第6章三角考点分类复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

该高中数学讲义以三角高频考点为核心构建知识体系，通过“考点分类+例题变式”框架梳理从任意角度量、三角函数定义到解三角形的完整脉络，清晰呈现各考点的重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于精选名校期末真题设计练习，如结合折扇情境的扇形面积计算培养应用意识，通过三角变换综合题提升运算能力，分层变式训练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角高频考点分类复习 考点01：任意角及其度量 考点02：弧长和扇形面积 考点03：任意角的三角定义与同角三角函数的基本关系 考点04：诱导公式 考点05：已知正弦、余弦或正切值求角 考点06：常用三角公式 考点07：三角变换的应用 考点08：正弦定理与余弦定理 考点09：解三角形 考点01：任意角及其度量 【例1】（24-25进才中学高一上期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，2025°的角属于第_____________象限. 【变式训练】 1. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）下列说法正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等 B. 钝角一定是第二象限角 C. 第一象限角一定不是负角 D. 小于的角都是锐角 2. （2024-25控江中学高一上期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 3. （24-25宜川中学高一上期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（ ） A. B. C. D. 考点02：弧长和扇形面积 【例2】（24-25宜川中学高一上期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______. 2. 已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______． 3. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知扇形弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 4. （24-25建平中学高一上期末）扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为_________． 5．（24-25上海徐汇高一上期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    考点03：任意角的三角定义与同角三角函数的基本关系 【例3】（23-24宝山区高一上期末）已知，，则角的终边在第 象限. 【例4】（2024-25控江中学高一上期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和值 （2）若，，分别求和的值． 【变式训练】 1. 若为第四象限角，且 则的值是________. 2. （24-25进才中学高一上期末）已知角的终边上一点，且，则_____________. 3. （24-25建平中学高一上期末）若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. （2024-25上海实验学校高一期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且终边经过点，则_______. 5. （2024-25上海实验学校高一期末）若，是第二象限角，则______． 6. （2024-25上海实验学校高一期末）已知θ为第二象限角，若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7．若．则 ． 8．已知，则 . 9. （2024-25格致中学高一上期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 10. （24-25建平中学高一上期末）已知角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 考点04：诱导公式 【例5】（24-25宜川中学高一上期末）化简：__________. 【变式训练】 1. （24-25建平中学高一上期末）已知，则__________． 2. （2024-25控江中学高一上期末）已知，，则________． 3. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知角α的终边经过点，则=______． 4. （24-25进才中学高一上期末）（1）已知，化简并求值； 考点05：已知正弦、余弦或正切值求角 【例6】已知，当求满足条件的角的集合. 【变式训练】 1.（2024-25控江中学高一上期末） 已知，，则满足要求的有________个． 2. （2024-25上海大学附中高一期末）方程 在 上的解为_____. 3. （24-25建平中学高一上期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为__________． 考点06：常用三角公式 【例7】（24-25宜川中学高一上期末）已知角，均为锐角，且，满足，的值为______． 【变式训练】 1.（2024-25晋元高级中学高一上期末）已知，且有，则___________. 2.（2024-25晋元高级中学高一上期末）若，则（ ） A. B. C. D. 3. （24-25宜川中学高一上期末）用和表示__________. 4．已知是锐角，且，则 ． 5．已知，，，，则 ． 6. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知，有下列两个结论； ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 7. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 8. （24-25宜川中学高一上期末）已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 9. （2024-25晋元高级中学高一上期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 10. （24-25进才中学高一上期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形分别在边上）边长为多少？在求得正方形的边长后，可进一步求得的正切值为___________. 考点08：正弦定理与余弦定理 【例8】（2023·上海普陀·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例9】在中，如果，则该三角形的形状为____________； 【变式训练】 1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝______ 2.根据下面的条件解，则解唯一的是（ ） A.，， B.，， C.，， D.，， 3.在△ABC中，a︰b︰c＝1︰1︰，则cos C的值为( ) A． B．－ C． D．－ 4．（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 5.在锐角中，b＝1，c＝2，则的取值范围是( ) A．1<a<3 B．1<a< C．<a< D．不确定 6.已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. 考点09：解三角形 【例10】（2023·上海奉贤·统考一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【变式训练】 1．（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 2. （24-25宜川中学高一上期末）在中，已知， （1）若，求该三角形的外接圆半径； （2）当时，求该三角形面积的最大值. 3．（2023上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在中，角所对应的边分别为，且，，．求： (1)a的值； (2)和的面积． 1. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知，则是第_______象限角 2. （2024-25洋泾中学高一期末）设扇形的圆心角为3弧度，弧长为12，则此扇形的面积为_________． 3. （2024-25格致中学高一上期末）弧长为，半径为的扇形的面积为________． 4. （2024-25控江中学高一上期末）已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为________． 5. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径_______． 6. （2024-25洋泾中学高一期末）已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则_________． 7. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知是角终边上一点，且，则_______ 8. （2024-25上海大学附中高一期末）若角的终边过点，则_________． 9. （2024-25控江中学高一上期末）已知，则使得无意义的的值为________． 11. （2024-25洋泾中学高一期末）若，则的值是________． 12．若，则= 13.若，，则____________. 14. 已知，化简：=________ 15．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 16.（2024-25洋泾中学高一期末） 已知是第四象限的角，则点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 17. （2024-25上海大学附中高一期末）已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 18．（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 19. 若=（ ） A. B. C. D. 20. 若是△的一个内角，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 21. （24-25华东师大附中高一上期末）已知. （1）求sin θcos θ的值； （2）求sin3θ＋cos3θ的值． 22. （224-25奉贤区高一上期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． （1）若点坐标为，求的值； （2）化简并求值． 23（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 24．（2024·上海崇明·一模）在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 25．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角高频考点分类复习 考点01：任意角及其度量 考点02：弧长和扇形面积 考点03：任意角的三角定义与同角三角函数的基本关系 考点04：诱导公式 考点05：已知正弦、余弦或正切值求角 考点06：常用三角公式 考点07：三角变换的应用 考点08：正弦定理与余弦定理 考点09：解三角形 考点01：任意角及其度量 【例1】（24-25进才中学高一上期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，2025°的角属于第_____________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据终边相同角的概念求解判断. 【详解】， 与终边相同，是第三象限角. 故答案为：三. 【变式训练】 1. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）下列说法正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等 B. 钝角一定是第二象限角 C. 第一象限角一定不是负角 D. 小于的角都是锐角 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解． 【详解】终边相同的角不一定相等，所以选项A错误； 钝角一定是第二象限角，所以选项B正确； 第一象限角可能是负角，如是第一象限的角，且是负角，所以选项C错误； 小于的角不都是锐角，如，所以选项D错误． 故选：B 2. （2024-25控江中学高一上期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有，即可判断可能值. 【详解】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 3. （24-25宜川中学高一上期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得集合中的元素为区间上等间隔地取个点，集合中的元素为函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值，由中的元素个数为个，即可逐个选项判断即可. 【详解】由题意得，集合中的元素为，，，，，， 即在区间上等间隔地取个点， 集合中的元素为，， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值. 因为中的元素个数为个， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值有个， 所以，所以的最小值为， 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除A； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故不可能为，故选B； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除C； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除D. 故选：B 考点02：弧长和扇形面积 【例2】（24-25宜川中学高一上期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________. 【答案】6或 【解析】 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或； 当，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______. 【答案】36 【解析】 【分析】利用圆心角与弧长以及半径之间的关系可求得面积. 【详解】根据题意设扇形的半径为， 由圆心角为2，弧长为12cm，可得半径cm， 因此可得扇形的面积为. 故答案为：36 2. 已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解即得. 【详解】令扇形所在圆的半径为，依题意，，所以. 故答案为：3 3. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知扇形弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 4. （24-25建平中学高一上期末）扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角为1，半径为1， 所以该扇形的面积， 故答案为： 5．（24-25上海徐汇高一上期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可. 【解析】设线段的中点为，则.    故答案为： 考点03：任意角的三角定义与同角三角函数的基本关系 【例3】（23-24宝山区高一上期末）已知，，则角的终边在第 象限. 【答案】三 【分析】 根据，，得到角的终边在第三象限. 【解析】，， 故角的终边在第三象限. 故答案为：三 【例4】（2024-25控江中学高一上期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和值 （2）若，，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. 【小问2详解】 由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 【变式训练】 1. 若为第四象限角，且 则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得. 【详解】由为第四象限角，，得， 所以. 故答案为： 2. （24-25进才中学高一上期末）已知角的终边上一点，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 3. （24-25建平中学高一上期末）若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案. 【详解】由，可得为第三、第四象限角及轴非正半轴上的角； 由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角． 取交集可得，是第四象限角． 故选：D． 4. （2024-25上海实验学校高一期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且终边经过点，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边上的点及三角函数的定义求即可. 【详解】由题设及正切函数的定义知：. 故答案为： 5. （2024-25上海实验学校高一期末）若，是第二象限角，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，是第二象限角， 所以. 故答案为： 6. （2024-25上海实验学校高一期末）已知θ为第二象限角，若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断. 【详解】解：因为θ为第二象限角， 所以， 则， 当时，，当时，， 因为， 所以，所以在第三象限， 故选:C 7．若．则 ． 【答案】8 【分析】对等式两边同时平方，由同角的平方关系可得，结合同角的三角函数关系化简计算即可求解. 【解析】由，得， 解得， 所以. 故答案为：8 8．已知，则 . 【答案】3 【分析】对已知等式化简得，然后代入中求解即可. 【解析】由，得， 所以， 所以， 故答案为：3 9. （2024-25格致中学高一上期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】. 【解析】 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： ， 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， . 10. （24-25建平中学高一上期末）已知角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的终边过点求出角的三个三角函数值，代入求解即可； （2）由两角差的余弦公式和两角和的正切公式求解即可. 【小问1详解】 因为角的终边过点，所以到原点的距离， 则，，， 所以； 【小问2详解】 . 考点04：诱导公式 【例5】（24-25宜川中学高一上期末）化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得结论. 【详解】由诱导公式可得，， ，， ，， 所以. 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25建平中学高一上期末）已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式得. 故答案为： 2. （2024-25控江中学高一上期末）已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的关系得，即可解出. 【详解】由，则， 又，则， 所以. 故答案为： 3. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知角α的终边经过点，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【详解】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 4. （24-25进才中学高一上期末）（1）已知，化简并求值； 【答案】 【分析】借助诱导公式与同角三角函数基本关系将切化弦后计算即可得； 【详解】； 考点05：已知正弦、余弦或正切值求角 【例6】已知，当求满足条件的角的集合. 【答案】或 【分析】借助辅助角公式化简后计算即可得 【详解】，则， 令，则， 若，则或. 【变式训练】 1.（2024-25控江中学高一上期末） 已知，，则满足要求的有________个． 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式及余弦函数的周期确定区间内满足要求的个数. 【详解】由， 对于在上各有一个解，且最小正周期为， 由，故在区间上共有个. 故答案为： 2. （2024-25上海大学附中高一期末）方程 在 上的解为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，结合范围求解可得答案. 【详解】因为，所以， 所以,即， 因为，所以. 故答案为： 3. （24-25建平中学高一上期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，时显然不成立，时，，根据可求得的取值范围. 【详解】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得； 所以. 故答案为： 考点06：常用三角公式 【例7】（24-25宜川中学高一上期末）已知角，均为锐角，且，满足，的值为______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，对角进行配凑变换，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求值即得. 【详解】由， 得， 则， 由角，均为锐角，且，得，则，于是， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将角分别变形为. 【变式训练】 1.（2024-25晋元高级中学高一上期末）已知，且有，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 因此由， 而，把代入得： ，而， 因此. 故答案为： 2.（2024-25晋元高级中学高一上期末）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合同角三角函数的商数关系及二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 解得， 故选：C. 3. （24-25宜川中学高一上期末）用和表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦和余弦公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 4．已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解. 【解析】， 由题意，是锐角，则，则，解得. 故答案为： 5．已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的余弦公式求解即可. 【解析】因为，，所以， 因为，，所以， . 故答案为：. 6. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知，有下列两个结论； ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】D 【解析】 【分析】换元、结合导数证明单调性和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以 令，，则，整理得，且方程有解 有 作函数图像 则由图像可知存在，有 所以当时，恒成立，则，, 因此一正一负 说明当在第二象限时，在四个象限均可， 当时，成立 此时， 因此皆为负 说明当在第一象限时，在只能在第二象限或第四象限 综上所述：①错②对 故选：D. 7. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 或 . 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果; （2）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. 【小问1详解】 由角的终边过点得， 所以. 【小问2详解】 由角的终边过点得， 由得. 当时， ； 当时， ， 所以或. 8. （24-25宜川中学高一上期末）已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，.，， ，∴， ，. 9. （2024-25晋元高级中学高一上期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 10. （24-25进才中学高一上期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形分别在边上）边长为多少？在求得正方形的边长后，可进一步求得的正切值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形相似求出正方形边长，再利用及两角差的正切公式，即可求解. 【详解】设正方形的边长为，则， 由，可得，即，解得， 因为， 所以. 故答案为：. 考点08：正弦定理与余弦定理 【例8】（2023·上海普陀·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 【例9】在中，如果，则该三角形的形状为____________； 【答案】等腰三角形 【解析】由余弦定理，得cos A＝， ∴. 同理. ∵， ∴. ∴a－b＋c＝b－a＋c， ∴a＝b，即为等腰三角形． 【变式训练】 1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝______ 【解析】设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， 则a＝3，c＝，∠C＝120°， 由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1. 2.根据下面的条件解，则解唯一的是（ ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】D 【解析】A：由 可得或，因此，三角形有两解； B：三角形中，大边对大角，由得， 又为钝角，所以也为钝角，显然不成立，解的个数为0个； C：由不成立，所以三角形解的个数为0个； D由，所以， 因此三角形只有一个. 3.在△ABC中，a︰b︰c＝1︰1︰，则cos C的值为( ) A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【解析】设a＝b＝k，c＝k(k>0)， ∴cos C＝＝＝－，故选D． 4．（2023上·上海松江·高三统考期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得. 【详解】由正弦定理得，即， ， 由于，所以为锐角，, 所以， 由正弦定理得， 则. 故答案为： 5.在锐角中，b＝1，c＝2，则的取值范围是( ) A．1<a<3 B．1<a< C．<a< D．不确定 【答案】C 【解析】由三角形的性质，知c－b<a，得a>1. 又由cos A＝＝>0，得0<a<. 由cos B＝＝>0，得a∈R. 由cos C＝＝>0，得a>. 综上，知<a<． 6.已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. 【答案】B＝105°，b＝5(＋)，c＝10. 【解析】∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝＝10. b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)． ∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10. 考点09：解三角形 【例10】（2023·上海奉贤·统考一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再试用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 【变式训练】 1．（2023·上海青浦·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可得的大小； （2）边角互化，可得，结合三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，可得， 所以， 又，所以. （2）由（1）得，所以， 则由正弦定理可得， 即，， 所以的周长， 又在中，， 则， 又在中，，所以， 所以当时，周长取最大值为. 2. （24-25宜川中学高一上期末）在中，已知， （1）若，求该三角形的外接圆半径； （2）当时，求该三角形面积的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式对式子进行化简可解得角，再利用正弦定理即可求解的外接圆半径； （2）由结合正弦定理及三角形内角和定理，可得和，代入三角形面积公式，根据二倍角公式、辅助角公式及正弦函数的性质即可求解三角形面积的取值范围. 【小问1详解】 ，， 即，. ，，或，解得或. 或2，该三角形的外接圆半径或1. 【小问2详解】 ，，，. ， ，， . ，，， 即该三角形面积的最大值为. 3．（2023上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在中，角所对应的边分别为，且，，．求： (1)a的值； (2)和的面积． 【答案】(1) (2)故，的面积为 【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可； （2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以，由余弦定理得：，解得． 故. （2）由，则， 由正弦定理得， 又，得， ． 故，的面积为. 1. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知，则是第_______象限角 【答案】三 【解析】 【分析】找到与终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，故是第三象限角. 故答案为：三 2. （2024-25洋泾中学高一期末）设扇形的圆心角为3弧度，弧长为12，则此扇形的面积为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据弧长公式、扇形面积公式可求出结果. 【详解】记圆心角为，弧长为，扇形所在圆的半径为， 由题意可得，，，所以， 因此扇形的面积为. 故答案为：24. 3. （2024-25格致中学高一上期末）弧长为，半径为的扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为弧长为，半径为， 所以扇形的面积. 故答案为：. 4. （2024-25控江中学高一上期末）已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式列方程求半径. 【详解】令扇形的半径为，则，可得. 故答案为：6. 5. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径_______． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的弧长为，半径为，结合扇形面积公式及周长公式列方程求即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 因为扇形面积是，它的周长是， 所以，所以， 所以扇形半径为. 故答案为：. 6. （2024-25洋泾中学高一期末）已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解 【详解】因为角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点， 所以， 故答案为： 7. （2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知是角终边上一点，且，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 8. （2024-25上海大学附中高一期末）若角的终边过点，则_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式即可求得. 【详解】依题意，， 则. 故答案为：. 9. （2024-25控江中学高一上期末）已知，则使得无意义的的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据的定义域可得结果. 【详解】当时，使得无意义的的值为. 故答案为：. 10. ，则的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 11. （2024-25洋泾中学高一期末）若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【详解】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 12．若，则= 【答案】 ，而. 13.若，，则____________. 【答案】 14. 已知，化简：=________ 【答案】 15．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 16.（2024-25洋泾中学高一期末） 已知是第四象限的角，则点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案． 【详解】根据题意， 是第四象限角，则， 则点在第二象限, 故选：． 17. （2024-25上海大学附中高一期末）已知，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而解集的包含关系得两者的条件关系. 【详解】由题意，， 由，即，则或， 由，则，而为的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 18．（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 19. 若=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 20. 若是△的一个内角，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 21. （24-25华东师大附中高一上期末）已知. （1）求sin θcos θ的值； （2）求sin3θ＋cos3θ的值． 【答案】（1）－. （2） 【解析】 【分析】（1）将等式两边平方，结合即可求解； （2）利用立方和公式，将已知代入即可. 【小问1详解】 由已知，两边平方得. 因为，所以. 【小问2详解】 由立方和公式. 22. （224-25奉贤区高一上期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． （1）若点坐标为，求的值； （2）化简并求值． 【答案】（1）2； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的定义求出. （2）由（1）求出，再利用诱导公式、同角公式化简并求值. 【小问1详解】 依题意，，，，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 23（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 24．（2024·上海崇明·一模）在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合角的关系，利用二倍角的正切公式列式求解即可. （2）先利用正弦定理求得AC，再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以 即，解得. （2）在中，，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得 . 25．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $