2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 课件 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与性质，从复习特殊形式二次函数的开口方向、顶点等性质切入，通过平移问题引导学生猜测一般式与顶点式的联系，再以配方转化为核心构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生逐步掌握一般式的转化方法与性质。 其亮点在于以问题链驱动探究，如桥梁钢缆实例培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观，通过配方推导顶点坐标公式发展推理能力与运算能力，中考考点强化符号意识与模型应用。学生能深化知识理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 第二章 二次函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况: (1) y = ax2 (2) y = ax2+c (3) y = a(x -h)2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O y = 2x2 - 2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3. 把 y = 2x2 的图象 向下平移 个单位 向左平移3个单位 y = 2(x + 3)2 4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？ 探究新知 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 探究新知 例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解： y = 2x2－8x+7 = 2(x2－4x)+7 = 2(x2－4x+4)－8+7 = 2(x－2)2－1 ∴ 对称轴是x=2，顶点坐标为(2，－1) 提取二次项系数 配方 顶点式 做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2－6x＋7； （2）y=2x2－12x＋8； = 3(x2－2x)+7 = 3(x2－2x+1)－3+7 = 3(x－1)2＋4 对称轴是x=1，顶点坐标为(1，4) = 2(x2－6x)+8 = 2(x2－6x+9)－18+8 = 2(x－3)2－10 对称轴是x=3， 顶点坐标为(3，－10) 例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. y = ax2+bx+c 解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得 ∴对称轴是 ，顶点坐标为 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 做一做 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 表示. （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少? （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少? y/m x/m 桥面 -5 O 5 10 解: 顶点坐标 顶点坐标 ∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m 两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m y/m x/m 桥面 -5 O 5 10 2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. (3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1? (1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 　 ，顶点坐标为　 　 ； (2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小； 向下 直线 x＝4 (4，﹣1) ＞4 解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. 随堂练习 3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系． (1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4， (2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 随堂练习 方法二： ∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1， ∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称. ∴ ，化简，得 2m＋n＝2. 要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有 ，即 x1 + x2 = 2h. 随堂练习 返回 1. 把y＝x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝(x－2)2＋5 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2＋5 B 中考考法 14 2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________， 顶点坐标是________________.　　　 中考考法 返回 3. x＝－3 抛物线y＝x2＋6x－8的对称轴为直线________，顶点坐标为_______________. (－3，－17) 中考考法 (8分)[教材P41“随堂练习”变式]写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y＝1－6x－x2； (2)y＝2(x＋1)(x－3)． 返回 4. 解：y＝1－6x－x2＝－(x＋3)2＋10，故抛物线的开口向下， 对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为(－3，10)． y＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，故抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－8)． 中考考法 返回 5. B 二次函数y＝x2＋2x＋1的图象大致是(　　) 中考考法 返回 6. A 已知二次函数y＝－2x2＋4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 中考考法 返回 7. D 关于二次函数y＝3x2＋6x－4，下列说法正确的是(　　) A．图象的对称轴在y轴右侧 B．图象与y轴的交点坐标为(0，4) C．函数有最小值－4 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 中考考法 返回 8. D 若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4 中考考法 课堂小结 谈一谈你的收获！ 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线. 顶点坐标公式 对称轴是 ，顶点坐标为 x＝－ $