6.1 第2课时 计数原理的综合应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(二) [基础达标练] 1．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．4 C．8 D．15 解析：选D　完成xy这件事分两步， 第一步：从集合{1，2，3，4}选一个数，共有4种选法； 第二步：从集合{5，6，7，8}选一个数，共有4种选法： 共有4×4＝16种选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15. 2．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(　　) A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 解析：选B　分两步：第一步，选不相邻的2个面(相对面)，共有3种选法；第二步，从余下的4个面中任选1个面，共有4种选法．由分步乘法计数原理，知不同的选法共有3×4＝12(种). 3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 解析：选D　剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D. 4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(　　) A．30种 B．50种 C．60种 D．90种 解析：选B　分两类选择：①甲选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，则选法有2×10＝20(种)；②甲选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，则选法有3×10＝30(种).依据分类加法计数原理知共有20＋30＝50(种)选法，故选B. 5．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法有________种． 解析：由于每个同学报哪个运动队没有限制，因此，每个同学都有3种报名方法，4个同学全部报完，才算完成这件事，故共有3×3×3×3＝81(种)不同的报法． 答案：81 6．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 解析：分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30组不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60组． 答案：60 7．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师． (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 解：(1)分三类： 第一类，选出的是医生，有3种选法； 第二类，选出的是护士，有5种选法； 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法． 根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法． (2)分三步： 第一步，选1名医生，有3种选法； 第二步，选1名护士，有5种选法； 第三步，选1名麻醉师，有2种选法． 根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法． 8．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数． 解：(1)1号盒中无球即A，B，C三球只能放入2，3，4号盒中，有33＝27(种)放法． (2)1号盒中有球可分三类：第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27(种)放法；第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法；第三类是1号盒中有三个球，有1种放法．共有27＋9＋1＝37(种)放法． [能力提升练] 9．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 解析：选B　由已知得ab≤1. 若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能； 若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能； 若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能； 若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能． ∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 10．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有(　　) A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 解析：选A　第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18条． 11．某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人，其中甲、乙两人不能参加生物竞赛．则不同的选派方法共有________种． 解析：由题意知，生物竞赛是特殊位置，故生物竞赛可有4种选派方法，数学竞赛可有5种选派方法，物理竞赛可有4种选派方法，化学竞赛可有3种选派方法，故N＝4×5×4×3＝240种． 答案：240 12．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则不同的选取种数为________，m，n都取到奇数的概率为________． 解析：因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为. 答案：63　 13．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 解：依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色． 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成． 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120种． 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成． 第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60种． 综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180种． [素养拓展练] 14．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如下图，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色． (1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值． 解：完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数． (1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种). (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3). ∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120， ∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0， 即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0. ∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去). ∴n＝5(负值舍去). 学科网（北京）股份有限公司 $