6.3.2 二项式系数的性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(八)

 [基础达标练]

1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝(　　)

A．180　　　　　　 B．－180

C．45    D．－45

解析：选A　∵(2－x)10＝C210(－x)0＋C29(－x)1＋…＋C22(－x)8＋C2(－x)9＋C(－x)10，∴a8＝C22＝4×C＝4×＝4×45＝180.

2．(多选)关于(a－b)10的说法，正确的是(　　)

A．展开式中的二项式系数之和为1 024

B．展开式中的第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

解析：选ABD　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．

3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b1a2＋…＋bnan，且b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，则自然数n的值为(　　)

A．3    B．4

C．5    D．6

解析：选B　令a＝1，得b0＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝30，

∴2n＋1＝32，∴n＝4.故选B.

4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值是(　　)

A．    B．

C．     D．26

解析：选B　由题意可得a＝C＝70，

又展开式的通项公式Tk＋1＝C2kxk，

设第k＋1项的系数最大，

则即

求得k＝5或k＝6，此时，b＝7×28，

∴＝，故选B.

5．设(2－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中的第四项为_________________．

解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝C·(2)3·(－1)3＝－160x.

答案：－160x

6．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．

解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数的和为1；

各项的二项式系数之和为26＝64.

答案：1　64

7．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：

(1)各项系数之和；

(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．

解：(1)各项系数之和即a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.

(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.

由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为；

①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为.

8．已知(2x－1)n展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值．

解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.

则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，

由已知可得，B－A＝38.

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝