专题01 集合与常用逻辑用语、平面向量与复数（精选53题）专项训练-【百强名校好题】2026年高考数学终极必刷：核心考点突破+必刷真题精练（全国通用）

专题01 集合与常用逻辑用语、平面向量与复数 百强名校-核心考点突破 例题1．已知集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】求解一元二次不等式得出，判断其真子集个数即可. 【详解】由可得，故 ， 则集合的真子集个数是. 故选：C. 例题2．已知集合，那么集合（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以, 故选：A. 例题3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 例题4．已知命题：，，则下列结论正确的是（   ） A．为真命题，且命题的否定为：， B．为真命题，且命题的否定为：， C．为假命题，且命题的否定为：， D．为假命题，且命题的否定为：， 【答案】B 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 【分析】先判断命题的真假，再根据全称命题的否定规则写出命题的否定，最后根据判断结果选择正确选项. 【详解】因为. 所以对于任意的，都成立，所以命题为真命题. 命题是全称命题，所以它的否定为. 命题为真命题，且命题的否定为. 故选：B. 例题5．（多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】ABC 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】先化简不等式，再根据充分不必要条件判断即可. 【详解】不等式等价于， 则与同正或同负，即或， 对于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合题意； 对于B，由且能推出或，反之不能，故B符合题意； 对于C，且等价于且， 故且能推出或，反之不能，故C符合题意； 对于D，且等价于或且或， 故且不能推出或，故D不符合题意. 故选：ABC. 例题6．若复数，则（   ） A．5 B． C． D．1 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2026届高三上学期三模数学试题 【分析】根据复数的除法运算，求得，根据模的求法，即可得答案. 【详解】复数， 所以. 故选：D. 例题7．（多选）已知复数，则（　　） A．的虚部为 B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】利用复数的乘法求出，再逐项求解判断. 【详解】复数， 对于A，的虚部为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD 例题8．已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题 【分析】解方程，求得方程的根可得结论. 【详解】，即，解得或， 又，故A错误；，故B错误； ，故C错，故D正确. 故选D. 例题9．（多选）设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（     ） A． B． C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D．若，则的最小值是 【答案】AD 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】利用复数的乘方运算判断A；举例说明B错误；由复平面中点的表示方法判断C；由复数模的几何意义求出复数对应的点的轨迹判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，取，，，等式不成立，故B错误； 对于C，设，若对应的点在第二象限， 则，，即对应的点位于第四象限，故C错误； 对于D，若， 则在复平面内复数对应的点到、距离和为常数，且， 则在复平面内复数对应的点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 其中 的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故，故D正确. 故选：AD. 例题10．已知向量，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】B 【来源】河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题 【分析】利用数量积公式及投影向量长度公式计算即可. 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量的长度为. 故选：B 例题11．已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 例题12．（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 【答案】ABD 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 百强名校-必刷真题精练 一、集合 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 【分析】根据补集可得，进而可求交集. 【详解】因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 2．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】解一元二次不等式求得集合，利用交集的意义可求得实数的取值范围. 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以，所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】确定两集合中的元素，结合交集运算即可求解. 【详解】， 由，可知中元素从小到大排序 所以， 故选：A 5．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解． 【详解】因为，所以． 故选：B． 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】先化简集合，再利用集合交集的运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 故选：D. 7．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 【分析】首先化简求解集合、，再求即可. 【详解】， ， 因为，函数单调递增， 所以，所以，即 . 所以. 故选：C 8．已知为有穷正整数数列，且，集合.若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集. (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值. 【答案】(1)31是，1024不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)8 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定k的最小值为满足成立的m，代入求m即可. 【详解】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的中最多有个元素， 所以； 当时，，我们取依次为 时，易知等号成立. （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为8. 9．已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖 (1)若，问是否合理覆盖？请简要说明理由； (2)若存在合理覆盖，求的最小值； (3)是否存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列（表示集合中的元素个数）？若存在请给出一个，若不存在请说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) (3)存在，理由见详解 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】（1）根据称合理覆盖的定义判断即可； （2）依题意得，根据定义可知中至少有个，进而可求的最小值； （3）存在合理覆盖，则中的每一个元素可以恰好属于中个集合，在此基础上去构造一个满足题意的即可. 【详解】（1）是，因为任意两个集合均有一个公共元素，从而不能覆盖，而任意三个集合覆盖. （2）若存在合理覆盖，从中任取五个集合，则中必存在一个元素不属于这五个集合，同理再任取五个集合，则中必存在一个元素不属于这五个集合，则（否则必存在六个集合的并集不等于），所以中至少有个元素，故， 当时，中的每个元素均恰好属于中五个集合，且每个元素所在的五个集合构成的集合均不相同，则该合理覆盖． （3）若存在合理覆盖，则中的每一个元素可以恰好属于中个集合（小于5个则存在六个集合的并集不等于） 首先我们将中恰好属于中个集合的元素去除，则仍然合理覆盖剩下的集合（可以理解为将剩下的集合置换为则） 由（2）中恰好属于中5个集合的元素至少252个，我们再将所在5个集合相同的元素留下一个，其余去除，则中将只剩下252个元素，此时 现在此基础上我们再加回一些元素： 加回的元素对于的初始状态为： 先加5个恰属于五集合的元素 然后每次加1个恰属于五集合的元素 最后剩余的所有元素给每一个集合 所以存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列． 二、常用逻辑用语 10．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 【分析】由命题的否定求解即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：B. 11．已知向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 【分析】由向量平行可得或，根据充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】已知向量， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 12．对于方程，（），“方程有两个不等实根”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 【分析】一方面当有判别式大于0，另一方面可以举反例当一元二次方程有两个不等实根时，不成立，结合这两方面即可求解. 【详解】一方面，若，即，则，此时有两个不等实根. 另一方面，不妨取，，，则为， 此时方程有两个不等实根，，但. 故“方程有两个不等实根”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 13．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前项和公式推理判断即得.. 【详解】因为是等比数列，由可得: ， 故“公比”是“是和有界数列”的充分条件； 反之，若取，则，即此时是和有界数列， 故“公比”不是“是和有界数列”的必要条件. 故选：A. 三、复数 14．设复数满足为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】根据复数的乘法运算求得，进而得共轭复数，即可得在复平面内对应的点的坐标. 【详解】因为； 则的共轭复数在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D. 15．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】根据复数的概念，复数的除法公式和共轭复数得概念，计算求解. 【详解】由得， 则，虚部为. 故选：C. 16．已知复数，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】先求，代入后，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为复数，所以 所以， 故选：A. 17．若复数满足，则 ． 【答案】/ 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 18．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 19．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】湖北省华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试题 【分析】由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】， 其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 20．若复数满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 【分析】先化简z，再根据复数模长公式求复数的模. 【详解】因为. 所以. 故选：B 21．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省武汉市武昌区2025届高三下学期5月质量检测（三模）数学试题 【分析】利用复数的除法运算可求，再根据复数的共轭及乘法计算即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 22．在复平面内，复数对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山西省部分学校2024-2025学年高三下学期二模数学试卷 【分析】根据复数的除法运算化简复数，由复数的几何意义得解. 【详解】，所以在复平面内该复数对应点的坐标为. 故选：A. 23．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 【分析】根据共轭复数的定义及复数的运算直接可得解. 【详解】由， 得， 则， 即， 故选：A. 24．已知为虚数单位，若复数满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的概念以及复数的乘法化简可得结果. 【详解】由已知可得，则，故. 故选：C. 25．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】利用复数的四则运算性质结合共轭复数的定义得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 则， 所以，故A正确. 故选：A 26．已知（为虚数单位)，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：B. 27．设复数，则z的共轭复数的虚部为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省五市2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题 【分析】根据复数的除法运算求解，再由共轭复数得到虚部. 【详解】， 所以，其虚部为， 故选：A. 28．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算计算可得. 【详解】因为在复平面内对应的点为， 又点关于直线对称的点为，所以， 所以. 故选：A 29．（多选）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断A，再由韦达定理判断B，根据复数的乘法运算判断C，再由复数除法及周求判断D． 【详解】对于A，因为且实系数一元二次方程的两根为， 所以，可得，因为，故A正确； 对于B，又，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ACD 四、平面向量 30．在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 【分析】由已知，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设知，且，则， 所以，即. 故选：C 31．已知两个单位向量满足，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 【分析】由，求得，结合，利用向量的数量积的运算公式，即可求得的值，得到答案. 【详解】由两个单位向量，可得， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：C. 32．已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C．37 D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 【分析】由向量共线的坐标表示及模长公式即可求解. 【详解】， 因为， 可得：，即，所以， 所以， 故选：B 33．在四边形中，若，则该四边形的面积为（       ） A． B． C．10 D．20 【答案】C 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 【分析】利用向量的数量积坐标运算来判断向量垂直，从而利用四边形的面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，则，即四边形的对角线互相垂直， 因为， 所以该四边形的面积为， 故选：C. 34．若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【分析】利用单位向量的定义结合数量积的定义求出，，，最后利用数量积的定义求解夹角即可. 【详解】因为是夹角为的单位向量，，， 所以， ， 而，故， ，故， 所以， 而，解得， 则向量与的夹角为，故C正确. 故选：C 35．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 【分析】根据投影向量公式可求投影向量. 【详解】因为，故，故， 而在上的投影向量为， 故选：D. 36．如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 【分析】利用平行四边形的性质，将与用和表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行展开，最后结合已知条件求解AB的长度. 【详解】用和表示与，在平行四边形中，. 因为为的中点，所以，又因为在平行四边形中，则. 那么，，，所以.   已知，，则. 可得：.   已知，，设， 则， 即，. 所以.   因为，即，得，则或. 因为AB为平行四边形的边，长度不为，所以舍去，故.   故选：A. 37．已知，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 【分析】设向量与夹角为，利用投影向量的定义求得，进而求出，再利用两向量的夹角公式即可求得. 【详解】设向量与夹角为，因为在上的投影向量为， 即，解得，则， 设向量与夹角为， 则. 故选：A. 38．已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【来源】湖北省T8联盟2025届高三下学期高考考前模拟（一）数学试题 【分析】首先利用向量数量积的定义和运算律得到，再根据投影向量模长的计算公式即可得到答案. 【详解】，即， 即，解得或（舍去）， 则，则向量在方向上的投影向量的模长为. 故选：A. 39．在中，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题 【分析】由为的中点得到，再由，即可求解； 【详解】因为，所以为的中点，所以． 又，所以，所以， 所以， 所以，所以． 故选：C 40．已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值. 【详解】 如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，， 所以，符合条件， 在单位圆上再取一点，令， 易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角， 因为，符合条件， 所以当线段为圆的直径时最大，最大值为. 故答案为： 41．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解. 【详解】设的中点为，则， 因为，所以， 所以， 因为等边的边长为2，则，所以， 所以. 故选：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语、平面向量与复数 百强名校-核心考点突破 例题1．已知集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 例题2．已知集合，那么集合（   ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 例题3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 例题4．已知命题：，，则下列结论正确的是（   ） A．为真命题，且命题的否定为：， B．为真命题，且命题的否定为：， C．为假命题，且命题的否定为：， D．为假命题，且命题的否定为：， 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 例题5．（多选）使关于的不等式成立的充分不必要条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 例题6．若复数，则（   ） A．5 B． C． D．1 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2026届高三上学期三模数学试题 例题7．（多选）已知复数，则（　　） A．的虚部为 B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 例题8．已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（    ） A． B． C． D． 【来源】河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题 例题9．（多选）设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（     ） A． B． C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D．若，则的最小值是 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 例题10．已知向量，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 【来源】河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题 例题11．已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 例题12．（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 百强名校-必刷真题精练 一、集合 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷 2．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 5．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 7．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题 8．已知为有穷正整数数列，且，集合.若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集. (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值. 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 9．已知元正整数集合，取出的个互不相同的非空子集：构成集合，若中任意个元素的并集均真包含于，任意个元素的并集均等于，我们称合理覆盖 (1)若，问是否合理覆盖？请简要说明理由； (2)若存在合理覆盖，求的最小值； (3)是否存在合理覆盖，且构成公差为1的等差数列（表示集合中的元素个数）？若存在请给出一个，若不存在请说明理由． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 二、常用逻辑用语 10．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题 11．已知向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题 12．对于方程，（），“方程有两个不等实根”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】浙江省绍兴市第一中学2025届高三下学期校模拟考试数学试题 13．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 三、复数 14．设复数满足为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 15．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 16．已知复数，则（   ） A． B． C．3 D．4 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 17．若复数满足，则 ． 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 18．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【来源】安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题 19．在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【来源】湖北省华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试题 20．若复数满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题 21．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市武昌区2025届高三下学期5月质量检测（三模）数学试题 22．在复平面内，复数对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【来源】山西省部分学校2024-2025学年高三下学期二模数学试卷 23．已知，则（   ） A． B． C． D． 【来源】陕西省榆林市2025届下学期4月全国仿真模拟考试数学试题 24．已知为虚数单位，若复数满足，则（       ） A． B． C． D． 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 25．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 26．已知（为虚数单位)，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一） 27．设复数，则z的共轭复数的虚部为（   ）． A． B． C． D． 【来源】河南省五市2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题 28．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（   ） A． B．1 C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 29．（多选）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 【来源】江西师范大学附属中学2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷 四、平面向量 30．在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷 31．已知两个单位向量满足，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题 32．已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C．37 D． 【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题 33．在四边形中，若，则该四边形的面积为（       ） A． B． C．10 D．20 【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题 34．若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 35．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷 36．如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D．2 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题 37．已知，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题 38．已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（   ） A． B．1 C． D．2 【来源】湖北省T8联盟2025届高三下学期高考考前模拟（一）数学试题 39．在中，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【来源】2025届山东省齐鲁名校大联考模拟预测数学试题 40．已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题 41．已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $