2.4.1 利用二次函数求面积的最值问题 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦利用二次函数求面积最值，从复习抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标切入，通过直角三角形内矩形面积问题，结合相似三角形推导边长关系建立面积函数，搭建二次函数性质与实际面积最值的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与抽象能力，以矩形花园修改、窗户透光面积等生活情境及中考题为例，培养学生用数学眼光观察数量关系、用数学思维推理运算的能力。采用递进式教学，学生能发展应用意识，教师可高效开展培优教学。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 2.4.1 利用二次函数求面积的最值问题 第二章 二次函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下；对称轴：x = ； 顶点坐标：（ ， ）； 想一想 思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 新课导入 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m，那么 AD边的长度如何表示? 解：（1）设AD=h，由图可知Rt△EDC∽Rt△CBF ∴ ∴ 新课导入 E F 新课导入 （2）设矩形的面积为 y m2，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少? （2）由题意可得 ∴当x=20时， y有最大值300. 点击图可进入该题几何画板案例 探究新知 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ N M 解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M. ∵ DA//CB，∴GN⊥DA. ∵DA//EF， 点击图可进入该题几何画板案例 N M 探究新知 在Rt△EGF中， 由 得GM=24（m） ∴当x=12时， y有最大值300. 例1 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多? (结果精确到0.01m) 此时，窗户的面积是多少? (结果精确到0.01m2) 解:∵7x+4y+πx=15， ∴ ∵0＜x＜15，且0＜ ＜15， ∴0＜x＜1.48. 设窗户的面积是Sm2，则 ∴当x= ≈1.07时，S最大= ≈4.02. 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为4.02m2. 1. 如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 . 图1 随堂练习 2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s， 四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q 图1 随堂练习 返回 C 1. 游览关中乡村，发现一个如图所示的长20 m、宽16 m的矩形花园，为打造更美的打卡点，计划长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．4 中考考法 13 2. (4分)逛陕南古镇手工作坊，有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．设EF＝x，当EF取何值时，剪出的矩形CDEF的面积最大，最大面积为多少？ 中考考法 中考考法 返回 中考考法 返回 3. B [教材P47“习题2.8”第2题变式]如图，陕北窑洞某民宿想用长为60 m的栅栏，再借助长40 m的房屋外墙围成一个矩形的菜园，则可围成的菜园的最大面积是(　　) A．420 m2 B．450 m2 C．480 m2 D．500 m2 中考考法 返回 4. A 如图，在西安某景区长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若小路的宽不超过1 m，则花圃中阴影部分的面积(　　) A．有最小值247 m2 B．有最小值266 m2 C．有最大值247 m2 D．有最大值266 m2 中考考法 解：因为四边形CDEF是矩形， 所以∠CFE＝90°，DE＝CF，则∠AFE＝90°. 因为∠A＝30°，EF＝x，所以AE＝2x， 所以AF＝＝x. 因为∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12， 所以BC＝AB＝6， 所以AC＝＝6， 所以DE＝CF＝6－x. 所以矩形CDEF的面积为(6－x)x＝－x2＋6x. 因为－<0，所以当x＝－＝3时，矩形CDEF的面积取得最大值，为－×32＋6×3＝9. 因此当EF＝3时，矩形CDEF的面积最大，最大面积是9. $