砂糖橘新鲜需用带冷柜的货车运输．在砂糖橘收获的季节，巢湖市某初中七年级同学前往当地最大的水果批发市场开展综合实践活动，其中一个项目是：对一批砂糖橘的运输费用进行调查统计，为商户的运输选择提供一些参考： 【材料收集与整理】 材料一：现有A，两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，型车的平均速度为75千米/小时，从桂林到巢湖型车比型车少用4小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的型车，则还剩4吨砂糖橘没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖橘从桂林到巢湖时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时·辆） 8元/（小时·辆） （参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费） 【数据分析与运用】 任务1  请求出A型车从桂林到巢湖的时间； 任务2  请求出这批砂糖橘共有多少吨？ 任务3  本次砂糖橘从桂林到巢湖的运输单独安排A型车或型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 51．(24-25七上·安徽合肥瑶海区·期末)如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 52．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 53．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 54．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 考点06 解答压轴题线段综合题 55．(24-25七上·安徽淮南·期末)如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 56．(24-25七上·安徽芜湖无为·期末)如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，． ①点是线段的中点吗？请说明理由． ②点在线段上，若，求的长．（写出必要的推理计算的过程） 57．(24-25七上·安徽滁州凤阳县·期末)如图，点C在上，点M、N分别是的中点， (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，并说明理由． 58．(24-25七上·安徽合肥高新区·期末)如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段的中点． (1)线段的长为_______； (2)线段的长为_______； (3)求的值． 考点07 解答压轴题角的综合题 59．(24-25七上·安徽淮南教育集团·期末)已知：如图，O是直线上一点，，作射线． (1)如图1，若平分，，则＝______°(直接写出答案)； (2)如图2，若平分，比大36°，求的度数 (3)如图3，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由． 60．(24-25七上·安徽淮南·期末)已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，． (1)如图1，，当平分时，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示） (3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值． 61．(24-25七上·安徽亳州涡阳县·期末)如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中： (1)如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由； (2)当所在的直线平分时，求的度数； (3)试探究（小于）与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 62．(24-25七上·安徽六安霍邱县·期末)在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图①，，求的度数． (2)如图②，请通过你所学习的相关知识来说明． (3)如图③，若点、在直线同侧，且点靠近点，请求出与之间有怎样的数量关系． 63．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 64．(24-25七上·安徽六安金安区菁英学校·期末)已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 考点08 解答压轴题一元一次方程综合应用 65．(24-25七上·安徽芜湖南陵县·期末)如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其它条件不变，直接写出MN的长度； (3)动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 66．(24-25七上·安徽阜阳颍州区·期末)已知数轴上两点A、B对应的数分别为、40． (1)点P从点B开始沿数轴的负方向运动， ①在点P的运动过程中，若点P与点A的距离是线段长度一半时，点P对应的数是______； ②若点P的运动速度为每分钟5个单位长度，在点P的运动过程中，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，求点P的运动时间； (2)当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟10个单位长度的速度向左运动，问经过多少分钟时，点P到点A、点B的距离相等？ 67．(24-25七上·安徽合肥庐江县·期末)点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在处，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②当时，求的度数． 68．(24-25七上·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为秒秒． 则______，______用含t的代数式表示 在运动过程中，当达到时，求t的值． 在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 69．(24-25七上·安徽六安金安区皋城中学·期末)已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 70．(24-25七上·安徽马鞍山成功学校·期末)已知是的平分线． (1)操作发现：如图①，， ①若，则______． ②若，则______．（用含的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知，边、边分别绕着点以每秒、每秒的速度顺时针旋转，求第一次时，运动了多少秒？ 71．(24-25七上·安徽安庆潜山·期末)如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点09 解答压轴题新定义与阅读理解 72．(24-25七上·安徽亳州·期末)如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”． （1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） （2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长； （3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出答案） 73．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 74．(24-25七上·安徽阜阳临泉县·期末)阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15…的公差为_____，第5项是_____． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：________． (3)是不是等差数列的项？如果是，是第几项？ 75．(24-25七上·安徽合肥包河区·期末)数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是，如果点M、N在数轴上，且满足点M到点A或B的距离与点N到点B或A中另一个点的距离之和等于，我们就称是的和谐点对．例如，如图，点M、N表示的数分别为和4时，，我们称是的和谐点对． 请根据上述材料解决下面问题： (1)点E、F、G表示的数分别为，写出的和谐点对，并说明理由； (2)若点P从点A以每秒4个单位长度向左运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向右运动，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒，当为的和谐点对时，直接写出t的值． 76．(24-25七上·安徽巢湖·期末)探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学，通过自主学习课本知道了：一般地，任何一个无限纯循环小数都可以写成分数（，是整数，）的形式，如以无限循环小数，，为例： 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题： 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢？无限混循环小数可以化成分数吗？如，，，，分别可以化成什么分数呢？请你参与该学校学习小组同学们的思考，试着解决以上问题． 77．(24-25七上·安徽六安金寨县·期末)新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案） 【解决问题】 （3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值． 【实际运用】 （4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？ 78．(24-25七上·安徽巢湖·期末)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 79．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为，若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点、的“节点”．例如，若点表示的数为，有，则称点为点、的“节点”．（题中表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离） 请根据上述规定回答下列问题： (1)若点为点的“节点”，且点在数轴上表示的数为，则______； (2)若点是数轴上点、的“节点”，请你直接写出点表示的数为______； (3)若点在数轴上（不与、重合），满足、之间的距离是、之间距离的两倍，且此时点为点、的“节点”，求出的值． 80．(24-25七上·安徽合肥肥东县·期末)如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $