7.3.1 离散型随机变量的均值（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(十三) [基础达标练] 1．已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为(　　) X a 7 9 P b 0.1 0.4 A.4　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：选A　根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a×0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4. 2．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 解析：选C　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3， 解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析：选B　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 4．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发球到3次为止．设某同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)＞1.75，则p的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析：选AB　根据题意，X的所有的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)， P(X＝3)＝p(1－p)2， 则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3， 依题意有E(X)＞1.75， 则p2－3p＋3＞1.75， 解得p＞或p＜， 结合p的实际意义，可得0＜p＜， 结合选项可知A、B正确． 5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________． 解析：X的可能取值为3，2，1，0， P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案：2.376 6．某射击手射击所得环数X的分布列如下： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的均值E(X)＝8.9，则x的值为____________，y的值为________． 解析：由题意知 解得y＝0.4，x＝0.2. 答案：0.2　0.4 7．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求： (1)抽取次数X的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X取值为1，2，3. P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝； P(X＝3)＝×＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池． 8．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. [能力提升练] 9．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　由分布列的性质得＋＋m＝1，∴m＝. ∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝， ∴a＝2. 10．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　) A.3 B．4 C．5 D．2 解析：选A　设白球x个，则黑球(7－x)个，取出的2个球中所含白球个数为X，则X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴0×＋1×＋2×＝，解得x＝3. 11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元． X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束). 设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450， 所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元). 答案：706 12．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝__________，E(ξ)＝________． 解析：ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝＋×＝.随时变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1. 答案：　1 13．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示： 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 4 6 4 6 (1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率； (2)从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)从20名学生随机选出3名的方法数为C，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝480，所以P＝＝. (2)X可能的取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝. [素养拓展练] 14．为普及科学知识，提高全民科学参与度，某科技馆举办了游戏科普有奖活动，设置了甲、乙两种游戏方案，具体规则如下：玩一次甲游戏，若绿灯闪亮，则获得70分；若黄灯闪亮，则获得10分；若红灯闪亮，则扣除20分(即获得－20分)，绿灯、黄灯及红灯闪亮的概率分别为，，.玩一次乙游戏，若出现音乐，则获得80分，若没有出现音乐，则扣除20分(即获得－20分)，出现音乐的概率为p(0＜p＜1).每位顾客能参与两次甲游戏或两次乙游戏(两次游戏中甲、乙不能同时参与，只能选择其一)且每次游戏中互不影响．若两次游戏后获得的分数为正，则获得奖品，否则没有奖品． (1)若p＝，试问顾客选择哪种游戏更容易获得奖品？请说明理由． (2)当p在什么范围内取值时，顾客参与两次乙游戏后取得的平均分更高？ 解：设顾客参与两次甲游戏后，获得的分数为X，顾客参与两次乙游戏后，获得的分数为Y. (1)当X取值为140，80，50，20时，顾客参与两次甲游戏后可以获得奖品． P(X＝140)＝×＝，P(X＝80)＝2××＝，P(X＝50)＝2××＝，P(X＝20)＝×＝. 记事件A为“顾客参与两次甲游戏后获得奖品”， 则P(A)＝P(X＝140)＋P(X＝80)＋P(X＝60)＋P(X＝20)＝. 当Y取值为160，60时，顾客参与两次乙游戏后可以获得奖品， P(Y＝160)＝×＝，P(Y＝60)＝2××＝. 记事件B为“顾客参与两次乙游戏后获得奖品”， 则P(B)＝P(Y＝160)＋P(Y＝60)＝. 因为P(A)＜P(B)，所以当p＝时，顾客选择乙游戏更容易获得奖品． (2)由题意可知，X的可能取值为140，80，50，20，－10，－40，则随机变量X的分布列如表所示． X 140 80 50 20 －10 －40 P 于是E(X)＝140×＋80×＋50×＋20×＋(－10)×＋(－40)×＝10. 由题意可知，Y的可能取值为160，60，－40，故随机变量Y的分布列如表所示． Y 160 60 －40 P p2 2p(1－p) (1－p)2 于是E(Y)＝160p2＋120p(1－p)－40(1－p)2. 为满足题设条件只需E(Y)＞E(X)，即160p2＋120p(1－p)－40(1－p)2＞10，解得p＞， 故p的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $