第4章幂函数、指数函数与对数函数高频考点分类复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义以高频考点为纲构建幂函数、指数函数与对数函数的知识体系，通过框架图呈现三类函数定义、图像、性质的内在联系，用对比表格归纳定义域、值域、单调性等重难点，清晰梳理知识脉络。 讲义亮点在于结合24-25年上海各区期末真题，分层设计例题与变式训练，如幂函数定义的定义域求解、指数函数图像定点问题等题型，通过图像变换综合题培养数学思维的推理能力，借助性质应用解答题提升数学语言表达能力，既支持学生自主巩固基础，又助力教师精准把握高频考点实施分层教学。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第4章幂函数、指数函数与对数函数高频考点分类复习 考点01：幂函数的定义 考点02：幂函数的图象和性质 考点03：指数函数的定义 考点04：指数函数的图像与性质 考点05：对数函数的定义 考点06：对数函数的图像与性质 考点07：幂指对函数图像变换 考点08：幂指对函数性质的综合应用 考点01：幂函数的定义 【例1】（24-25浦东新区高一上期末）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 【例2】（24-25徐汇高一上期末）已知幂函数的图像经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得. 【详解】依题意，设，由，得，解得，即， 所以. 故答案为： 【变式训练】 1.（24-25嘉定高一上期末） 函数的定义域是______. 【答案】. 【解析】 【分析】化分数指数幂为根式，再由分母不为0即可求得定义域. 【详解】因为函数，所以其定义域为. 故答案为：. 2. （24-25金山高一上期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 3.(24-25秋高一上海阶段练习）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______; 【答案】或1 【分析】根据幂函数的定义可得，解方程即可. 【详解】解：因为函数为幂函数，则， 即，解得或. 故答案为：或1. 考点02：幂函数的图象和性质 【例3】（24-25上海大学附中高一期末）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 【例4】（23-24建平中学高一上期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解. 【详解】由题意可得：，解得或， 若，则在上是严格减函数，不合题意； 若，则在上是严格增函数，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25长宁区高一上期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 2．（2021秋•宝山区校级期末）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝　　． 【分析】先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值． 【解答】解：BM＝MN＝NA，点A（1，0），B（0，1），所以M N，分别代入y＝xα，y＝xβ 故答案为：1 【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题． 3. （24-25闵行区高一上期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 【答案】四 【解析】 【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限， 若，则，此时幂函数经过第三象限， 当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限， 故图象一定不经过第四象限. 故答案为：四 4. （24-25建平中学高一上期末）幂函数的单调增区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数的定义域为，且，所以为偶函数， 又在单调递增，所以在单调递减， 所以幂函数的单调增区间为. 故答案为：. 5.（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 6.（23-24上海浦东新高一上期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为： 7. （24-25长宁高一期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】因为是偶函数，则，则， 又在区间上的最大值为，且当时，， 所以，解得， 故答案为：. 8. （24-25格致中学高一上期末）已知，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 考点03：指数函数的定义 【例5】（2021秋•黄浦区校级期中）函数y＝（2a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是 　　． 【分析】由题意利用指数函数的定义和性质，求得a的范围． 【解答】解：∵函数y＝（2a﹣1）x指数函数，∴2a﹣1＞0，且2a﹣1≠1， 求得a＞，且a≠1， 则实数a的取值范围（，1）∪（1，+∞）， 故答案为：（，1）∪（1，+∞）． 【点评】本题主要考查指数函数的定义和性质，属于基础题． 【变式训练】 1.(24-25秋高一上海阶段练习）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【解析】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 2. （24-25闵行区高一上期末）已知，则函数的值域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数性质得结论． 【详解】，值域是． 故答案为：． 3. （24-25上海实验学校高一期末）若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 4. （24-25格致中学高一上期末）已知函数（，且）的图象过点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数函数经过的点即可求解. 【详解】将代入得， 故答案为：2 考点04：指数函数的图像与性质 【例6】（24-25长宁高一期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数在区间上的图象特征，再结合方程有两个不同解，即直线与函数在区间上的图象有两个不同交点，进而确定实数的取值范围. 【详解】先分析函数在区间上的图象，已知， 方程在区间上有两个不同的解，意味着直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 由上述分析可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练】 1.（24-25向明中学高一上期末） 函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图象过定点可得答案. 详解】，故函数恒过定点. 故选：D. 2. （24-25奉贤区高一上期末）函数且的图象恒过定点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到时，，故图象恒过定点. 【详解】令，解得，此时，故图象恒过定点. 故答案为： 3. （24-25长宁高一期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像（红线），同时向下平移一个单位得到（黑线） 结合图象可知：， 故答案为： 4．（2024秋•金山区期末）若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是 　　． 【分析】根据指数函数的单调性，利用底数m﹣3满足的条件求解． 【解答】解：因为指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数， 所以0＜m﹣3＜1，解得3＜m＜4． 所以实数m的取值范围是（3，4）． 故答案为：（3，4）． 【点评】本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题． 考点05：对数函数的定义 【例7】（24-25洋泾中学高一期末）函数的定义域为________． 【答案】[2，+∞） 【解析】 【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 【例8】（2020秋•闵行区期末）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），若函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则＝　　． 【分析】根据题意得到loga4＝2，然后求出a，再求出的值． 【解答】解：∵f（x）＝logax的图象经过点（4，2）， ∴loga4＝2，∴a2＝4，且a＞0，∴a＝2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 【变式训练】 1. （24-25上海大学附中高一期末）函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和定义域，再求交集. 【详解】由题意 ， ； 故答案为： . 2. （24-25金山高一上期末）函数的定义域为__． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的性质知，即可求出函数的定义域． 【详解】由有意义，则，即，故定义域为. 故答案为： 3．（2021秋•长宁区期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（　　） A．和y＝lgx B．和 C．和y＝lgx D．和 【分析】分别求出四个选项中两函数的定义域得答案． 【解答】解：A中，的定义域为[0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域不同； B中，的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同； C中，的定义域为（0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域相同； D中，的定义域为[0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同． 故选：C． 4．（2020秋•金山区期末）已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为 　　． 【分析】由0＜a＜1可得f（x）为减函数，求得最值代入条件可得解． 【解答】解：∵0＜a＜1时，∴函数f（x）为减函数， 则loga2﹣loga4＝1，即loga＝2，解得， 所以实数a的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题． 考点06：对数函数的图像与性质 【例9】（24-25复旦附中高一期末）函数且的图像必过的定点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则， 所以定点坐标为. 故答案为：. 【例10】（24-25洋泾中学高一期末）已知函数． （1）讨论函数的定义域； （2）当时，解关于的不等式：． 【答案】（1）当时；当时，． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，下面分类讨论：当时，；当时，即可求得的定义域； （2）根据函数的单调性解答即可； 【小问1详解】 由，得， 当时，； 当时，； 所以的定义域是当时；当时，． 【小问2详解】 当时，任取，且， 则，所以． 因为，所以，即． 故当时，在上是增函数． ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，即不等式的解为. 【变式训练】 1．（2020秋•金山区期末）对于任意不等于1的正数a，函数f（x）＝loga（2x+3）+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是 　　． 【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标． 【解答】解：令2x+3＝1，得x＝﹣1，y＝4，故函数y＝4+loga（2x+3）的图象必经过定点P的坐标（﹣1，4）， 故答案为：（﹣1，4）． 【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 2．（2021秋•浦东新区校级月考）函数f（x）＝logax+2（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为 　　． 【分析】令真数等于1，求得x、f（x）的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【解答】解：函数f（x）＝logax+2（a＞0且a≠1），令x＝1，得f（1）＝2， 可得它的图象恒过定点（1，2） 故答案为：（1，2）． 【点评】本题主要考查函数图象经过定点问题，属于基础题． 3. （24-25松江区高一上期末）已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求解. 【详解】依题意，当时，恒有， 因此函数 图象过定点. 故答案为： 4. （24-25建平中学高一上期末）已知函数，其中． （1）若，求方程的解集； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出的值，利用对数的运算法则和对数函数的单调性求解即可； （2）由得，利用对数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ，因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以方程的解集为； 【小问2详解】 因为，即， 因为，所以函数在单调递减，所以， 则不等式，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 5. （24-25长宁高一期末）已知． （1）当时，求函数的定义域； （2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； （3）设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由对数及分式的性质求函数定义域； （2）将问题化为有唯一解，且，利用二次函数的性质求参数范围，注意保证且即可； （3）根据解析式判断函数的区间单调性，进而化为在上恒成立，整理并应用换元法、对勾函数性质求右侧的最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设，则且，即， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而， 所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足， 所以； 【小问3详解】 当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，， 若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，把问题化为在上恒成立为关键. 考点07：幂指对函数图像变换 【例11】（24-25上海实验学校高一期末）函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数的性质可知，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：，则，故值域为. 故选：C. 【例12】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 当时，是增函数，当时，的减函数， 且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A． 【例13】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 【变式训练】 1. （24-25长宁高一期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 2.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  【答案】(0,2) 【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示. ∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 3.（24-25高一上上海实验学校期末）直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】时，作出函数的图象，如图，此时在时，，而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，，因此与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，． 故答案为：． 4. （24-25虹口高一上期末）设 （1）作出函数的大致图象，并指出它的单调区间； （2）当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数. 【答案】（1）图象见解析，函数的递减区间为，递增区间是，. （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）借助图象变换作出的大致图像，再利用图象写出函数的单调区间. （2）把方程的解转化为直线与函数图像的交点即可作答. 【小问1详解】 观察函数的图象得：函数的递减区间为，递增区间是，. 【小问2详解】 依题意，关于x的方程的解就是直线与函数的图像交点的横坐标，如图， 当时，直线与函数的图像无公共点，即方程的解的个数为0， 当或时，直线与函数的图像有2个公共点，即方程的解的个数为2， 当时，直线与函数的图像有3个公共点，即方程的解的个数为3， 综上得：当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为2， 当时，方程的解的个数为3. 考点08：幂指对函数性质的综合应用 【例14】已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 (3)证明见解析， 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、简单的指数方程、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由可得，再借助指数运算解方程即可得； （2）分该函数为奇函数、偶函数与非奇非偶函数讨论并计算即可得； （3）借助严格增函数的定义即可证明，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得不等式的解. 【详解】（1）由题意， ，， 令，即有， 可得或， 或； （2）函数定义域， ①当为奇函数时，有， ， ，； ②当为偶函数时，， ， ， ； ③当时，函数为非奇非偶函数； 综上所述，当时，为奇函数； 当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （3）当时，，任取，，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是严格增函数， 由（2）知，当时，为偶函数， 则由，可得， 即，即， 解得. 【例15】已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数函数的解析式、根据零点所在的区间求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ， ， ， ，定义域为， 要解不等式，则， ． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得． 令，由，则， 在有解． 又在上严格增函数， ，即， 又，则. 【变式训练】 1. （24-25洋泾中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数单调增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可直接求出a值，再检验即可； （2）利用函数单调性的定义及指数运算的性质验证即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 当时，，定义域R上恒满足， 故满足题意，所以. 【小问2详解】 根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； 小问3详解】 根据题意，若关于的方程只有一个实根， 令，则，则问题等价转化为方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 2. （24-25华东师大附中高一上期末）已知定义在上的函数是偶函数 （1）求的值； （2）解不等式； （3）设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义推理即可求得的值； （2）化简推理得，设，由解得或，继而可求得原不等式的解集； （3）先求出在上的最小值为3，依题意，只需使在上的函数值大于等于3，化简此不等式为，即得时，恒成立，从而将问题转化成求的最小值，利用基本不等式即得参数的范围. 【小问1详解】 依题意，由可得： 即，即， 即得，因不恒为0，故得；，解得. 【小问2详解】 由可得， 即，整理得：，设，则有， 解得或，即或， 故原不等式的解集是. 【小问3详解】 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值是，只需在时的函数值大于等于3， 因，则， 由可得， 当时，不等式恒成立； 当时，，即，即， 因，当且仅当，即时等号成立， 故，即的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 对于不等式的恒成立与有解问题。一般按照以下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，总有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则； （4）若，有，则的值域是值域的子集． 1. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值 【详解】解：由题意令，由于图象过点， 得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题． 2．（2021秋•虹口区期末）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝　　． 【分析】由已知幂函数的性质可知，α为奇数，且α＜0，结合已知集合即可求解． 【解答】解：因为α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}， 由幂函数f（x）＝xα为奇函数，在（0，+∞）上单调递减， 所以α为奇数，且α＜0， 所以α＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了幂函数的性质的应用，属于基础题． 3．（2020秋•金山区校级月考）若（m+1）＜（3﹣2m），则实数m的取值范围　　． 【分析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围． 【解答】解：考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数， ∵（m+1）＜（3﹣2m）， ∴0≤m+1＜3﹣2m， 解得：﹣1≤m＜， 则实数m的取值范围﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，构造出幂幂函数y＝是关键． 4. （24-25嘉定高一上期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由的图象过点，根据平移知识可知由此，可得的范围． 【详解】函数的图象过点，至少向下平移个单位才能使图象不过第二象限， 则，即， 所以实数取值范围为． 故答案为：． 5. （24-25上海大学附中高一期末）已知函数，图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________． 【答案】. 【解析】 【分析】 根据和两种情况讨论，令，得出不等式，即可求解. 【详解】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）； 当时，令，可得，即，即实数的取值范围， 综上可得，实数的取值范围. 故答案为：. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由题意，，即，解得或， 则函数的定义域为. 故答案为：. 6．（2022秋•闵行区校级期中）指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[0，4]上的最大值与最小值之和为17，则a＝　　． 【分析】根据已知条件，分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：当a＞1时， 由题意可得，a4+a0＝17，解得a＝2， 当0＜a＜1时， 由题意可得，a0+a4＝17，解得a＝2，不符合题意， 综上所述，a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题． 7. （24-25闵行区高一上期末）若，对任意且，函数的图像必过定点______ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，图象过定点， 故答案为：． 8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由已知结合奇函数的定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 若， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 当时，可得，显然不成立， 故的取值范围为或. 故答案为：或. 9. （24-25格致中学高一上期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 10. 下列函数中，在上既是奇函数又是严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合，以及减函数的判定，每个选项依次分析即可. 【详解】A选项，在R上不保证一直单调递减，故错误； B选项，定义域满足，故定义域不是R，故错误； C选项，，故为奇函数，对于，故为单调递减；对于，，故为单调递减；对于，，故为单调递减所以在R上为减函数；故正确； D选项，不满足奇函数的判定； 故选：C 11．（2023秋•徐汇区校级期中）函数f（x）＝ax﹣b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（　　） A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 【分析】根据函数图象的变化趋势及特殊点确定答案即可． 【解答】解：由图象从左到右下降可知， 0＜a＜1； 由图象与y轴的交点可知， 0＜a﹣b＜1， 故b＜0； 故0＜a＜1，b＜0； 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题． 12．（2025秋•宝山区校级期中）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（　　） （1）若0＜a＜b＜1，则aa＜bb； （2）若0＜a＜b＜1，则logab＜logba； （3）若a＞b＞1，则ab＜ba． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据待比较式的特征构造函数，利用函数的单调性及不等式的性质进行比较． 【解答】解：（1）设函数f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx， 所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， x∈（，+∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增． 因为0＜a＜b＜1，所以存在0＜a＜＜b＜1，使得f（a）＝f（b）， 即alna＝blnb，此时aa＝bb，故（1）错误． （2）因为0＜a＜b＜1，所以logaa＞logab，logba＞logbb， 所以logab＜1＜logba，故（2）正确， （3）举例说明：当a＝3，b＝2时， ab＝32＝9，ba＝23＝8， ab＞ba，故（3）错误， 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，对数函数，指数函数的单调性，属于中档题． 13. （24-25上海实验学校高一期末）幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式； （2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可. 小问1详解】 因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数， 则在区间上单调递减，所以，解得， 又因为，所以或2， 当或2时，不是偶函数，舍去； 当时，是偶函数，合题意，所以. 【小问2详解】 对任意实数，不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 因为在上单调递减，所以， 所以，即. 14. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 令，则，， 所以的值域为； 【小问2详解】 令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 15．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； (3)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解； （2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解； （3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】（1）由，得或． 所以的定义域为． （2）令，可知在上为增函数， 可得，且，可知的值域为， 因为，则在定义域内为减函数，可得， 所以函数在上的值域为， 又因为函数在有且只有一个零点， 即在上有且只有一个解， 所以b的范围是． （3）存在，理由如下： 假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为， 由且，可得，且． 令，可知在上为增函数， 因为，则在定义域内为减函数， 所以在上为减函数， 可得， 可知在上有两个互异实根，可得， 即有两个大于1相异实数根． 则，解得， 所以实数a的取值范围. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 16．已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或， (3). 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解， （2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解， （3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）时， 所以得， 所以函数的定义域为. （2）方程，即，即. ∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根. （1）若，化为，解得，符合题意； （2）若，此时. ①令，得，解得，符合题意； ②当，即时，方程有两个解，设为，. 则，. 当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意. 当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意. 综上，实数的取值范围为或， （3）. 当时，. 因为，，所以. 所以，所以， 所以. 所以在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，. 即：， 即：，因为，， 整理得：，令. 因为时，存在， 故只需. 因为，对称轴方程，所以在上单调递增， 所以，故，得. 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 17．已知函数，记. (1)求不等式的解集：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可； （2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）所以不等式的解集为； （2）设，， ， 令，因为函数在上单调递增，所以， 于是有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因为函数在单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，因此， 存在实数，使得成立，所以； （3）， 令，因为，所以， 于是有，当时，， 所以有， 所以，， 故， 由， 所以， 因此有，即. 【点睛】关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第4章幂函数、指数函数与对数函数高频考点分类复习 考点01：幂函数的定义 考点02：幂函数的图象和性质 考点03：指数函数的定义 考点04：指数函数的图像与性质 考点05：对数函数的定义 考点06：对数函数的图像与性质 考点07：幂指对函数图像变换 考点08：幂指对函数性质的综合应用 考点01：幂函数的定义 【例1】（24-25浦东新区高一上期末）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【例2】（24-25徐汇高一上期末）已知幂函数的图像经过点，则______. 【变式训练】 1.（24-25嘉定高一上期末） 函数的定义域是______. 2. （24-25金山高一上期末）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为__________. 3.(24-25秋高一上海阶段练习）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______; 考点02：幂函数的图象和性质 【例3】（24-25上海大学附中高一期末）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为______． 【例4】（23-24建平中学高一上期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 【变式训练】 1. （24-25长宁区高一上期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（ ） A. B. C. D. 2．（2021秋•宝山区校级期末）幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么αβ＝　　． 3. （24-25闵行区高一上期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第______象限 4. （24-25建平中学高一上期末）幂函数的单调增区间为__________． 5.（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 6.（23-24上海浦东新高一上期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数 ． 7. （24-25长宁高一期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数________． 8. （24-25格致中学高一上期末）已知，则实数的取值范围是________． 考点03：指数函数的定义 【例5】（2021秋•黄浦区校级期中）函数y＝（2a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是 　　． 【变式训练】 1.(24-25秋高一上海阶段练习）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 2. （24-25闵行区高一上期末）已知，则函数的值域为______ 3. （24-25上海实验学校高一期末）若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 4. （24-25格致中学高一上期末）已知函数（，且）的图象过点，则______. 考点04：指数函数的图像与性质 【例6】（24-25长宁高一期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为________． 【变式训练】 1.（24-25向明中学高一上期末） 函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. （24-25奉贤区高一上期末）函数且的图象恒过定点的坐标是__________． 3. （24-25长宁高一期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 4．（2024秋•金山区期末）若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是 　　． 考点05：对数函数的定义 【例7】（24-25洋泾中学高一期末）函数的定义域为________． 【例8】（2020秋•闵行区期末）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），若函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则＝　　． 【变式训练】 1. （24-25上海大学附中高一期末）函数的定义域是__________． 2. （24-25金山高一上期末）函数的定义域为__． 3．（2021秋•长宁区期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（　　） A．和y＝lgx B．和 C．和y＝lgx D．和 4．（2020秋•金山区期末）已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为 　　． 考点06：对数函数的图像与性质 【例9】（24-25复旦附中高一期末）函数且的图像必过的定点坐标为__________. 【例10】（24-25洋泾中学高一期末）已知函数． （1）讨论函数的定义域； （2）当时，解关于的不等式：． 【变式训练】 1．（2020秋•金山区期末）对于任意不等于1的正数a，函数f（x）＝loga（2x+3）+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是 　　． 2．（2021秋•浦东新区校级月考）函数f（x）＝logax+2（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为 　　． 3. （24-25松江区高一上期末）已知常数 且 ，假设无论 取何值，函数 的图象恒经过一个定点， 则此点的坐标是__________. 4. （24-25建平中学高一上期末）已知函数，其中． （1）若，求方程的解集； （2）若，求不等式的解集． 5. （24-25长宁高一期末）已知． （1）当时，求函数的定义域； （2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； （3）设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 考点07：幂指对函数图像变换 【例11】（24-25上海实验学校高一期末）函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【例12】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（        ） A． B． C． D． 【例13】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1. （24-25长宁高一期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为________． 2.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  3.（24-25高一上上海实验学校期末）直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 . 4. （24-25虹口高一上期末）设 （1）作出函数的大致图象，并指出它的单调区间； （2）当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数. 考点08：幂指对函数性质的综合应用 【例14】已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【例15】已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 【变式训练】 1. （24-25洋泾中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并用定义给出证明； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 2. （24-25华东师大附中高一上期末）已知定义在上的函数是偶函数 （1）求的值； （2）解不等式； （3）设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 1. 已知幂函数的图象过点，则______． 2．（2021秋•虹口区期末）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α＝　　． 3．（2020秋•金山区校级月考）若（m+1）＜（3﹣2m），则实数m的取值范围　　． 4. （24-25嘉定高一上期末）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 5. （24-25上海大学附中高一期末）已知函数，图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________． 6．（2022秋•闵行区校级期中）指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[0，4]上的最大值与最小值之和为17，则a＝　　． 7. （24-25闵行区高一上期末）若，对任意且，函数的图像必过定点______ 8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 9. （24-25格致中学高一上期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在上既是奇函数又是严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 11．（2023秋•徐汇区校级期中）函数f（x）＝ax﹣b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（　　） A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 12．（2025秋•宝山区校级期中）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（　　） （1）若0＜a＜b＜1，则aa＜bb； （2）若0＜a＜b＜1，则logab＜logba； （3）若a＞b＞1，则ab＜ba． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 13. （24-25上海实验学校高一期末）幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数. （1）求f（x）的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 14. 已知函数. （1）当时，求的值域. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 15．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； (3)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 16．已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 17．已知函数，记. (1)求不等式的解集：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $