精品解析：广东省深圳海旺学校2025-2026学年12月限时月考九年级数学

海旺学校九年级数学学科12月限时训练 一．选择题（每小题3分） 1. 如图，陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，闽南语称作“干乐”，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：因为圆锥的主视图三角形，圆柱的主视图是长方形， 所以陀螺的主视图是， 故选：A． 2. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 3. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，由解析式判断出开口方向、对称轴、最值及增减性，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，开口向下； 对称轴 为直线； 最大值为 ； ∵ ， ∴当 时，y 随 x 增大而减小，故当 时，y 随 x 增大而减小； ∴选项D正确， 故选：D． 4. 如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作交于点，交于，由图可得：，，，，则，从而得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于， ， 由图可得：，，，， ， ，即， ， 故选：D． 5. 如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ） A. 路线的坡角是 B. 路线的坡度是 C. 的长度为 D. 路线的坡比是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 7. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，两个函数图象交于轴上的同一点，排除C； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：A． 二．填空题 9. “二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率． 先计算正方形面积，再由黑色部分面积与正方形面积之比等于概率即可求解． 【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为， 边长为的正方形面积为， 黑色部分的总面积． 故答案为：． 10. 如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 11. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称性，由点和点纵坐标相同，求得对称轴，再利用对称轴求点的对称点，从而得到方程的解． 【详解】解：由二次函数可知，当时，，故点在函数图象上． 由表可知，当时，，故点也在函数图象上． 点和点纵坐标相同， ∴函数图象的对称轴为直线． ∵点在函数图象上，其关于对称轴的对称点为， ∴当时，． 因此方程的解为或． 故答案为：，． 12. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，矩形对角线相交于点，沿着对角线折叠，使得点落在点处，其中点的坐标为长度为，则的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，勾股定理可求出的值，再根据全等三角形的判定，设，根据勾股定理可得的值，过点作轴于点，运用相似三角形的判定可得，结合相似三角形的性质可求出，最后根据线段的和差此即可求解． 【详解】解：已知， ∴， ∵四边形是矩形，对角线交于点， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，，即，则， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在的负半轴上，点在第四象限， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 14. （1）解方程：（1）； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法以及熟记特殊角的三角函数值． （1）利用公式法求解即可； （2）先代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再计算二次根式，负整数指数幂、零指数幂，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： ． 15. 某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____． （3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳． （4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3）2400名 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图，利用画树状图或列表法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据C选项的人数和占比求出总人数，进而可求出选项D的人数，即可补全条形统计图． （2）用360度乘以A选项人数的占比即可． （3）用样本估计总体即可． （4）画出树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：总人数有：人， 参加D项活动的人数有：（人） 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：(名) 【小问4详解】 解∶ 由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为， 16. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作的高线； （2）在图2中的边上确定点，连接，使得． （3）在图3中的边上确定点，连结，使得． 【答案】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）如图所示：即为所求： 【解析】 【分析】（1）找到的格点，连接交于点，则即为所求； （2）由得，进而得，找到格点，易得，推出；则即为所求； （3）找到格点，易得，推出；找到格点，易得，推出，进一步得，即可得到； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使得，延长至点H，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：点D是的中点， ． 在和中， ， ， ， 同理可得． ． 在中， 点分别为边上的中点， ， ， ． ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ． ， ． ， ． 18. 某商品进价每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，每个月少卖1件，如果售价超过80元，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件．设该商品的售价为元． （1）若售价超过50元但不超过80元，售价为多少元时月利润可达到7200元？ （2）若售价超过80元，售价为多少元时可获得最大月利润？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） 售价为80元时月利润可达到7200元 （2） 售价为90元时可获得最大月利润，最大月利润为7500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确进行计算是解题的关键， （1）由利润=（售价-成本）×销售量列出方程解答即可； （2）设售价超过80元，售价为x元时，可获得月利润为w元，根据（1）的方法列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，该商品的售价为x元．则每件商品的利润为元，若超过50元，但不超过80元，每月售件， ∴， ∴或（舍去）， 答：若超过50元但不超过80元，售价为80元时月利润可达到7200元； 【小问2详解】 解：由题意，若超过80元，每月售件， ∴利润为， ∴当售价超过80元，售价为90元时，可获得月利润最大，最大月利润为7500元． 19. 【阅读理解】 在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】 （1）仿照小明的思路，可以计算出_____． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____．_____． 【拓展应用】（3） 在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点E、C、F共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为1.5米（即米），后退与前进的距离之和为米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，读懂题意，构建相应的直角三角形是解题的关键． （1）作图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可得到答案． （2）作图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可得到的值，在中，，设，，在上截取，设，则，设，根据勾股定理列方程，，得到，进一步求解即可得到的值． （3）延长交于，结合题意可知，，，，同时，，，设，，进一步求解可得到的值，故可算出这棵树的高度． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理，， ，，， 设，， 则，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 答：这棵树的高度为米． 20. 规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”． 例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题： （1）点的“纵横比”为_____； （2）若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； （3）若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． （4）若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【答案】（1） （2）1 （3）的值为或4 （4）当或时，图象与线段只有一个交点； 【解析】 【分析】（1）根据“纵横比”的定义求解即可； （2）根据题意可得一次函数的纵横比为，则纵横比随着的增大而减小，得出当时，一次函数取得最优纵横比，得出，即可求出． （3）根据二次函数的顶点在直线上，得出，根据题意可得二次函数的纵横比为，分为当时，当时，根据一次函数的性质和最优纵横比的定义求解即可； （4）根据题意得二次函数平移后的解析式为，将代入可得，解得：或，将代入可得，解得：或，得出当时，和都在上，根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点，求出直线的解析式为 ，得出交点“纵横比”，则纵横比随着的增大而减小，据此可得答案． 【小问1详解】 解：点的“纵横比”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：一次函数的纵横比为， 则纵横比随着的增大而减小， ∵， ∴当时，一次函数取得最优纵横比， ∵一次函数的最优纵横比为5， ∴， ∴． 故答案为：1． 【小问3详解】 解：∵二次函数的顶点在直线上， ∴，则， 二次函数的纵横比为， 当时，当时，纵横比随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2， 则，解得，则； 当时，在当时，纵横比随着的增大而减小， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2， 则，解得，则； 综上，当，二次函数的最优纵横比为2时，的值为或4． 【小问4详解】 解：根据题意得二次函数平移后的解析式为， ∵，， 将代入可得，解得：或， 将代入可得，解得：或， 故当时，和都在上， 根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点， ∵，， 设直线的解析式为 ， 则，解得：， 故直线的解析式为 ， 则交点“纵横比”， 则纵横比随着的增大而减小， ∵， 当时，， ∴当时，n最小， ∴交点“纵横比”的对应范围是． 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值、一次函数的图象和性质、一次函数解析式求解、反比例函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会二次函数求最值的方法，理解最优纵横值的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海旺学校九年级数学学科12月限时训练 一．选择题（每小题3分） 1. 如图，陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，闽南语称作“干乐”，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 4. 如图，在边长都为1的方格纸上，小明同学绘制了艺术字体“A”，已知点，都在格点上，点在格线上，则点与点之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ） A. 路线的坡角是 B. 路线的坡度是 C. 的长度为 D. 路线的坡比是 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 7. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 二．填空题 9. “二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 10. 如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是______． 11. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 12. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 13. 如图，矩形对角线相交于点，沿着对角线折叠，使得点落在点处，其中点的坐标为长度为，则的纵坐标为________． 三、解答题 14. （1）解方程：（1）； （2）计算：． 15. 某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____． （3）该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳． （4）甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率． 16. 图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作的高线； （2）在图2中的边上确定点，连接，使得． （3）在图3中的边上确定点，连结，使得． 17. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使得，延长至点H，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 18. 某商品进价每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，每个月少卖1件，如果售价超过80元，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件．设该商品的售价为元． （1）若售价超过50元但不超过80元，售价为多少元时月利润可达到7200元？ （2）若售价超过80元，售价为多少元时可获得最大月利润？最大月利润为多少元？ 19. 【阅读理解】 在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】 （1）仿照小明的思路，可以计算出_____． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____．_____． 【拓展应用】（3） 在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点E、C、F共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为1.5米（即米），后退与前进的距离之和为米（即米），请求出这棵树的高度． 20. 规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”． 例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题： （1）点的“纵横比”为_____； （2）若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； （3）若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． （4）若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $