专题10 空间向量与立体几何大题综合（精选30题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题10 空间向量与立体几何大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．如图，在三棱柱中，平面．    (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，再利用面面垂直的判定推理即得. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在三棱柱中，由平面平面，得， 又平面，则平面， 而平面，所以平面平面. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，令，则， ，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例题2．如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 【分析】(1) 若为中点，连接，易证为平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证明； (2)建立空间直角坐标系，易知是面的一个法向量，求出平面的法向量量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）若为中点，连接，又､为､的中点，底面为矩形，所以且，而且，所以且，故为平行四边形， 故，又面，面，则面. （2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，所以，，，， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令，故， 又是面的一个法向量， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值. 例题3．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 例题4．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 或 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】（1）由平面 平面 ，得到 平面 ，再结合即可求证； （2）建系，设 求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解，利用体积公式计计算得出结果. 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 例题5．如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)在四棱锥中，求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】（1）连，交于，证平面，结合及线面垂直的性质证明结论； （2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为，易得，利用线面平行化为求点到平面的距离，即可得； （3）过在平面内作垂直于，垂足为，由面面垂直判定和性质得平面，根据二面角的定义求二面角的大小. 【详解】（1）在等腰梯形中，连，则四边形为菱形， 连交于，则， 在四棱锥中，且都在平面内， 平面，，则平面， 由平面，故； （2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为， 则，且，所以， 由平面平面，则平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离，距离为； （3）由（1）知平面且平面，所以平面平面， 平面平面，过在平面内作垂直于，垂足为， 平面，所以， 在中，，所以为中点，易知， 所以，而， 所以二面角的平面角为，大小为. 例题6．已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． (1)若D为中点，求证：． (2)若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】（1）由D为中点，得到，根据线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）①在由，得到得到长，由余弦定理求得，得到所以为等腰三角形，且，再由，证得平面，得到，过点作，证得，得到为平面和平面所成的平面角，在直角中，求得，即可得到答案； ②以为原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心为，求得球心的坐标为，半径为，再由为的中点，得到，当与过点的截面垂直时，此时截得面积最小，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图（1）所示，在等腰中， 因为，且D为中点，可得，即， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：①在等腰中，，，可得， 因为，可得，即， 在中，由余弦定理得，所以， 所以为等腰三角形，所以， 所以，即， 又因为平面和平面所成的二面角为，即平面平面， 因为平面，且平面平面，所以平面， 又因为平面，所以， 如图所示，过点作，因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面和平面所成角的平面角， 在直角中，可得， 在直角中，可得，所以， 所以平面和平面所成角的正弦值为 ②以为原点，以分别为轴，轴，以在平面内，过点垂直的所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图(3)所示， 则， 设三棱锥的外接球的球心为， 则球心在底面上的投影为的外心，其坐标为， 球心在上的投影点为直角的外心，即的中点，坐标为， 所以球心的坐标为，半径为， 又由为的中点，可得,则， 当与过点的截面垂直时，此时截得的小圆的半径最小，其面积最小， 设所截小圆的半径为，则， 所以过E作平面截三棱锥的外接球，截面面积的最小值. 例题7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点． (1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC； (2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由； (3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 (3)． 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面PBC； （2）连接AC，BD交于点O，得到O为BD的中点，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面ACE，进而得到点F与点C重合时，直线平面AEF，得到结论； （3）连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥，利用锥体的体积公式，求得四棱锥的体积，再由点G为PC的靠近C的三等分点，分别求得和，根据，求得即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，因为，且E为线段PB的中点，所以， 又因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 因为，，且AB，平面PAB， 所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以， 因为，且PB，平面PBC， 所以平面PBC，因为平面AEF， 所以平面平面PBC； （2）存在，理由如下： 如图所示，连接AC，BD交于点O，可得O为BD的中点， 因为E为PB的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE， 当点F与点C重合时，此时平面AEF， 即在BC上存在点F，使得平面AEF． （3）如图所示，连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥， 因为，且底面ABCD， 所以四棱锥的体积为， 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则，，，， 设，其中， 则， 因为A，E，G，F共面， 则存在实数x，y使得， 即， 可得， 解得， 即， 所以G为PC的靠近C的三等分点， 因为F为线段DC的中点，可得， 即， 又因设E到平面PCD的距离为d，B到平面PCD的距离为d1， 则， 所以， 又因为F为线段DC的中点，且平面PAB， 因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 所以F到平面PAB的距离等于C到平面PAB的距离，此时距离为， 则， 所以， 所以． 例题8．如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 【分析】（1）新的几何体是大圆锥减去小圆锥的部分，结合圆锥体积公式可计算出结果； （2）作出辅助线先证明与底面所成角即为，利用线段长度表示出，根据的范围求解出的取值范围. 【详解】（1）连接，在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 例题9．如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为. (1)当时，时. （i）证明：； （ii）求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 【分析】（1）（i）由线面垂直判定定理得出平面得出，进而得出线线相等；（ii）先建系，再把转化为二面角，最后应用面面角余弦公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，设，再分别计算二面角与相等，最后再结合值域计算求解. 【详解】（1）（i）延长交于，则是的中点； ，， 平面，平面， ， ，平面， 平面，平面， ，. （ii）为的重心，，所以， 由平面得，故， 如图，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为二面角与的大小分别为，知即二面角， ， 故， 设平面的一个法向量， 则，取 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，， 则，取， 所以平面的一个法向量， . （2）如图，过作，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，设，则， 故， 设平面的一个法向量， 则， 取，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，， 则， 取，所以平面的一个法向量为， 由得二面角与相等， ，即， 整理得，所以，， 所以. 例题10．如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. (1)若平面，证明：是的三等分点； (2)记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)椭圆，理由见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 【分析】（1）由于平面，作，证得，进而证得平面，得到和，结合，得到，得到，得到，即可得证； （2）延长至，使得，得到M，D到的距离为定值，求得，得到M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义，即可求解； （3）以A为原点，建立空间直角坐标系，由椭圆的短半轴长为1，求得椭圆，求得，得到为左焦点，设右焦点为，则，设，在中，由余弦定理，求得和. 解法1：由，令，得到，求得，得到函数的单调性和极值，即可求解； 解法2：由，转化为求的最小值，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由于平面，作，垂足为点， 因为平面，则， 又因为，且，平面， 因此平面，因为平面，所以， 同理可证：， 又因为，可得，所以， 因为面，从而， 因此，进而为的三等分点. （2）椭圆， 延长至，使得， 由于，可得M，D到的距离为定值， 因此M，D应在以为高线的圆柱上运动，且上下底面与垂直， 又因为M，D为平面上两点，， 从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义， 因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下. （3）以A为原点，所在直线为x轴，过A点与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为， 故由图可知椭圆的短半轴长为1， 由，从而椭圆的长半轴，进而椭圆方程：， 又由，平面，从而，即， 由定义知为椭圆的左焦点，设的右焦点为，则， 设， 在中，由余弦定理，可得， 解得，同理可得：， 解法1：由， 令，则，可得， 令，解得，（舍去）， 当，；当，， 因此为的极小值点，可得. 解法2：由，原题等价于求的最小值， 则等价于求的最小值， 又由， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为. 百强名校-必刷真题精练 1．如图，已知在四棱锥中，，平面，平面平面. (1)证明：； (2)若且，G为的重心，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 【分析】（1）由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）以 为坐标原点, , 为 轴、 轴,过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】（1） 平面 , 平面 , . 过 作 ,交 于点 , 平面 平面 ,平面 平面 平面, ∴所以 平面 平面，, 又 平面 ，平面 ， 平面 ，平面 （2）以为坐标原点, , 为 轴、 轴,过平行于 的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , . 设 , ， 由题意可得 解得 G为的重心， 设平面 的一个法向量为 ,则 , ∴，令 ,则 ，∴ ， 设直线 与平面 所成角为， 则 . 2．在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. (1)求证：； (2)若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】（1）先证得点在平面ABC内的射影是的中心，进而证得； （2）法一先作出直线与平面所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）过点作平面ABC于点平面ABC，所以， 又平面， 平面平面， 同理可证，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又平面平面，故， 同理可证， 综上，. （2）法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥， 且在底面ABC内的投影为等边的中心， 又，故三棱锥的三个侧面 均为直角三角形， 且，则，又， 可知，则， 解得,在平面中过作， 交延长线于点，则平面， 则即为直线与平面所成角，其中 ， 故 即直线与平面所成角的余弦值. 法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则， 又， 设直线与平面所成角为，， 所以，故， 即直线与平面所成角的余弦值. 3．如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）设与相交于点，连接， ∵四边形为菱形，，且为中点，又，， ∵，平面BDEF，∴平面， 又平面，所以平面平面； （2） 连接，∵四边形为菱形，且， 为等边三角形， ∵为中点，∴，又，，平面， 平面．故OA，OB，OF两两互相垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，∵四边形为菱形，，，． 为等边三角形，∴． ，, 则，因为，即， 所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 取， 设与平面所成角为，则， 解得或，又，所以. 4．如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 【分析】（1）设的中点为，证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直即可； （2）利用线面关系作出二面角的平面角，然后利用余弦定理求余弦值即可. 【详解】（1）设的中点为，连接，如图所示， 因为与均为等腰直角三角形，， 故，且， 又， 故，即， 且平面，， 故平面，且平面， 故平面平面. （2）因为，，且平面， 所以平面，且，故平面， 且平面，故，则， 设和的中点分别为，连接， 则，故， 又因为，故， 且平面，平面， 故即二面角的平面角， 且， 因为，故， 则， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 5．如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH. （1）求证：AB∥GH； （2）求二面角D­GH­E的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 【分析】（1）由中位线定理得EF∥DC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，，从而证得结论成立； （2）先证得BA，BQ，BP两两垂直．然后以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC． 又因为EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD． 又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以AB∥GH. （2）在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ， 所以∠ABQ＝90°.又因为PB⊥平面ABQ， 所以BA，BQ，BP两两垂直． 以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA＝BP＝BQ＝2， 则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)， 所以＝(－1，2，－1)，＝(0，2，－1)， ＝(－1，－1，2)，＝(0，－1，2)． 设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 由，， 得，取y1＝1，得＝(0，1，2)． 设平面PDC的一个法向量为＝(x2，y2，z2)， 由，， 得，取z2＝1，得＝(0，2，1)． 所以cos〈〉＝. 因为二面角D­GH­E为钝角， 所以二面角D­GH­E的余弦值为． 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，把几何问题转化为计算． 6．如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且 （Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 【分析】（Ⅰ）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，设异面直线与所成角为，算出，再利用计算即可； （Ⅱ）分别求出平面的法向量与平面的法向量，再利用向量的夹角公式算得即可； （Ⅲ）设，由平面，得，进一步得到的坐标，再由模长公式计算的长. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 由题意， ， （Ⅰ）， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （Ⅱ）易知， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 同理，设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. （Ⅲ）由为棱的中点，得， 设，则， 由平面，得，即 ， 解得，故，因此， 所以线段的长为. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 7．如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为的中点.    (1)证明：； (2)若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 【分析】（1）取中点，先由线面垂直证得，再设与交于点，根据证明，即可证得平面，再由线面垂直的性质即得证； （2）以为原点建系，根据异面直线和所成角为得出点坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得答案. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，设与交于点，    由于，为中点，所以， 在直三棱柱中，有平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，可得四边形是正方形，所以，且为线段中点， 又，可得点为的中点， 又为的中点，所以是的中位线，为的中位线， 所以 ，，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以； （2）如图，以为原点，，所在的直线为轴，轴，以平行于的直线为轴如图建系，    则，，，， 设，则，， 因异面直线和所成角为，则， 解得，即，则， 则，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 8．在多面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，四边形为平行四边形，分别为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析; (2). 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【分析】（1）利用空间几何中的平行垂直关系，可求证线线垂直，线面垂直，进而得到线线垂直； （2）利用空间向量法来求二面角的夹角余弦值即可. 【详解】（1）连接， 是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ， 又平面平面，平面平面平面， 平面，又平面， ， 四边形为平行四边形，为的中点， ， 又，， 又，平面， 平面，又平面， . （2）在平面中，过作交于点，结合（1）易知两两垂直．所以以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示． ，， 则， . 设平面的法向量为， 取，则， 故是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 取，则， 故平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 9．如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】（1）根据已知结合余弦定理得出，再由线面垂直的性质有、，进而有平面.； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，应用向量法求面面角的余弦值结合函数单调性即可求出范围. 【详解】（1）因为所以， 所以，所以， 由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. （2）由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，且是四边形（不含边界）内的动点,． 所以，即， 设， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面与平面所成角为 则， 令，则， 因为在上单调递减，所以，所以. 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 10．如图，四棱柱的棱长均为2，且，，是中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【来源】山西省大同市名校联考2024-2025学年高三下学期4月模拟考试（二）数学试题 【分析】（1）利用余弦定理求得，再结合勾股定理并利用线面垂直判定定理证明可得平面，即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系分别求出两平面的法向量，即可求得二面角的余弦值． 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图：    由题可知为的中点，且为边长是2的等边三角形， 因此，可得， 在中，由，可得：， 即；同理可得； 又，所以为等腰直角三角形，所以； 易知，又，， 接满足，所以； 又，平面， 所以平面； 又因为平面， 所以平面平面 （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    显然， 可得； 设平面的一个法向量为， 则，令，则，； 所以； 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，则； 所以； 可得， 由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为. 11．在三棱锥中，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题设可得关于坐标的方程组，求解后可求体积； （2）结合（1）结果，利用向量法可求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴， 以所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴， 建立如图空间直角坐标系． ，设 ，，，． . （2）设平面的法向量， ，，取，， 设平面的法向量， ，，取，， 设平面与平面的夹角为， ． 所以平面与平面的夹角的余弦值为 12．在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面； (2)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】（1）利用已知条件可证平面，建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量共线即可； （2）利用（1）中的平面的法向量求出点的坐标，再求出平面的法向量，即可求解. 【详解】（1）     平面，平面，平面平面， ， 连接，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， ，又由题意知，四边形是等腰梯形， ，同理， ，平面，平面， 底面ABCD是菱形，， 以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形的边长为2，，，， ，，， ，，，，， ，，， 设，， 设平面的法向量为， ，令，则，， ，，即平面； （2）设，，， ，，， ，， 又在上，设，即，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， ， ， 平面MAC与平面夹角的余弦值. 13．如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. (1)求证：平面GED； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三三模数学试题 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，得出，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可． 【详解】（1）证明：取DE的中点M，连接OM，GM， 在△BDE中，，. 又因为G为CF的中点，所以，， 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以， 又面，面， 所以平面. （2）因为平面ABED，所以，， 又因为，所以四边形ABED为菱形，所以， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CE , 于是，，， ，， 设平面BCE的一个法向量为， 则即 不妨令，则，，取. 又为平面ACE的一个法向量， 设二面角A－CE－B平面角的大小为θ，显然θ为锐角， 于是， 故二面角A－CE－B的余弦值为. 14．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判断定理将问题转化为证明即可； （2）过点作的垂线，垂足为，利用线面垂直的性质定理将问题转化为证明平面，而证明平面只需证明，即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，利用平面与平面夹角的向量公式即可求出，最后利用棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，    在中，且，又，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）过点作的垂线，垂足为，    因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面PMC，又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，平面， 所以平面．又平面，所以． （3）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点，所以， 设，，所以， ， 设平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以，， .    15．已知在三棱锥中，，，，，      (1)证明：平面平面ABC； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）用向量法求二面角的余弦值即可求解. 【详解】（1）    取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO， 因为为等腰直角三角形，故， 在中，，， 在中，，，，， ，，且EO、面ABC， 面ABC，又面BCD，面面 （2）由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面BCD的法向量， ， 设平面ABD的法向量， ， ， ，， ，， 二面角的正弦值为 16．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【详解】（1）取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以//平面． （2）底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积，     又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. （3）因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角，     在直角梯形中，，，所以，所以， 又，所以， 在中，，所以， 即二面角的余弦值为． 17．如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. (1)当是线段中点时，求证：平面； (2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】（1）记的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据二面角求出点坐标，再由向量法求距离即可. 【详解】（1）记的中点为，连接， 因为是线段中点，所以且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又，所以两两垂直， 以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 则， 当M与B重合时，二面角为，不合题意， 设，则， 设平面，平面的法向量分别为， 则，， 取，得， 由题可知，解得（舍去）， 则，则点到平面的距离为. 18．如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体.已知，且二面角的平面角的正切值为. (1)求证：平面； (2)计算线段的长度； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三下学期一模考试数学试题 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出，再利用线面垂直的判定可证结论； （2）利用二面角可求，根据三角形相似可得的长度； （3）建立坐标系，求解平面法向量，利用法向量可求答案或者利用三垂线法作出二面角平面角，利用三角形知识可得答案. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为折叠前后均有，平面.， 所以平面. （2）由（1）知平面，所以二面角的平面角为. 又平面，平面，所以. 依题意，因为，所以. 设，则. 依题意.所以，即. 解得. 故，，. （3）法1：如图所示，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，. 由（1）知平面的法向量. 设平面的法向量， 由，得， 令，得，，所以. 所以.所以二面角的余弦值为. 法2：因为平面，过点作交于，则平面. 因为平面，所以. 过点作于，连接，所以平面，因此. 所以二面角的平面角为. 由平面几何知识求得，， 所以.所以. 所以二面角的余弦值为. 19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．在锐角中，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点；使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】（1）要证面面垂直，只需证线面垂直即可.故证明出平面即可. （2）利用线面平行的性质，通过三角形相似等知识找到线段比例关系，即可确定点位置. （3）建立空间直角坐标系，求出相关平面法向量，根据向量夹角公式即可求出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：四边形为直角梯形，，，所以， 又，，平面，故平面， 又平面，所以平面平面． （2）解：连接，交于点，连接． 若平面，因为平面，平面平面， 故， 又，，则， 故为三等分点（靠近点），即． 故在棱上存在点，当时，平面. （3）因为，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图 则，，，， 所以，． 设，则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以． 因为与平面所成角为，则 又，，， 所以，解得，故，则， 所以，， ． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，故． 设平面与平面夹角为，， ，， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 20．已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点． (1)若，，求二面角的余弦值； (2)若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】（1）由且是异面直线的公垂线段，所以可以以为轴，其他两个分别平行轴、轴通过建立空间直接坐标系发现，得到就是所二面角求角，通过计算可求； （2）通过建系设点，推出方程组无解得到结论. 【详解】（1），故以M为原点建立空间直接坐标系， ，，，， 直线与轴平行，所以直线的一个方向向量为，， ，所以，又， 所以就是所二面角求角， ， 所以二面角的余弦值为. （2） 设，，，， 分别为的中点，，，，又， ， ， 当时，， 当时，， 故无解， 所以不存在点使得同时成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 空间向量与立体几何大题综合 百强名校-核心考点突破 例题1．如图，在三棱柱中，平面．    (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026届高三上学期第四次诊断考试数学试题 例题2．如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【来源】山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题 例题3．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【来源】广西壮族自治区柳州高级中学2025届高三高考热身考数学试题 例题4．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 例题5．如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)在四棱锥中，求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 例题6．已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）． (1)若D为中点，求证：． (2)若， ①求平面和平面所成角的正弦值； ②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 例题7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点． (1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC； (2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由； (3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比． 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题 例题8．如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【来源】黑龙江省大庆实验中学实验二部2025届高三模拟考试数学试题 例题9．如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为. (1)当时，时. （i）证明：； （ii）求； (2)若，求的取值范围. 【来源】辽宁省实验中学2025届高三五模数学试题 例题10．如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. (1)若平面，证明：是的三等分点； (2)记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； (3)求的最小值. 【来源】重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题 百强名校-必刷真题精练 1．如图，已知在四棱锥中，，平面，平面平面. (1)证明：； (2)若且，G为的重心，求直线与平面所成角的正弦值. 【来源】重庆市第一中学校2025届高三下学期5月高考适应性考试最后一卷数学试题 2．在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. (1)求证：； (2)若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 3．如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三年级下学期三模综合素质评价数学试题 4．如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2025届高三第五次模拟考试数学试卷 5．如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH. （1）求证：AB∥GH； （2）求二面角D­GH­E的余弦值． 【来源】山东师范大学附属中学2025届高三适应性检测数学试题 6．如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且 （Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长． 【来源】河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期高考数学三模试卷 7．如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为的中点.    (1)证明：； (2)若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题 8．在多面体中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，四边形为平行四边形，分别为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 9．如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 10．如图，四棱柱的棱长均为2，且，，是中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【来源】山西省大同市名校联考2024-2025学年高三下学期4月模拟考试（二）数学试题 11．在三棱锥中，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 12．在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面.    (1)证明：平面； (2)求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 13．如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. (1)求证：平面GED； (2)若，求二面角的余弦值. 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三三模数学试题 14．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【来源】江苏省常州市第一中学、溧阳中学2026届高三上学期数学联考试卷 15．已知在三棱锥中，，，，，      (1)证明：平面平面ABC； (2)求二面角的正弦值． 【来源】湖北省武汉市第二中学2025届高三高考模拟数学试题 16．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值． 【来源】河北省衡水市衡水二中等学校2026届高三三调考试（三模）数学试题 17．如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. (1)当是线段中点时，求证：平面； (2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 18．如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体.已知，且二面角的平面角的正切值为. (1)求证：平面； (2)计算线段的长度； (3)求二面角的余弦值. 【来源】河北省衡水中学2024-2025学年高三下学期一模考试数学试题 19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．在锐角中，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点；使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 20．已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点． (1)若，，求二面角的余弦值； (2)若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $