专题01 导数的概念及其意义（思维导图+5大知识点+9大题型）（讲义）-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题01 导数的概念及其意义 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平均变化率问题 4 知识点二：导数的概念 5 知识点三：求导数的方法： 5 知识点四、曲线的切线 5 知识点五、导数的概念 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：平均变化率问题 7 题型二：瞬时速度问题 8 题型三：在某点处的导数 9 题型四：切线方程问题 11 题型五：切点坐标问题 12 题型六：导数的几何意义 14 题型七：过某点的切线问题 17 题型八：利用定义求导函数 19 题型九：导数定义的极限形式 20 05 强化训练 22 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 知识点三：求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 知识点四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 知识点五、导数的概念 导函数定义： 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 知识点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值． 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 题型一：平均变化率问题 【例题1】（2025·高二·江苏·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 【例题2】（2025·高二·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平均变化率定义得， 故选：C. 【变式1】若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意有，解得. 故选：B. 【变式2】（2025·高二·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【解析】由题意， ， ， 故． 故选：B 题型二：瞬时速度问题 【例题3】（2025·高二·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 【例题4】（2025·高二·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 【变式3】物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【解析】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 【变式4】（2025·高二·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【解析】， 所以． 故选：D． 题型三：在某点处的导数 【例题5】求函数在处的导数． 【解析】函数增量为 ， 函数的平均变化率为， 当趋近于0时，趋近于2． ． 【例题6】求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数． 【解析】令f(x)＝，则f′(x0)＝ ＝＝ ＝＝. 【变式5】已知函数，其中， (1)求曲线在，，，处的切线的斜率； (2)说明这些斜率值是如何变化的． 【解析】（1）因为， 所以，，，； （2）因为在上单调递增，所以随着x的增大，斜率也增大． 【变式6】根据所给函数的图象，估计． 【解析】由图知函数的图象过，两点 根据导数的意义，可知 所以估计． 【变式7】如图，求，并估计． 【解析】由题意得，解得，所以，则，由图可估计为函数在处的切线，所以； 题型四：切线方程问题 【例题7】求函数在处切线的斜率． 【解析】因为， 所以，则， 所以在处的斜率为. 【例题8】求曲线在点处切线的斜率． 【解析】如图，在曲线上另取一点． 因为， 在所求得的斜率表达式中， 当时，． 因此，所求切线的斜率． 【变式8】过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）割线的斜率， 当，0.001，0.00001时，，6.003，6.00003． （2）因为切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为． 【变式9】若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 【解析】设切点P的坐标为， 因为 ， 所以，解得， 所以，故点P的坐标为， 切线方程为，即． 题型五：切点坐标问题 【例题9】已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 【解析】设切点的坐标为，切线斜率为， 由， 得．根据题意，得，解得， 当时，，所以切点为， 又，解得， 故所求切点的坐标为，． 【例题10】如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【解析】设切点坐标为，则， 曲线在点P的切线与直线平行， 则切线斜率为 ， 则；当时，；当时，， 所以切点坐标为或. 【变式10】已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【解析】设切点为， 因为 ，所以． 当趋于0时，趋于，即， 所以切线方程为， 因为切线过原点，所以， 所以，解得， 所以，故直线l的方程为，又，所以切点的坐标为． 【变式11】（2025·高二·陕西渭南·月考）已知曲线上一点，过点作直线． （1）求与曲线相切且以为切点的直线的方程； （2）求与曲线相切且切点异于点的直线的方程． 【解析】（1）， 当时，， ∴，则与曲线相切且以为切点的直线的斜率， ∴所求直线的方程为． （2）设切点坐标为，则由（1）知直线的斜率， ∴直线的方程为，又直线过点， ∴，解得（舍去）或． ∴所求直线的斜率的，故直线的方程为，即． 题型六：导数的几何意义 【例题11】（2025·高二·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 【例题12】（2025·高二·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解析】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 【变式12】（2025·高二·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 【变式13】已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 题型七：过某点的切线问题 【例题13】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【例题14】曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 【变式14】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 【变式15】过点作曲线的切线方程为 ． 【答案】或 【解析】， ∵点不在曲线上， ∴点P不是切点．设切点为，则. ∴切线的斜率为. 又∵切线过和两点， 所以. 解得或. ∴过的切线的斜率为或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 题型八：利用定义求导函数 【例题15】用导数的定义求函数的导数． 【解析】设， 则， 得， 即函数的导数为. 【例题16】求常数函数的导数． 【解析】记．当时，． 因此当h趋近于0时，． 【变式16】用定义求函数的导数． 【解析】函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 【变式17】已知函数，其中. (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求的值． 【解析】（1）当时，， 所以. （2）由（1）得． 题型九：导数定义的极限形式 【例题17】（2025·高二·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【例题18】（2025·高二·上海·月考）已知函数，则 . 【答案】3 【解析】， . 故答案为：3 【变式18】（2025·高二·福建莆田·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】 【解析】， 所以， 故答案为： 【变式19】（2025·高二·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ． 【答案】4050 【解析】. 故答案为：4050 1．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B. 2．（2025·高二·云南昆明·期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B 3．（2025·高二·北京顺义·期中）函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图像知道，在处图像单调递增趋势，切线斜率为正，且处越陡，则斜率越大，则.在处图像单调递减趋势，斜率为负，则. 综上所得. 故选：A. 4．（2025·高二·广东中山·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 【答案】D 【解析】将切线方程整理为 ，其斜率为，因此. 切点在切线上，将代入切线方程： 所以 故选：D. 5．（2025·高二·云南昆明·期中）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数在处可导，且， 得. 故选：B 6．（2025·高二·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为. 故选：D 7．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面15km处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.约14min后，探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以. 因为探测器的速度逐渐减小，所以. 故选：D. 8．（2025·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【解析】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 9．（多选题）（2025·高二·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】AB 【解析】列表解析，直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿化好于乙地． B √ 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率． C × 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率． D × 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同． 故选：AB 10．（多选题）（2025·高二·全国·单元测试）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】BD 【解析】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 11．（多选题）（2025·高二·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确； 故选：ABD. 12．（2025·高二·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【解析】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 13．（2025·高二·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 【答案】 【解析】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为： 14．（2025·高二·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 【答案】4 【解析】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 15．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 16．（2025·高二·安徽阜阳·月考）已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 【解析】（1）， 则， 则当时，，故； （2）， 17．已知，求的值． 【解析】因为， 又 ， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念及其意义 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平均变化率问题 4 知识点二：导数的概念 5 知识点三：求导数的方法： 5 知识点四、曲线的切线 5 知识点五、导数的概念 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：平均变化率问题 7 题型二：瞬时速度问题 7 题型三：在某点处的导数 8 题型四：切线方程问题 9 题型五：切点坐标问题 10 题型六：导数的几何意义 11 题型七：过某点的切线问题 12 题型八：利用定义求导函数 12 题型九：导数定义的极限形式 13 05 强化训练 14 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 知识点三：求导数的方法： 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：； ②求平均变化率：； ③求极限，得导数：． 知识点四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 知识点五、导数的概念 导函数定义： 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 知识点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值． 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 题型一：平均变化率问题 【例题1】（2025·高二·江苏·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·高二·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025·高二·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 题型二：瞬时速度问题 【例题3】（2025·高二·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题4】（2025·高二·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式3】物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【变式4】（2025·高二·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 题型三：在某点处的导数 【例题5】求函数在处的导数． 【例题6】求函数y＝在x0(x0>－1)处的导数． 【变式5】已知函数，其中， (1)求曲线在，，，处的切线的斜率； (2)说明这些斜率值是如何变化的． 【变式6】根据所给函数的图象，估计． 【变式7】如图，求，并估计． 题型四：切线方程问题 【例题7】求函数在处切线的斜率． 【例题8】求曲线在点处切线的斜率． 【变式8】过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【变式9】若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 题型五：切点坐标问题 【例题9】已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 【例题10】如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【变式10】已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【变式11】（2025·高二·陕西渭南·月考）已知曲线上一点，过点作直线． （1）求与曲线相切且以为切点的直线的方程； （2）求与曲线相切且切点异于点的直线的方程． 题型六：导数的几何意义 【例题11】（2025·高二·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【例题12】（2025·高二·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【变式12】（2025·高二·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13】已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：过某点的切线问题 【例题13】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【例题14】曲线过点的切线方程为 . 【变式14】已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【变式15】过点作曲线的切线方程为 ． 题型八：利用定义求导函数 【例题15】用导数的定义求函数的导数． 【例题16】求常数函数的导数． 【变式16】用定义求函数的导数． 【变式17】已知函数，其中. (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求的值． 题型九：导数定义的极限形式 【例题17】（2025·高二·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 ． 【例题18】（2025·高二·上海·月考）已知函数，则 . 【变式18】（2025·高二·福建莆田·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【变式19】（2025·高二·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ． 1．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·云南昆明·期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·高二·北京顺义·期中）函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·广东中山·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 5．（2025·高二·云南昆明·期中）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 7．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面15km处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.约14min后，探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 8．（2025·四川内江·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 9．（多选题）（2025·高二·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 10．（多选题）（2025·高二·全国·单元测试）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 11．（多选题）（2025·高二·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 13．（2025·高二·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 14．（2025·高二·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 15．过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 16．（2025·高二·安徽阜阳·月考）已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 17．已知，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $