数学好玩 第2课时 神奇的莫比乌斯环(分层作业)数学北师大版六年级下册

数学好玩 第2课时 神奇的莫比乌斯环 分层作业 1．莫比乌斯环是由德国数学家（ ）发现的，它的特点是只有（ ）个面和（ ）条边。 2．制作莫比乌斯环的方法：将一张长方形纸条的一端（ ），再与另一端（ ），就形成了一个莫比乌斯环。 3．把一个莫比乌斯环沿中线剪开，会得到（ ）个比原来大一圈的环形；如果沿纸条宽度的三分之一处剪开，会得到（ ）的图形。 4．莫比乌斯环在生活中的应用有（ ）、（ ）等，其优势是能让磨损更均匀。 5．判断：莫比乌斯环是一种单侧曲面，蚂蚁可以不跨过边缘就能爬到纸条的任何一面。（ ）（填“√”或“×”） 1．如图，沿着莫比乌斯带二等分线剪开后，得到的是（    ）。 A．两个独立的纸环 B．两个套在一起的纸环 C．一个大的纸环 D．一个大纸环套着一个小纸环 2．下面描述莫比乌斯带错误的是（    ）。 A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环 B．莫比乌斯带只有一个面 C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带 D．莫比乌斯带只有一条边 3．一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有（    ）个面。 A．三 B．两 C．一 D．四 4．把一张已画三等分线的长方形纸条做成一个莫比乌斯圈，然后沿它的三等分线剪开。下面说法正确的是（    ）。 A．需要剪2次（剪1次指沿等分线剪直至得到1个新纸环） B．可得到3个大小一样的纸环 C．可以得到2个大小一样的纸环 D．可以得到1个大纸环和1个小纸环 5．如图，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成（    ）个纸环。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转( )°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有( )个面，有( )条边。 7．如图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )cm。 8．一个圆形纸环的直径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包面包屑。笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑， 这样蚂蚁至少需要爬行( )cm才能吃到面包屑。 9．图1的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，图2的纸环是将一张长方形纸条一端旋转180°，再将两端粘上得到的。图2的纸环叫( )。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占( )%，图2中涂色的部分占( )%。    10．如图，人行走在这样的带子上，不越过边缘，( )（填“能”或“不能”）到达带子上的任意一点。 11．取一张长40厘米、宽4厘米的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如图）。将它先做成一个莫比乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蚂蚁从某一点开始沿着一个方向在这条纸带上爬行，它爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不计） 12．取一张长方形纸条，沿着纸条的宽将其平均分成三份（用虚线表示），再做成一个莫比乌斯带，最后用剪刀沿纸环的虚线剪开，会变成什么样子？如果平均分成四份呢？ 13．取一张长60厘米、宽5厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中的一边扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。如图所示，一只蚂蚁从某点开始沿着虚线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？ 14．取一长90厘米宽8厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。一只蚂蚁从某点沿着所标出的路线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？    15．用一张长26厘米、宽4厘米的长方形纸条，做一个莫比乌斯带。 （1）从纸环的连接处开始，沿着一个方向涂色，直到再次回到连接处为止，涂色的面积是（    ）平方厘米。（接口处忽略不计） （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会变成什么样子？试一试。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环。据此解答。 【详解】通过分析可得：沿着莫比乌斯带二等分线剪开后，得到的是一个大的纸环。 故答案为：C 2．A 【分析】莫比乌斯带是德国数学家在1858年发现的，把一条长方形纸带先捏着一端，另一端扭转180°，再粘贴起来就成了莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一个面，一条边；如果沿着中线剪一次，纸带会变成一个更大的纸环；如果沿着三等分线剪开没有一分为三，而成了一大一小两个相连的环，据此解答。 【详解】A．沿着莫比乌斯带中线剪开，会得到一个更大的纸环；原说法错误； B．莫比乌斯带只有一个面；此说法正确； C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带；此说法正确； D．莫比乌斯带只有一条边；此说法正确。 故答案为：A 3．C 【分析】将长方形长条扭一下，再将两端粘合，得到了莫比乌斯带。视觉上，莫比乌斯带有两个面，但实际上它只有一个面。据此解题。 【详解】一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有一个面。 故答案为：C 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的概念和特点是解题关键。 4．D 【分析】通过动手进行实际操作，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，即可得出答案。 【详解】通过动手操作，发现：沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环；沿它的三等分线剪开，因为两条线粘结成莫比乌斯带的时候一条线的尾部和第二条线的头是接上的，第二条线的尾部也是和第一条线的头是接上的，所以就成了一条线。 故答案为：D 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 5．B 【分析】沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成两个纸环，并且相互套在一起，据此选择。 【详解】由分析可知，沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成2个纸环。 故答案为：B 【点睛】此题考查了莫比乌斯带的相关认识，也可通过实验来证明。 6． 180 1 1 【分析】把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条特殊的带子，即一条莫比乌斯带。莫比乌斯带具有独特的性质，它只有1个面，有1条边，据此解答。 【详解】由分析得：把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有1个面，有1条边。 7．120 【分析】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面，一面长为60cm，则两面是120cm。 【详解】60×2＝120（cm） 则它爬行的距离是120cm。 8．31.4 【分析】让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑，根据“莫比乌斯环”的特点，爬行的最短距离即为圆环的周长，根据圆的周长公式，代入数据即可解答。 【详解】（cm） 即蚂蚁至少需要爬行31.4cm才能吃到面包屑。 9． 莫比乌斯带 50 100 【分析】把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带。所以，图2是莫比乌斯带。涂色时，图1只有外面一个面能够涂上色，那么涂色部分占50%。莫比乌斯带只有一个面，那么涂色时都能涂上色，涂色部分占100%。 【详解】图2的纸环叫莫比乌斯带。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占50%，图2中涂色的部分占100%。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。 10．能 【分析】根据莫比乌斯带，人行走在这样的带子上能到达带子上的任意一点。据此解答即可。 【详解】人行走在这样的带子上，不越过边缘，能到达带子上的任意一点。 【点睛】解答此题的关键是∶应明确旋转的意义，并能灵活运用其意义进行解决问题。 11．80厘米 【分析】将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到一个大环。大环的周长是原来长方形纸条长度的2倍。据此，将纸条长乘2，求出大环的周长，即蚂蚁爬行多少厘米可以回到起点。 【详解】40×2＝80（厘米） 答：它爬行80厘米可以回到起点。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。 12．见详解 【分析】在操作的时候，首先要在纸条上把宽严格平分好，画好虚线，再做成莫比乌斯带。最后，沿着虚线剪开，观察剪开后的图形，得出正确答案。 【详解】答：平均分成三份，得到两个套在一起的纸环，其中由中间那份形成的是一个莫比乌斯带，另外两份形成的是一个大纸环（不是莫比乌斯带）；平均分成四份，得到两个套在一起的大纸环（都不是莫比乌斯带）。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，考查了学生的动手操作能力。 13．120厘米 【分析】看图，蚂蚁爬行的距离是两条长的距离。据此，将长乘2，即可求出蚂蚁爬行的距离。 【详解】60×2＝120（厘米） 答：它爬行的距离大约是120厘米。 【点睛】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。 14．180厘米 【分析】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面一面长为90厘米，两面则是180厘米。 【详解】90×2＝180（厘米） 答：它爬行的距离大约是180厘米。 【点睛】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长。据此解答 15．（1）208 （2）会得到一个长度是原来2倍的大纸环，而且这个大纸环不是莫比乌斯带。 【分析】（1）莫比乌斯带是由长方形纸条经过扭转、粘贴而成，按照题中的方式涂色，长方形纸条的正、反两面都能涂上色，故涂色面积是长方形纸条面积的2倍。 （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会得到一个长度是原来2倍的大纸环，而且这个大纸环不是莫比乌斯带（合理即可）。 【详解】（1） （平方厘米） 即涂色的面积是208平方厘米。 （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会得到一个长度是原来2倍的大纸环，而且这个大纸环不是莫比乌斯带（合理即可）。 $