精品解析：广东省广州市第六中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试卷

2026/1/3八年级上数学限时训练 一、单选题（共40分） 1. 长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　） A. 3.2×107 B. 3.2×108 C. 3.2×10-7 D. 3.2×10-8 4. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 13 B. 16 C. 8 D. 10 7. 如图，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 四边形的内角和为_______． 12. 计算：______． 13. 已知，则_________． 14. 若，则_________． 15. 若分式有意义，则的取值范围是______． 16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为________； 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. （1）计算：； （2）因式分解：． 19. 如图，，求证：． 20. 先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 21. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的； （2）求的面积． 23. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026/1/3八年级上数学限时训练 一、单选题（共40分） 1. 长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理得出4-2＜a＜4+2，求出即可． 【详解】由三角形三边关系定理得：4﹣2＜a＜4+2， 即2＜a＜6， 即符合的只有3． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形三边关系定理，能根据定理得出5-3＜a＜5+3是解题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 3. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　） A. 3.2×107 B. 3.2×108 C. 3.2×10-7 D. 3.2×10-8 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000032=3.2×10-7； 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 即 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行计算，判断即可．掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A、，故原选项错误； B、，故原选项错误； C、，故原选项正确； D、，不能合并，故原选项错误； 故选：C． 6. 如图，等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 13 B. 16 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而得到的周长等于，即可．掌握中垂线的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴的周长； 故选A． 7. 如图，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，即可得出结果，掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴； 故选D． 8. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线和高线，利用面积公式求出的长，根据中线的定义得到即可．掌握相关定义，是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是边上的中线和高， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 9. 如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴； 故选B． 10. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图（1）阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 四边形的内角和为_______． 【答案】360°． 【解析】 【详解】试题分析：根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出四边形的内角和为：（4﹣2）×180°=360°． 考点：多边形内角和定理． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 13. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，利用平方差公式法进行因式分解后，代值计算即可，掌握平方差公式法因式分解，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 14. 若，则_________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用．掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：32． 15. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的基本概念是解题关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，解不等式即可． 【详解】解：由分式有意义， 则分母， 解得． 故答案为：． 16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为________； 【答案】9 【解析】 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，一定要注意检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可． 【小问1详解】 解：由可得， 即，解得， 经检验，是分式方程的根； 【小问2详解】 解：由可得， 化简可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根，原分式方程无解． 18. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的运算，乘方运算，因式分解； （1）先计算负整数指数幂，零次幂，乘方运算，再合并即可； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 19. 如图，，求证：． 【答案】 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题全等三角形的判定和性质，连接，证明，即可得出结论． 【详解】略 20. 先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵要满足分式有意义， ∴，， ∴，， ∴从中选择， 当时，原式． 21. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 【答案】 (1)证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE． (2) 40°. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE； （2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数． 【详解】（1）略 （2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线．解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，轴对称作图． （1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）利用分割法求出的面积即可． 掌握成轴对称的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为． 23. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 【答案】（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架． 【解析】 【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解 答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得 解得 答：最多可购买10个种书架． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式． 24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作轴于，则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ； （3） ， 理由：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于， ， ， 平分，，， ， ， ， 同理可得：， ， ，，， ， 即． 【解析】 【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解； （2）过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论； （3）过点作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质可得，证明得到，同理证明得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，， ， ，， 如图，过点作轴于， 则， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、非负数的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $