6.3.2 二项式系数的性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(八) [基础达标练] 1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝(　　) A．180　　　　　　 B．－180 C．45 D．－45 解析：选A　∵(2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180. 2．(多选)关于(a－b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为1 024 B．展开式中的第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 解析：选ABD　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的． 3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b1a2＋…＋bnan，且b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，则自然数n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B　令a＝1，得b0＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝30， ∴2n＋1＝32，∴n＝4.故选B. 4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值是(　　) A． B． C． D．26 解析：选B　由题意可得a＝C＝70， 又展开式的通项公式Tk＋1＝C2kxk， 设第k＋1项的系数最大， 则即 求得k＝5或k＝6，此时，b＝7×28， ∴＝，故选B. 5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为_________________． 解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x. 答案：－160x 6．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数的和为1； 各项的二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 7．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求： (1)各项系数之和； (2)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 解：(1)各项系数之和即a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1. (2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为； ①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为. 8．已知(2x－1)n展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值． 解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…， 由已知可得，B－A＝38. 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝ (－3)n，即B－A＝(－3)n. ∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数的性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255. [能力提升练] 9．(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(　　) A．－2 048 B．－1 023 C．1 024 D．－1 024 解析：选D　(x－1)11＝Cx11＋Cx10·(－1)＋Cx9·(－1)2＋…＋C(－1)11，x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024. 10．(多选)已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021，则(　　) A．展开式中所有项的二项式系数和为22021 B．展开式中所有奇数项系数和为 C．展开式中所有偶数项系数和为 D．＋＋＋…＋＝－1 解析：选ABD　∵(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021， 故所有项的二项式系数和为2n＝22021，故A正确； 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021①， 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝－1②， ①＋②，并除以2，可得展开式中所有奇次项系数和为a0＋a2＋a4＋a6＋…a2020＝，故B正确； ②－①，并除以2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝，故C错误； 令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，而a0＝1， ∴＋＋…＋＝－1，故D正确． 11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________． 解析：令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12. 令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12. ∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27， ∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7. 答案：7 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第________行；第62行中1的个数是________． 解析：由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；由n＝6，得26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1. 答案：2n－1　 32 13．已知二项式(2x－3y)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，试求展开式中： (1)二项式系数之和； (2)各项的系数之和； (3)所有奇数项的系数之和； (4)各项的系数的绝对值的和． 解：∵二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， ∴第5项为展开式的中间项，展开式共有9项，n＝8. ∴(2x－3y)n＝(2x－3y)8. 设(2x－3y)8＝a0x8＋a1x7y＋a2x6y2＋…＋a8y8. (1)展开式二项式系数之和为 C＋C＋C＋…＋C＝28＝256. (2)展开式各项的系数之和为：a0＋a1＋a2＋…＋a8， 令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(2－3)8＝1. (3)展开式中所有奇数项的系数之和为a0＋a2＋a4＋a6＋a8， 令x＝1，y＝－1，得： a0－a1＋a2－…＋a8＝(2＋3)8＝58，① 又a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，② ①＋②得，a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝. (4)展开式中各项的系数的绝对值的和为： |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－…＋a8＝58. [素养拓展练] 14．已知fn(x)＝(1＋x)n， (1)若f2 021(x)＝a0＋a1x＋…＋a2021x2021，求a1＋a3＋…＋a2019＋a 2021的值． (2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数． 解：(1)因为fn(x)＝(1＋x)n， 所以f2021(x)＝(1＋x)2021， 又f2021(x)＝a0＋a1x＋…＋a2021x2021， 所以f2021(1)＝a0＋a1＋…＋a2021＝22021，① f2021(－1)＝a0－a1＋…＋a2020－a 2021＝0，② ①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2019＋a2021)＝22021， 所以a1＋a3＋…＋a2019＋a2021＝22020. (2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)， 所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6项的系数为1＋2×C＋3C＝99. 学科网（北京）股份有限公司 $