第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 6．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足，则 . 13．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 14．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 16．（15分） 已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 17．（15分） 已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线在原点处的切线方程； (3)求的单调区间. 18．（17分） 已知函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)讨论的单调性； (3)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 19．（17分） 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，，. 故选：B. 2．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 3．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即， 即，则. 故选：A. 4．已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 故，解得. 故选：A. 5．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【解析】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 6．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 7．已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 8．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 因为函数在上单调递增， 所以有在上恒成立， 因为，所以，所以， 由， 因为，所以， 所以当时，， 于是有 ，解得，或， 而，所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 10．如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 【答案】ABC 【解析】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，， 则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ，因为2是的极大值点，所以， 解得或，若，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极小值点，不符合题意； 故，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极大值点，符合题意； 所以，，所以，故C正确； 对于D项，若在定义域R上是单调函数， 则恒成立， 所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 13．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 【答案】0.047 【解析】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 14．已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【解析】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 16．（15分） 已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 【解析】（1）由点在的图象上，得， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1， 得，解得， 所以的值为. 17．（15分） 已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线在原点处的切线方程； (3)求的单调区间. 【解析】（1）是奇函数. 理由如下： 的定义域为. ，所以是奇函数. （2）. . 故曲线在原点处的切线方程为. （3）当时，令，解得. 令，解得. 当时，令，解得，且. 令，解得，且. 故在，且上单调递减，在，且上单调递增. 18．（17分） 已知函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)讨论的单调性； (3)若对任意两个不相等的正实数恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即. （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （3）设，由得， 即.设，则在上单调递增， ∴在上恒成立， 则在上恒成立，设，， 函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，即，所以实数的取值范围为. 19．（17分） 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【解析】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 答案第10页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $