8.1 成对数据的统计相关性（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦“成对数据的统计分析”，涵盖变量的相关关系、样本相关系数等核心知识点，通过课前预习搭建基础认知，课堂互动深化概念理解，课时作业巩固应用，形成递进式学习支架。 其亮点在于以散点图观察数据趋势，结合正/负相关及样本相关系数[-1,1]的量化分析，培养学生用数学眼光发现数量关系、用数学思维推理逻辑联系、用数学语言精确表达规律的核心素养。学生能提升数据分析能力，教师可依托结构化资源优化教学效率。

第八章　成对数据的统计分析 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 8.1　成对数据的统计相关性 8.1.1　变量的相关关系　 8.1.2　样本相关系数 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十八） Part 03 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 精确地 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 对应点 散点 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 增加的趋势 减少的趋势 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 正相关或负相关 一条直线 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 正 负 [－1，1] 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 课时作业（十八） 点击进入word 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第八章　成对数据的统计分析 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系； 2．结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 1．通过对相关关系等概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．根据样本相关系数对两个成对数据的相关程度进行估计，提升数学运算、数据分析的核心素养． [自主梳理] 知识点一　相关关系 (1)吸烟可导致肺癌． (2)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表． 气温/℃ 25 18 12 10 4 0 杯数 18 30 37 35 50 54 (3)y＝x2＋5(x∈R). (3)y＝x2＋5(x∈R)中，x，y之间是什么关系？ 答：y与x间是函数关系，是一种确定关系． [问题]　(1)吸烟一定可以导致肺癌吗？吸烟与患肺癌有关吗？ 答：吸烟不一定患肺癌，但它们有一定的关系． (2)小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关吗？两者之间是如何变化的？ 答：两者间有关系．随着气温的降低卖出的热茶杯数增加． ►知识填空 相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去________决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． [点睛] 相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是指两个变量的关系； 不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 知识点二　散点图 [问题]　对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次得到时间x(单位：s)与质点的运动距离的观测值y(单位：cm)如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06 (1)以x为横坐标，y为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点． 答： (2)怎样描述时间与质点的运动距离之间的关系？ 答：从图上看时间越长，距离越大，但不是正比例函数关系． (3)时间与质点的运动距离之间有关系吗？ 答：有关系． ►知识填空 1．散点图 将成对样本数据在平面直角坐标系中的__________画出来，得到表示两个变量的一组数据的统计图，这样的统计图叫做________图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关． 2．正相关和负相关 (1)正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现______________，我们就称这两个变量正相关. (2)负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现______________，则称这两个变量负相关． 3．线性相关和非线性相关 (1)线性相关：如果两个变量的取值呈现__________________，而且散点落在____________附近，我们就称这两个变量线性相关． (2)非线性相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点三　样本的相关系数 [问题]　下表是某班部分同学的数学，物理和化学成绩 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学 70 76 80 82 89 90 91 94 97 98 物理 81 78 83 87 90 92 89 94 90 96 化学 85 82 86 90 78 90 91 99 92 95 (1)由表中的数据可以看出，数学成绩与物理成绩是否相关？数学成绩与化学成绩是否相关？ 答：数学成绩与物理成绩相关；数学成绩与化学成绩相关． (2)上述两个相关关系中，从直观上看哪一个相关性更强？如何定量的描述两个变量的相关性强弱呢？ 答：从直观上看数学成绩与物理成绩的相关性更强一些，可以用相关系数定量的描述两个变量的相关性强弱． ►知识填空 1．样本相关系数的计算公式： r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n, )(yi－\x\to(y))2)) 称为变量x和变量y的样本相关系数． 2．样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对数据的变化特征： (1)当r＞0时，称成对数据______相关； (2)当r＜0时，称成对数据______相关； 3．样本相关系数r的取值范围为_____________，样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度： (1)当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强； (2)当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图．(　　) (2)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系．(　　) (3)若两个变量正相关，则样本相关系数大于0.(　　) (4)样本的容量对用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果没有影响．(　　) (5)相关系数越大，两个变量的相关性就越强.(　　) 答案：(1)√　 (2)×　 (3)√　 (4)×　 (5)× 2．下面变量是相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．铁块的体积与质量 解析：选C　A、B、D中的两个变量都是函数关系． 3．(多选)关于回归分析，下列说法正确的是(　　) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的也可以是负的 C．在回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关 D．样本相关系数r∈(－1，1) 解析：选ABC　选项D中，样本的相关系数应满足－1≤r≤1，故D错误，其余都正确． 4．下图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号). 解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系． 答案：①④ 题型一　相关关系的直接判断 [例1]　(1)(多选)下列变量之间的关系是相关关系的是(　　) A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac B．光照时间和果树亩产量 C．读书破万卷，下笔如有神 D．每亩田施肥量和粮食亩产量 (2)某男孩的年龄与身高的统计数据如下． 年龄/岁 1 2 3 4 5 6 身高/cm 78 87 98 108 115 120 画出散点图，并判断它们是否有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？ 解析：(1)选BCD　在A中，由于取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac，判别式与b是函数关系，两者不是相关关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；读的书越多，下笔写文章就越得心应手；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B、C、D是相关关系．故选BCD. (2)散点图是分析变量相关关系的重要工具．作出散点图如图： 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关． [反思感悟] 两个变量是否相关的两种判断方法 (1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断． (2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断． 1．(多选)某中学的数学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如下图所示，则下列说法正确的是(　　) A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 解析：选BCD　由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B、C、D正确，A错误． 2．以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据： 房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 49.6 43.2 38.8 58.4 44 (1)画出数据对应的散点图； (2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果有相关关系，是正相关还是负相关？ 解：(1)数据对应的散点图如图所示． (2)通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有相关关系，并且是正相关． 题型二　样本相关系数及其应用 [例2]　维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据： 甲醛浓度(g/L) 18 20 22 24 26 28 30 缩醛化度(克分子%) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36 (1)画散点图，并判断成对样本数据是否线性相关； (2)求相关系数r(精确到0.01)，并通过样本相关系数判断甲醛浓度与缩醛化度的相关程度和变化趋势的异同． 解：(1)散点图如图． 由散点图可以看出，成对数据呈现出相关关系． (2)因为 eq \x\to(x) ＝ eq \f(168,7) ＝24， eq \x\to(y) ＝ eq \f(202.94,7) ， eq \i\su(i＝1,7,x) iyi＝4900.16， eq \i\su(i＝1,7,x) eq \o\al(2,i) ＝4144， eq \i\su(i＝1,7,y) eq \o\al(2,i) ≈5892，所以r＝ eq \o\al(2,i) eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x) \x\to(y),\r((\i\su(i＝1,7,x)－7\x\to(x)2)(\i\su(i＝1,7,y) eq \o\al(2,i) －7\x\to(y)2))) ＝ eq \f(4900.16－7×24×\f(202.94,7),\r((4144－7×242)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5892－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7)))\s\up20(2))))) ≈0.96.由此推断，甲醛浓度与缩醛化度正线性相关，即甲醛浓度与缩醛化度有相同的变化趋势，且相关程度很强． [反思感悟] (1)解决此类问题的难点是对数据的处理和计算，要特别注意避免运算失误． (2)根据已知数据求得回归直线方程后，利用相关系数绝对值的大小，可以判断两个变量相关性的强弱． 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 样本相关系数r －0.82 0.78 0.69 0.87 则试验结果体现两变量的线性相关性最强的同学是(　　) A．甲　　　　　　　 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选D　样本相关系数r的范围是[－1，1]，|r|越接近1，线性相关性越强；|r|越接近0，线性相关性越弱．所以丁的试验结果体现两变量的线性相关性最强，故选D. 2．以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据． 房屋的大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据的散点图； (2)求相关系数r，并作出评价． 解：(1)图略． (2)列表如下： i xi yi x eq \o\al(2,i) y eq \o\al(2,i) xiyi 1 115 24.8 13 225 615.04 2 852 2 110 21.6 12 100 466.56 2 376 3 80 18.4 6 400 338.56 1 472 4 135 29.2 18 225 852.64 3 942 5 105 22 11 025 484 2 310 ∑ 545 116 60 975 2 756.8 12 952 由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系. [课堂小结] 1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关． 2．样本相关系数r的正负与绝对值的大小决定了两个成对数据的相关性的强弱程度． $