8.2 一元线性回归模型及其应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十九) [基础达标练] 1．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 解析：选ABC　A，B，C显然正确，选项D中，当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg，故D错误． 2．已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y关于x的经验回归直线＝x＋必过(　　) A．点(2，2)　　　　 B．点(1.5，0) C．点(1，2) D．点(1.5，4) 解析：选D　∵＝＝1.5，＝＝4.∴经验回归直线必过点(1.5，4).故选D. 3．已知某地财政收入x与支出y满足回归方程＝x＋＋ei(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中＝0.8，＝2，|ei|＜0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　) A.10亿元 B．9亿元 C．10.5亿元 D．9.5亿元 解析：选C　＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，∵|ei|＜0.5，∴9.5＜＜10.5. 4．根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的经验回归方程为＝x＋，则(　　) A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0 解析：选B　画出散点图，知＞0，＜0. 5．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的经验回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分． 解析：令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2， 所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20. 答案：20 6．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示． x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它们的经验回归直线的斜率为6.5，这条经验回归直线的方程为__________________． 解析：由题意可知＝＝5， ＝＝50. 设经验回归直线方程为＝6.5x＋， ∵经验回归直线过点(5，50)， ∴50＝6.5×5＋， 即＝17.5，∴经验回归直线方程为＝6.5x＋17.5. 答案：＝6.5x＋17.5 7．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据 年份/年 2011 2013 2015 2017 2019 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性经验回归方程＝x＋； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)利用(1)中所求出的线性经验回归方程预测该地2021年的粮食需求量． 解：(1)由所给数据看出年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性经验回归方程，先将数据处理如下： 年份－2015 －4 －2 0 2 4 需求－257 －21 －11 0 19 29 对处理的数据，容易算得＝0，＝3.2. ＝ ＝＝6.5，＝－ ＝3.2. 由上述计算结果，知所求线性经验回归方程为 －257＝6.5(x－2015)＋3.2， 即＝6.5(x－2015)＋260.2. (2)用＝6.5＞0，所以x与y之间是正相关． (3)利用所求得的线性经验回归方程，可预测2021年的粮食需求量大约为6.5×(2021－2015)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2. 8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数x/个 2 3 4 5 加工的时间y/小时 2.5 3 4 4.5 (1)求y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)试预测加工10个零件需要多少时间？ 解：(1)由表中数据得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54， 所以＝＝0.7， 所以v＝－ ＝1.05.所以＝0.7x＋1.05. (2)将x＝10代入经验回归方程，得＝0.7×10＋1.05＝8.05， 所以预测加工10个零件需要8.05小时． [能力提升练] 9．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　) 解析：选A　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 10．(多选)某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据： x 2 4 5 6 8 y ▲ 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x是线性相关关系，且经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的是(　　) A．销售额y与广告费支出x正相关 B．丢失的数据(表中▲处)为30 C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元 D．若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元 解析：选AB　由经验回归方程为＝6.5x＋17.5，可知＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，所以A正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点代入经验回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D不正确．故选A、B. 11．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单元：万元)和年教育支出y(单位：万元).调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程为＝0.15x＋0.2.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元． 解析：因为回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元． 答案：0.15 12．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮的命中率： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析：小李这5天的平均投篮命中率＝(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，＝3， ＝＝＝0.01， ＝－ ＝0.47，∴经验回归方程为＝0.01x＋0.47，则当x＝6时，y＝0.53. ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 答案：0.5　0.53 13．为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 求y关于x的回归方程． 解：作出散点图如图(1)所示． 由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c. 令x＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a. x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．由表中数据得到经验回归方程为＝0.69x＋1.112.因此细菌和繁殖个数y关于时间x的非线性经验回归方程为＝e0.69x＋1.112. [素养拓展练] 14．二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据： 使用年数x 2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6.4 4.4 3 z＝ln y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是z关于x的折线图： (1)由折线图可以看出，可以用一元线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)求y关于x的经验回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；(，小数点后保留两位有效数字) (3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的经验回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ 参考公式：＝＝， ＝－，r＝ . 参考数据： iyi＝187.4，izi＝47.64， ＝139，≈4.18， ≈13.96， ≈1.53，ln 1.46≈0.38， ln 0.711 8≈－0.34. 解：(1)由题意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5， ＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2， 又izi＝47.64, ≈4.18，≈1.53， 所以r＝＝－≈－0.99， 所以z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高． (2)＝＝－≈ －0.36， 所以＝－ ＝2＋0.36×4.5＝3.62， 所以z与x的经验回归方程是＝－0.36x＋3.62， 又z＝ln y， 所以y关于x的经验回归方程是＝e－0.36x＋3.62. 令x＝9， 得＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，因为ln 1.46≈0.38，所以＝1.46， 即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元． (3)当≥0.711 8， 即e－0.36x＋3.62≥0.711 8＝eln 0.711 8＝e－0.34时， 则有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11， 因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． 学科网（北京）股份有限公司 $