专题07 数列（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为数列。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题07 数列 一、课标解读 1.了解数列及数列通项公式的概念 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 5 等差数列 4 （1）题型：一个选择或填空题，一个解答题. （2）分值：14分. （3）内容：等差数列、等比数列 解答题 16 等比数列、求和公式 10 2024 选择题 2 数列 4 解答题 16 等比数列、求和公式 10 2023 填空题 15 等差数列求和公式 4 解答题 17 等比数列、求和公式 10 2022 填空题 15 数列通项公式 4 解答题 17 等差数列、等比数列、求和公式 10 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试依然有2道题目考查数列，题型为1道选择或填空，还有1道解答题。分值共14分.具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列、等比数列 四、知识梳理 （一）与的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ （二）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N*). (2)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (3)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ (4)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. 2. 等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （三）等比数列 1. 等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2. 等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3. 等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． 五、10分钟小测验 1．已知为等比数列，且，，则公比（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．下列数列中既是等差数列又是等比数列的是（   ） A．0，0，0，0，… B．2，2，2，2，… C．2，3，4，… D．0，2，4，8，16，… 3．在15和3 之间插入三个数后使这五个数组成一个等差数列，则插入的三个数的和是（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 4．数列的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，，那么该数列的前14项和为（   ） A．20 B．21 C．42 D．84 6．在等比数列中，，则（   ） A． B．9 C． D．3 7．已知为等差数列的前项和，，则的值为（   ） A．47 B．45 C．38 D．54 8．已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．9 B．12 C．14 D．18 9．在等比数列中，，则（　　） A． B．2 C． D．1 10．数列的前n项和，则当取最小值时n是（　　） A．2或3 B．2 C．3 D．3或4 【答案解析】 1．A 【分析】根据题意，结合等比数列的概念，即可求解. 【详解】因为为等比数列，且，， 所以. 故选：A. 2．B 【分析】根据等差数列与等比数列的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，从第二项开始每一项与前一项的差为，所以是等差数列，等比数列中不能有，所以不是等比数列，故错误； 选项，从第二项开始每一项与前一项的差为，从第二项开始每一项与前一项的比为，所以既是等差数列又是等比数列； 选项，，所以是等差数列，，所以不是等比数列，故错误； 选项，，所以不是等差数列；等比数列中不能有，所以不是等不数列，故错误， 故选：. 3．C 【分析】根据题意结合等差中项的应用即可得解. 【详解】设这五个数构成的等差数列为， 已知，则，， 所以， 故选：. 4．A 【分析】根据题意将代入选项中即可得解. 【详解】数列可写成， 故数列的一个通项公式可写为，选项，符合题意； 选项，当时，，不符合题意； 选项，当时，，不符合题意； 选项，当时，，不符合题意， 故选：. 5．B 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和求解即可. 【详解】因为，所以. 进而. 故选：B. 6．C 【分析】根据题意得出数列也为等比数列，且公比为，利用等比数列的求和公式列出方程组即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则数列也为等比数列，且公比为， 则， ，即， 联立方程组得， 所以，则， 故选：. 7．B 【分析】设出等差数列的首项以及公差，再根据等差数列的前n项和公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的首项，公差. 因为，所以，解得. 两式相减得，解得，进而，解得. 所以. 故选：B. 8．D 【分析】首先证明数列为等差数列，再根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质求解即可. 【详解】因为满足，所以，所以数列为等差数列. 因为，所以，进而. 故选：D. 9．B 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】在等比数列中，， ∵，∴，解得， 故选：B. 10．A 【分析】根据的表达式，结合二次函数的性质求解． 【详解】因为， 又n为正整数，所以当2或3时，取得最小值． 故选：A． 六、经典例题解析 （一）等差数列 【例1】（2020·湖南对口升学高考）已知等差数列的前和为，且，，则 【答案】49 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题干条件求出公差，进而利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：49. 【例2】（2023·湖南对口升学高考）设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题目条件列方程求出，用等差数列前n项和公式写出，进而求出其最值. 【详解】因为为等差数列，， 由等差中项可得，，又， 可得，解得， 所以， 所以当时，取最小值为. 【例3】（2024·湖南对口升学高考）已知数列的通项公式为，若，则（    ） A．15 B．17 C．20 D．34 【答案】B 【分析】将代入通项公式中即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 【例4】（2025·湖南对口升学高考）在等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以，即，解得. 故选：D. （二）等比数列 【例5】（2020·湖南对口升学高考）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和，若，求n． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比，得到通项公式. （2）根据等比数列的求和公式，计算时，的取值. 【详解】（1）∵数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列的通项公式为，. （2）∵，故. 当时，即，此时，. 故，. 【例6】（2021·湖南对口升学高考）已知各项为正数的等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件结合等比数列的通项公式求出即可； （2）由，得知是等差数列，接着利用等差数列的求和公式求出答案即可. 【详解】（1）且，， （2） 【例7】（2022·湖南对口升学高考）若数列满足，且，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】利用构造法求解数列通项公式即可. 【详解】因为，所以， 又， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，则. 故答案为：. 【例8】（2025·湖南对口升学高考）在等比数列中，，公比. (1)求； (2)设，求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等比数列的通项公式，即可代入求解； （2）根据题意，先求出等比数列的通项公式，继而求得，易判断数列是等比数列，结合等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为在等比数列中，，， 所以. （2）因为在等比数列中，，， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （三）数列综合 【例9】（2022·湖南对口升学高考）已知等差数列满足，. (1)求； (2)设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)19 (2)答案见解析 【分析】（1）根据求公差，再根据通项公式求. （2）先根据等差数列前项和公式求，，，再根据等比数列的特征判断是否成等比数列. 【详解】（1）因为是等差数列，， 即，， ∴. （2）因为等差数列的前项和为，， 所以， ， ， ∵，即， ∴，，，成等比数列. 【例10】（2023·湖南对口升学高考）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差中项的公式即可求解； （2）根据题意可知为等比数列，进而可求前n项和． 【详解】（1）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列， 则有 因为，所以， 所以， 则的通项公式为； （2）由（1）可知， 则，为的等比数列， 则有， 所以数列的前n项和. 【例11】（2024·湖南对口升学高考）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由等差数列的定义结合通项公式即可求解. （2）根据等比数列的定义结合前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 则为等差数列，且， 所以. 即； （2）由题意得，， 则， 所以等比数列，且， 则． 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1. 已知 Sn​ 求 an ​利用 验证a1​是否满足n≥2的表达式 2. 数列求和“四大方法” 方法 适用题型 操作要点 公式法 等差、等比数列直接求和 准确选用公式，注意q=1的讨论 分组求和法 通项为几部分可求和的形式 如an=(2n−1)+2n，分组为等差和等比分别求和 裂项相消法 分式型（如） 拆项： 错位相减法 {an⋅bn} 其中一端为等差，另一端为等比 写出Sn和qSn，错位相减后求和 错位相减法口诀： “写和式，乘公比，错位减，化简毕” 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略 n≥2 已知 Sn​ 求an​ 未验证 n=1 a1​=S1​ 可能不满足通项 必写分段形式 公差/公比漏讨论 等比数列求和未讨论q=1 在q=1 时分母为0 先判 q 再选公式 裂项错误 未乘系数 恒等变形错误 裂项后通分验证 错位相减计算失误 减错项、正负号错误、等比项数数错 步骤繁琐易出错 列表对齐书写，步步检验 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 基本量法：等差（首项、公差）、等比（首项、公比）是解决数列问题的核心，树立“知三求二”思想。 计算准确性：针对错位相减、裂项相消进行专项计算训练。 2. 真题演练方向： 题型1：等差等比基本运算 题型2：求通项（已知Sn型） 题型3：求和（公式型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $