精品解析：上海市黄浦区上海音乐学院附属黄浦比乐中学　2025-2026学年 上学期七年级数学12月份月考卷

2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．） 1. 代数式2、、、、、中，整式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 是三次单项式 B. 与是同类项 C. 是二次四项式 D. 的常数项是 5. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A. B. C. D. 6. 关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（ ） A. B. 6或 C. 或4 D. 6 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分．） 7. 计算：___________． 8. 计算：_______． 9. 若分式的值为，则__________． 10. 整式与整式的和为，则________． 11. 将整式按y降幂排列：______． 12. 因式分解：_______． 13. 将分式表示成不含分母的形式为______． 14. 关于的整式是一个完全平方式，则__________． 15. 计算：______． 16. 已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为：________． 17. 阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 18. 如果，，是正数，且满足，，则的值为______． 二、解答题（本大题共11题，共78分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2） 20. 分解因式： （1） （2） （3） 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. 计算： （结果用不含负整数指数幂的形式表示）． 24. 化简求值：，其中，． 25. 甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 26. 关于x的分式方程． （1）当时，解该分式方程． （2）如果分式方程无解，求n的值． 27. 已知． （1）求的值． （2）求的值． 28. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含a、b的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 29. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（ ）②，（ ）③，（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： （3）若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分．下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上．） 1. 代数式2、、、、、中，整式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的判断，理解整式的定义是解题的关键．整式是分母中不含变量的代数式，包括单项式和多项式；根据定义，判断每个代数式是否为整式． 【详解】解：∵ 整式定义：分母中不含变量； 2是常数，是整式； 是多项式，是整式； 分母2是常数，是整式； 分母含变量x，不是整式； 分母2是常数，是整式； 分母是常数，是整式． ∴整式有5个； 故选：C． 2. 下列分式中，不是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则，直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 是三次单项式 B. 与是同类项 C. 是二次四项式 D. 的常数项是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查单项式的次数、同类项的定义、多项式的次数和项数、以及常数项的概念．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 单项式的次数是所有字母的指数之和， ∴ 中，a的指数为2，b的指数为1，次数为3，是三次单项式，故A正确； ∵ 同类项需相同字母且相同字母指数相同， ∴ 与中x和y的指数均不同，不是同类项，故B错误； ∵ = ，最高次项的次数为3，是三次三项式，故C错误； ∵ = ，常数项为，不是，故D错误． 故选：A． 5. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A是展开而非分解；选项B分解正确；选项C未彻底分解；选项D含有分式，不是整式乘积． 【详解】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 6. 关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（ ） A. B. 6或 C. 或4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分．） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据运算法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再合并所得的商． 【详解】解： ． 故答案为：． 8. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 10. 整式与整式的和为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的运算，根据整式加法的意义，用整式的和减去已知加数即可得出答案． 【详解】解：由题意，， 则 ． 故答案为：． 11. 将整式按y降幂排列：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的降幂排列，按照y的指数从高到低的顺序重新排列原多项式即可． 【详解】解：把按y降幂排列为， 故答案为：． 12. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 将分式表示成不含分母的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂．根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 关于的整式是一个完全平方式，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 根据完全平方式，该二次三项式应可写为的形式，通过比较系数即可确定的值． 【详解】解：关于的整式是一个完全平方式， ， 则， ， 故答案为：或． 15. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则进行计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 16. 已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为：________． 【答案】 【解析】 【分析】设直快列车的速度为x千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是千米/小时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时列方程即可． 【详解】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 由题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 17. 阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 18. 如果，，是正数，且满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，，，进而代入代数式化简计算即可，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 二、解答题（本大题共11题，共78分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算是解题的关键， （1）根据同底数幂乘法幂的乘方混合运算法则计算即可得到答案； （2）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解， 对于（1），先分组，再根据提公因式法因式分解； 对于（2），先提公因式，再根据平方差公式分解； 对于（3），先根据完全平方公式分解，再根据平方差公式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： ． 21. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）a+1 （3）x （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【小问1详解】 两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； 【小问2详解】 两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 23. 计算： （结果用不含负整数指数幂的形式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算和负整数指数幂．先将负整数指数化为正整数指数，即分式形式，再通分相除，利用平方差公式分解，约分后可得到结果． 【详解】解：． ． ． ． ． 24. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 25. 甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间，据此列出方程，解方程，求出方程的解并检验即可得到答案． 【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件． 26. 关于x的分式方程． （1）当时，解该分式方程． （2）如果分式方程无解，求n的值． 【答案】（1）分式方程的解为 （2）n的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【小问1详解】 解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 ， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 27. 已知． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此可得答案； （2）根据完全平方公式可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解；∵，即， ∴，即， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 28. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含a、b的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【答案】（1）, =； （2）=77； （3）=18. 【解析】 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差； （2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解； （3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： , = =； 【小问2详解】 由（1）可得： = = =, ∴当，时，； 【小问3详解】 由题意可得： =， 当时，， ∴. 【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题关键． 29. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（ ）②，（ ）③，（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： （3）若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】（1）①②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ 【小问2详解】 设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； 【小问3详解】 ∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $