第29讲 立体几何平行与垂直证明讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何平行与垂直证明专题，涵盖空间点线面位置关系、平行垂直的判定与性质、异面直线夹角向量求法等核心考点，按考向解读、知识再现、分层题型的逻辑架构梳理知识联系。通过考点梳理明确命题趋势，方法指导提炼辅助线作法等解题技巧，真题训练对接高考原题，形成系统复习链条。 讲义突出核心素养导向，以正方体等几何体为载体培养空间观念，通过定理应用训练推理能力，设计“作辅助线—证关系—算角度”三步解题流程。分层练习覆盖选择填空解答题，高考真题再现强化实战体验，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第29讲 立体几何平行与垂直证明 一 考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点 1：空间点、直线、平面之间的位置关系 2025 年天津卷：线面关系判断；2024 年全国甲卷：面面交线相关命题判断；2024 年天津卷：线面位置关系命题判断；2022 年浙江卷：线线角、线面角、二面角大小比较；2022 年上海卷：正方体中异面直线判断；2021 年全国乙卷：正方体中异面直线所成角计算 1. 主要考查空间点、线、面之间的平行、垂直等位置关系的判断及相关角的计算。2. 常结合正方体、直三棱柱等几何体，通过命题判断、角度计算等形式考查，注重对空间想象能力和逻辑推理能力的检验。 考点 2：直线、平面平行的判定与性质 2025 年全国一卷：正三棱柱中平行与垂直关系判断；2021 年浙江卷：正方体中直线与平面平行及垂直关系判断 1. 重点考查直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。2. 多以正方体等常见几何体为载体，判断线面、面面是否平行，注重定理的灵活运用。 考点 3：直线、平面垂直的判定与性质 2024 年新课标 Ⅱ 卷：正三棱台中线面角正切值计算；2024 年北京卷：四棱锥的高计算；2023 年全国乙卷：直线与平面所成角正切值计算；2023 年全国甲卷：三棱锥体积计算；2023 年天津卷：三棱锥体积之比计算；2023 年北京卷：五面体棱长之和计算；2023 年新课标 Ⅱ 卷：圆锥相关体积、侧面积及线段长度、三角形面积判断；2022 年全国乙卷：正方体中平面与平面垂直判断；2022 年全国甲卷：长方体中线面角相关判断；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：三棱锥体积比较； 1. 主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，涉及线面角、二面角的计算及体积、棱长等相关量的求解。2. 常以三棱锥、四棱锥、正方体、长方体等几何体为背景，注重对空间垂直关系转化及相关计算能力的考查。 考点 4: 异面直线夹角的向量求法 2025 全国一卷、2021 上海卷均涉及求异面直线所成角的余弦值或大小 通过建立空间直角坐标系，求方向向量夹角，注重向量运算准确性 二 知识再现 1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进入平面，同向进入平面，得平行四边形的对边，不同向进入平面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）. （4）异面直线所成角范围： 1.求异面直线所成的角的步骤 一作，即依据定义作平行线,作出异面直线所成的角 二证，即证明作出的角是异面直线所成的角 三求，解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角 2.向量法 已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则 题型一 证明空间中点、直线、平面的位置关系 一单选题 1．直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对；故选：B 2．已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】浙江省9 1联盟2024-2025学年高二下学期6月学业水平模拟考试数学试题 【分析】根据直线与平面平行的定义可判断. 【详解】根据直线与平面平行的定义，若直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行， 记作：， 因此“”是“直线与平面无交点”的充要条件， 故选：C． 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】C 【来源】安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 【分析】判断直线与所成角不是直角，利用异面直线判定定理判定其为异面关系. 【详解】 取中点R， 连接，则容易得到，，则， 知道四边形为平行四边形，则，则是直线AM与BN夹角或其补角. 设正方体棱长为，则，，，则， 则为锐角，不是直角，则直线AM与BN不垂直. 因为平面，平面，平面，， 所以为异面直线， 综上所得，与异面且不垂直. 故选：C. 4．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线相交； B．直线与直线平行； C．直线与直线垂直； D．直线与直线垂直； 【答案】C 【来源】江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一下学期5月阶段调研数学试卷 【分析】画出正方体，根据相交推出矛盾判断A，根据正方体的性质，根据与相交判断B，根据得，判断C，根据得直线与直线所成的角为，根据正方形性质可知，即可判断D. 【详解】如图所示的正方体中， 若直线与直线相交，则四点共面， 即在平面内，不成立，故A错误； 根据正方体的性质可知，因为，所以，故C正确； ，与相交，故直线与直线不平行，故B错误； 因为，所以直线与直线所成的角为直线与直线所成的角， 即即为所求，因为，故直线与直线所成的角为，故D错误. 故选：C 5．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【来源】湖南省娄底市2025年普通高中学业水平合格性考试（三）数学试题 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 题型二 平行的判定与证明 6．下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 7．下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】第10章 空间直线与平面（知识清单 典型例题） 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定，可得判定①②③都不正确；根据线面平行的判定定理，可得判定④⑤都正确，即可求解. 【详解】对于①中，如图（1）所示，在正方体中，可得， 此时在过的平面内，所以命题①不正确； 对于②中，在正方体中，可得平面， 但与为异面直线，所以命题②不正确； 对于③中，在正方体中，可得平面，平面， 但和为相交直线，所以③不正确； 对于④中，如图（2）所示，在平面任取一点，过直线和点的平面为， 设平面平面，因为，可得， 又因为，所以，因为，所以，所以④正确； 对于⑤中，如图（3）所示，过点分别作，可得， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，所以⑤正确. 故选：C. 8．下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 【答案】A 【来源】辽宁省铁岭市枫树岭实验学校2023-2024学年高二上学期期初考试数学试卷 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 9．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高一下学期期末数学试题 【分析】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【详解】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 10．设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】湖南省湘西自治州2024-2025学年高二下学期期末数学试题 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 11．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】8.5.3?平面与平面平行（第2课时）课后作业（基础） 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下：   则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 12．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【来源】陕西省西安市八所重点中学2021-2022学年高三上学期联考 （一）文科数学试题 【分析】连接交于点，连接，证明为平行四边形，结合线面平行判定定理即可作出判断. 【详解】连接交于点，连接，，而分别是的中点，    所以，即，且，即， 则为平行四边形，故， 由平面平面，则平面． 故选：B 二 多选题 13．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【来源】江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD 14．已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【来源】四川省成都东部新区养马高级中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题 【分析】根据题意，利用线面位置关系的定义和判定定理、性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或，所以A错误； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，若，则与平行或异面，所以C错误； 对于D中，若，根据平行平面的性质，可得，所以D正确. 故选：ABC. 15．在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则（   ） A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 【答案】ABD 【来源】江苏省苏州市高新区苏州实验中学（本部）2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 【分析】根据线线，线面平行的判断定理和性质定理，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，梯形中，和是相交直线，且平面，则直线与平面相交， 所以平面内任意一条直线都不与BC平行，故A正确； B.平面与平面相交，则平面内与交线平行的线都与平面平行，故B正确； C.设平面和平面交于直线，因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错误； D. 若平面和平面交于直线，若平面，平面平面， 平面平面，所以，且，则，这与梯形的两腰不平行矛盾，所以D正确. 故选：ABD 三解答题 16．如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【来源】8.5.2?直线与平面平行（第2课时）课后作业（提升） 【分析】先证明线面平行，由平面的性质可得. 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 17．如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【来源】青海省海南州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 18．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期期末校际联考数学试题 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 19．如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    【答案】证明见解析 【来源】第08讲 线面、面面的平行与垂直问题全归纳（1） 【分析】取中点，连接，由题可得四边形为平行四边形，据此可完成证明. 【详解】在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是， 又平面，平面，所以平面.    20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）连接交于，且连接，即证，利用线面平行的判断定理即可求解； （2）先求点到平面的距离，再求底面面积，根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接交于，且连接，则为的中点． 因为是的中点，所以为的中位线，所以， 又因为面，面，所以面 （2）因为，为的中点，所以， 又因为，所以， 因为，面，，所以面， 菱形中，，，所以，所以， 因为为的中点，所以点到面的距离为 又 所以 所以三棱锥的体积为． 21．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题 【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面； （3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【详解】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）∵平面，平面∴， 又∵在正方形中，， ，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，为中点，故， 又，且平面PCB，平面， ∴平面 （3）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 题型三 垂直的判定与证明 一、单选题 22．若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【来源】2024年高考数学真题完全解读（天津卷） 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据线面平行的性质得到线线平行，进而由线面垂直得到线线垂直，故. 【详解】A选项，若，则或异面，A错误； B选项，若，则或异面或相交，B错误； C选项，因为，，，所以， 因为，，所以，故，C正确； D选项，若，则与相交或异面，D错误. 故选：C 23．如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与直线平行，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【来源】北京市房山区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】对于A，连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直； 在正方体中因为，面，面，则面， 又，面，面，则面， 又面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面，故A正确；    对于B，连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故B不正确；    对于C，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故C不正确；    对于D，因为面，面，面，， 故直线与直线异面是正确的， 又，， 所以，所以直线与平面不垂直，故D不正确； 故选：A 24．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【来源】8.6.2?直线与平面垂直（第1课时）课后作业（提升） 【分析】选项A和D，通过举出例子判断正误；选项B，由线面垂直的判定定理得结果正确；选项C，利用线面垂直的性质，可得，从而判断出结果的正误. 【详解】对于选项A，如图1，当，满足时， 与可以斜交，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以， 因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，因为，所以，故选项C错误， 对于选项D，若，则与可以相交、平行或异面，如图2， 满足，而与异面，故选项D错误，    故选：B. 25．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，，的中点，下列说法不正确的是（   ） A．与是异面直线 B．平面 C． D． 【答案】D 【来源】贵州省毕节市2024-2025学年高二下学期7月期末适应性考试数学试题 【分析】利用反证法可判断AD；取的中点，利用线线平行可得B；利用，判断即可. 【详解】对A，点平面，若与不是异面直线，则与共面，所以平面， 又平面，故平面，所以与是异面直线，正确； 对B，取的中点，连接，如图： 由为的中点，所以且，由为的中点，平行且等于， 所以且，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面，正确； 对C，因为，所以，又平面，平面，所以， 平面，所以平面，又平面， 所以，又，所以，正确； 对D，取的中点，连接，如图： 在直三棱柱中，可知，又，所以， 则，若，则共线，又是的中点，与已知矛盾，错误. 故选：D 26．空间四边形中，，，分别是与的中点，则异面直线，所成角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省南京市南京外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】连接，设为的中点，连接、，分析可知为异面直线和所成的角（或补角），求出的三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图：连接，设为的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 所以，同理可得， 所以，， ， 在中由余弦定理可得：， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C 27．已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题 28．设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【来源】8.6.2?直线与平面垂直（第2课时）课后作业（基础） 【分析】根据线线，线面的平行和垂直关系，即可判断选项. 【详解】A选项：根据线面平行的判断定理，可知A正确； B选项：若，则直线只与平面的一条直线垂直，不满足线面垂直的判断定理， 所以直线不垂直于平面，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确； D选项：若，因为，所以，则，故D正确. 故选：ACD. 29．如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（   ） A． B．平面 C． D． 【答案】ABD 【来源】云南省昆明市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试卷 【分析】连接，通过中位线定理证明，将平面转化为平面.所以寻找平面内与或垂直的直线即可 【详解】 连接交于点O， 选项A，分别为的中点， ， A选项，∵底面为菱形，， 又，且，平面，平面 平面，A正确 选项B，平面，且平面，， ∵底面为菱形，， 又，平面，平面 平面 平面，B正确 选项C，，∵底面为菱形，， 条件不足以证明平面，C错误 选项D，，且为中点， ∵底面为菱形，， 又，平面，平面 平面 平面，D正确 故选：ABD 30．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】福建省福州第一中学2024-2025学年高一下学期第四学段模块考试（7月期末）数学试题 【分析】利用反证法、线面垂直的判定和性质判断证明各项的正误即可. 【详解】A：若为中点，又为中点，根据正方体的结构特征有平面， 平面，则，如下图示， 又为中点，根据中位线及正方形的性质有， 由都在平面内，则平面， 平面，则，满足； B：如下图示，平面，平面，则， 若，都在平面内，则平面， 平面，则，显然不成立，不满足； C：如下图示，由中位线及正方形性质易知， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 平面，则，满足； D：若为中点，又都为中点，如下图示， 根据中位线、正方形的性质易知，， 由平面，平面，则， 由都在平面内，则平面， 平面，则，同理可证， 由都在平面内，则平面， 平面，则，满足. 故选：ACD 31．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与平面所成的角等于与平面所成的角 D．与所成的角等于； 【答案】ABC 【来源】甘肃省白银市实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试模拟卷数学试题 【分析】应用线面垂直判定定理判断A，B，应用线面角定义及边长判断C，应用异面直线所成角判断D. 【详解】∵底面，底面，∴，平面，∴平面， 平面，所以，A选项正确； ∵底面，底面，∴，平面，∴平面，B选项正确； 设与的交点为，连接， 则与平面所成的角就是，与平面所成的角就是， 因为，所以，C选项正确； 与所成的角是与所成的角，即等于， ，所以与所成的角不等于，D选项错误； 故选：ABC. 32．已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【来源】吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确.故选：ACD 33．如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 三、解答题 34．如图，在正方体中，是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】宁夏青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，则有，由异面直线定义得或其补角即为所求，根据等边三角形性质求解即可； （2）连接，利用中位线性质得，最后利用线面平行的判定定理证明即可； （3）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，所以直线平面． （3）.因为正方体的棱长为1，所以. 所以， 故三棱锥的体积为 35．如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】安徽省怀宁县新安中学2024-2025学年高二下学期7月考试数学试题 【分析】（1）由勾股定理逆定理证明即可； （2）由线面角的定义说明为与平面所成角，结合解三角形知识求解即可. 【详解】（1）设等边三角形的边长，连接、， 因为点为的中点. 则， 因为，所以，又， 所以，所以； （2）因为，所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，即与平面所成角的余弦值为； 高考真题再现 1．（2025·天津·高考真题）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面， 现，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 3．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 4．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项. 【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误； B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误； C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误； D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确. 故选：D 5.（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论. 【详解】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系. 二、多选题 6.（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则 ，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为 ，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 8．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $艺术生高考数学50天冲刺90分讲义 第29讲 立体几何平行与垂直证明 一 考向解读 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点 1：空间点、直线、平面之间的位置关系 2025 年天津卷：线面关系判断；2024 年全国甲卷：面面交线相关命题判断；2024 年天津卷：线面位置关系命题判断；2022 年浙江卷：线线角、线面角、二面角大小比较；2022 年上海卷：正方体中异面直线判断；2021 年全国乙卷：正方体中异面直线所成角计算 1. 主要考查空间点、线、面之间的平行、垂直等位置关系的判断及相关角的计算。2. 常结合正方体、直三棱柱等几何体，通过命题判断、角度计算等形式考查，注重对空间想象能力和逻辑推理能力的检验。 考点 2：直线、平面平行的判定与性质 2025 年全国一卷：正三棱柱中平行与垂直关系判断；2021 年浙江卷：正方体中直线与平面平行及垂直关系判断 1. 重点考查直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。2. 多以正方体等常见几何体为载体，判断线面、面面是否平行，注重定理的灵活运用。 考点 3：直线、平面垂直的判定与性质 2024 年新课标 Ⅱ 卷：正三棱台中线面角正切值计算；2024 年北京卷：四棱锥的高计算；2023 年全国乙卷：直线与平面所成角正切值计算；2023 年全国甲卷：三棱锥体积计算；2023 年天津卷：三棱锥体积之比计算；2023 年北京卷：五面体棱长之和计算；2023 年新课标 Ⅱ 卷：圆锥相关体积、侧面积及线段长度、三角形面积判断；2022 年全国乙卷：正方体中平面与平面垂直判断；2022 年全国甲卷：长方体中线面角相关判断；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：三棱锥体积比较； 1. 主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，涉及线面角、二面角的计算及体积、棱长等相关量的求解。2. 常以三棱锥、四棱锥、正方体、长方体等几何体为背景，注重对空间垂直关系转化及相关计算能力的考查。 考点 4: 异面直线夹角的向量求法 2025 全国一卷、2021 上海卷均涉及求异面直线所成角的余弦值或大小 通过建立空间直角坐标系，求方向向量夹角，注重向量运算准确性 二 知识再现 1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进入平面，同向进入平面，得平行四边形的对边，不同向进入平面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）. （4）异面直线所成角范围： 1.求异面直线所成的角的步骤 一作，即依据定义作平行线,作出异面直线所成的角 二证，即证明作出的角是异面直线所成的角 三求，解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角 2.向量法 已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则 题型一 证明空间中点、直线、平面的位置关系 一单选题 1．直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 2．已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 4．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线相交； B．直线与直线平行； C．直线与直线垂直； D．直线与直线垂直； 5．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 题型二 平行的判定与证明 6．下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 7．下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 8．下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 9．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 10．设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 二 多选题 13．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   14．已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．在四棱台中，底面ABCD为梯形，，则（   ） A．平面内任意一条直线都不与BC平行 B．平面内存在无数条直线与平面平行 C．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 D．平面和平面的交线不与底面ABCD平行 三解答题 16．如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 17．如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 19．如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点．求证：平面    20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积． 21．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 题型三 垂直的判定与证明 一、单选题 22．若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 23．如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与直线平行，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 24．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，，的中点，下列说法不正确的是（   ） A．与是异面直线 B．平面 C． D． 26．空间四边形中，，，分别是与的中点，则异面直线，所成角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 27．已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 28．设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．如图，四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．则平面的一个充分条件可以为（   ） A． B．平面 C． D． 30．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（   ） A． B． C． D． 31．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与平面所成的角等于与平面所成的角 D．与所成的角等于； 32．已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 33．如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 三、解答题 34．如图，在正方体中，是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 35．如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 高考真题再现 1．（2025·天津·高考真题）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 3．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 二、多选题 6.（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 8．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $