平面向量数量积运算期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理平面向量数量积运算的知识体系，从两向量夹角定义出发，逐步展开数量积概念、投影及投影向量、几何意义、运算律和性质，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于典例分类精准，按定义、投影与投影向量、模、夹角设题，如等边三角形数量积计算、投影向量求解等题型，培养数学思维与几何直观。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

平面向量的数量积运算 一．重点知识点梳理 1.两个向量的夹角（前提：两向量一定要起点） 对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向共线，当＝时，，垂直，当＝时，，反向共线。 2.数量积 已知两个非零向量，，我们把数量叫与的数量积（或内积），记作，即，其中是与的夹角；规定：零向量与任意向量的数量积为0。 3.投影及投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量；则向量a在向量b上的投影为=；投影向量为=； 4.的几何意义 的数量积就等于乘以在方向上的投影； 5.平面向量数量积的运算律： 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有： ①交换律：； ②数乘结合律； ③分配律：； 向量数量积的常用结论： (1)； (2)； (3) ； (4) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 6.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ① .；②； ③夹角公式：； 结论：两个向量a，b的夹角为锐角⇔且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔且a，b不共线； 二．典例分类分析 （一）平面向量的数量积的定义 1.若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】一方面：由，可得，此时与共线; 另一方面：由与共线，可得或，此时有或， 即此时不一定成立. 结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件. 故选：A. 2.已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且向量与的夹角为， 所以， 故选：C． 3.（多选）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 4.已知向量且，，满足，，且与的夹角为，则=（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】：B. 【详解】：由，，且与的夹角为， 所以 = = 故选：B. 5.已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】 . 故选：A 6.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为C，P，D三点共线，所以，即， 所以，又， 所以 . 故选：C 7．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 8．已知向量，，， ． 【答案】 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 9．在平行四边形中，，，若，则______. 【答案】 【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题. 【详解】因，则 又注意到，. 则=. 故答案为: 10．在中，是边上的中点，且，，，，则__________． 【答案】1 【分析】利用转化法得到，，再根据，，得到，联立得到，，然后求即可. 【详解】，同理可得，又，，所以，所以，，. 故答案为：1. （二）平面向量的投影与投影向量 1.已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的投影向量 故选：C 2．已知向量满足， 且向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________． 【答案】 【分析】根据投影向量的概念直接求解即可. 【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即，解得 故答案为： 3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　) A．2 B． C． D． 【答案】：D 【详解】:·＝||||cos∠DAC ＝||cos ＝||sin∠BAC＝||sin B ＝||sin B＝||＝． 故答案为：D 4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 5.如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，延长，过点做交的延长线于点. 因为，，,所以. 由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1， 当在点处时，在上的投影有最小值， 又因为，所以的取值范围是. 故选：D 6.如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 . 【答案】 【详解】根据题意可知，，； 所以可得 ， 即的值为. 故答案为： （三）平面向量的模 1.已知，，，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为，，，的夹角为， 所以， 解得， ， 故选：C. 2.已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 即. 故选：C 3.已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4．（多选）已知与均为单位向量，其夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，其中， 因为，所以，B正确； 且，所以，A正确； ， 因为，所以，故C错误； ， 当，，所以， 故， 所以，D正确. 故选：ABD 5．已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 6．已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 4 【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：， ，则： ， 令，则， 据此可得：， 即的最小值是4，最大值是． （四）平面向量的夹角 1.已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 设与的夹角为，则，因为， 所以，即与的夹角为. 故选：D 2．已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 3.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设向量，的夹角为，因为，所以， 则，即恒成立. 所以，解得， 因为，所以， 故，的夹角的取值范围是. 故选：A. 4．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61,则a与b的夹角θ的值为 ． 【答案】θ＝ 【详解】∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61． ∵|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6，∴cos θ＝＝＝－， 又θ∈[0，π]， ∴θ＝． 5.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】因为且为非零向量，设，则， 又，所以，则， 解得， 设向量的夹角为，则， 即向量夹角的余弦值为. 故答案为： 6.已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为与的夹角为锐角，又， 所以， 又，，，所以， 解得，又因， 当时，也满足，此时不合题意， 当与共线同向时，有，从而得到，解得， 又，所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 7.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：， 因为在上的投影向量为，所以， 可得， ， ， 所以， 故答案为：. 8.在平行四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2，且·＝6，则与夹角的余弦值是 ． 【答案】 【详解】由题意，＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝· ＝2－·－2 ＝36－·－18＝18－·． 又·＝6，所以18－·＝6， 所以·＝36． 设与的夹角为θ， 又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝． 所以与夹角的余弦值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的数量积运算 一．重点知识点梳理 1.两个向量的夹角（前提：两向量一定要起点） 对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向共线，当＝时，，垂直，当＝时，，反向共线。 2.数量积 已知两个非零向量，，我们把数量叫与的数量积（或内积），记作，即，其中是与的夹角；规定：零向量与任意向量的数量积为0。 3.投影及投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量；则向量a在向量b上的投影为=；投影向量为=； 4.的几何意义 的数量积就等于乘以在方向上的投影； 5.平面向量数量积的运算律： 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有： ①交换律：； ②数乘结合律； ③分配律：； 向量数量积的常用结论： (1)； (2)； (3) ； (4) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 6.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ① .；②； ③夹角公式：； 结论：两个向量a，b的夹角为锐角⇔且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔且a，b不共线； 二．典例分类分析 （一）平面向量的数量积的定义 1.若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2.已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 4.已知向量且，，满足，，且与的夹角为，则=（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 5.已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 6.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 7．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 8．已知向量，，， ． 9．在平行四边形中，，，若，则______. 10．在中，是边上的中点，且，，，，则__________． （二）平面向量的投影与投影向量 1.已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足， 且向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________． 3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于(　　) A．2 B． C． D． 4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 . （三）平面向量的模 1.已知，，，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 2.已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 3.已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（多选）已知与均为单位向量，其夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，则 ． 6．已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． （四）平面向量的夹角 1.已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 3.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61,则a与b的夹角θ的值为 ． 5.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 ． 6.已知，，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 ． 7.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为 ． 8.在平行四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2，且·＝6，则与夹角的余弦值是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $