7.3.1 离散型随机变量的均值（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦“离散型随机变量的均值”，课前通过西瓜重量问题导入，从具体取值及概率计算过渡到均值定义，搭建从实例到抽象概念的学习支架，衔接分布列知识，形成完整知识脉络。 其亮点是以生活情境（猜题得分、创业资助、天气收益）设计例题，培养数学建模与抽象素养，通过分步解析与跟踪训练强化运算能力。课堂小结明确求均值四步骤，助学生结构化认知，提升解决实际问题能力，也为教师提供系统教学资源。

第七章　随机变量及其分布 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　 离散型随机变量的均值 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十三） Part 03 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 平均水平 aE(X)＋b p 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 课时作业（十三） 点击进入word 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第七章　随机变量及其分布 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．能记住离散型随机变量均值的意义，能计算简单离散型随机变量的均值； 2．能记住离散型随机变量均值的性质并会应用； 3．识计两点分布的均值； 4．会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平．解决一些相关的实际问题． 1．通过离散型随机变量的均值概念的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．通过离散型随机变量均值的定义和性质的应用，提升数学运算、数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　离散型随机变量的均值 [问题]　设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6kg，5个重7 kg. (1)任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？ 答：X＝5，6，7. (2)X取上述值时，对应的概率分别是多少？ 答：P(X＝5)＝ eq \f(4,12) ＝ eq \f(1,3) ，P(X＝6)＝ eq \f(3,12) ＝ eq \f(1,4) ，P(X＝7)＝ eq \f(5,12) . (3)如何求每个西瓜的平均重量？ 答： eq \f(5×4＋6×3＋7×5,12) ＝5× eq \f(1,3) ＋6× eq \f(1,4) ＋7× eq \f(5,12) ＝ eq \f(73,12) . ►知识填空 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝_____________________＝__________为随机变量X的均值或数学期望，简称期望． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn eq \i\su(i＝1,n,x) ipi (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的____________． (3)性质：E(aX＋b)＝_____________． 2．两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝_____． [点睛] (1)均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即两个随机变量和的均值等于均值的和． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知离散型随机变量X的公布列为 X 1 2 3 P eq \f(2,13) eq \f(5,13) eq \f(6,13) 则X的数学期望E(X)＝(　　) A． eq \f(30,13) 　　 B． eq \f(27,13) 　　 C．2　　 D． eq \f(25,13) 解析：选A　E(X)＝1× eq \f(2,13) ＋2× eq \f(5,13) ＋3× eq \f(6,13) ＝ eq \f(30,13) . 3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0 B． eq \f(1,2) C．1 D．－1 解析：选A　因为P(X＝1)＝ eq \f(1,2) ，P(X＝－1)＝ eq \f(1,2) ，所以由均值的定义得E(X)＝1× eq \f(1,2) ＋(－1)× eq \f(1,2) ＝0. 4．设E(X)＝4, 则E(2X－5)＝________． 解析：E(2X－5)＝2E(X) －5＝3. 答案：3 题型一　求离散型随机变量的均值 [例1]　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 eq \f(2,3) ， eq \f(1,2) ， eq \f(1,3) ，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”， 则X的可能取值为－4，1，3，6. ∴P(X＝－4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) ＝ eq \f(1,9) ， P(X＝1)＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(7,18) ， P(X＝3)＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(7,18) ， P(X＝6)＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,18) ＝ eq \f(1,9) . ∴X的分布列为 X －4 1 3 6 P eq \f(1,9) eq \f(7,18) eq \f(7,18) eq \f(1,9) ∴E(X)＝(－4)× eq \f(1,9) ＋1× eq \f(7,18) ＋3× eq \f(7,18) ＋6× eq \f(1,9) ＝ eq \f(16,9) (分). [反思感悟] 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值x1，x2，…，xn； (2)求概率：计算出P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X). 一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望． 解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝eq \o\al(1,4) eq \f(CC eq \o\al(1,7) ,C eq \o\al(3,9) ) ＝ eq \f(28,84) ＝ eq \f(1,3) ，所以P(A)＝1－P(B)＝ eq \f(2,3) . (2)X的取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝eq \o\al(1,2) eq \f(CC eq \o\al(2,7) ＋C eq \o\al(2,2) C eq \o\al(1,7) ,C eq \o\al(3,9) ) ＝ eq \f(49,84) ， P(X＝2)＝eq \o\al(1,2) eq \f(CC eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(2,2) C eq \o\al(1,5) ,C eq \o\al(3,9) ) ＝ eq \f(25,84) ， P(X＝3)＝eq \o\al(1,2) eq \f(CC eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,2) C eq \o\al(1,3) ,C eq \o\al(3,9) ) ＝ eq \f(9,84) ， P(X＝4)＝eq \o\al(3,9) eq \f(1,C) ＝ eq \f(1,84) . 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(49,84) eq \f(25,84) eq \f(9,84) eq \f(1,84) X的数学期望E(X)＝1× eq \f(49,84) ＋2× eq \f(25,84) ＋3× eq \f(9,84) ＋4× eq \f(1,84) ＝ eq \f(130,84) ＝ eq \f(65,42) . 题型二　离散型随机变量均值的应用 [例2]　某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果“支持”和“不支持”的概率都是 eq \f(1,2) .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不给予资助．令X表示该公司的资助总额． (1)写出X的分布列； (2)求均值E(X). 解：　(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30. P(X＝0)＝ eq \f(1,64) ，P(X＝5)＝ eq \f(3,32) ， P(X＝10)＝ eq \f(15,64) ，P(X＝15)＝ eq \f(5,16) ， P(X＝20)＝ eq \f(15,64) ，P(X＝25)＝ eq \f(3,32) ， P(X＝30)＝ eq \f(1,64) . 故X的分布列为 X 0 5 10 15 20 25 30 P eq \f(1,64) eq \f(3,32) eq \f(15,64) eq \f(5,16) eq \f(15,64) eq \f(3,32) eq \f(1,64) (2)E(X)＝0× eq \f(1,64) ＋5× eq \f(3,32) ＋10× eq \f(15,64) ＋15× eq \f(5,16) ＋20× eq \f(15,64) ＋25× eq \f(3,32) ＋30× eq \f(1,64) ＝15(万元). [反思感悟] 1．实际问题中的均值问题 对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论，对实际问题作出判断． 2．概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 解：(1)设下周一无雨的概率为p， 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6， 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益 E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a， 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以． 题型三　离散型随机变量均值的性质 [例3]　已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) 若Y＝－2X，则E(Y)＝________． 解析：由随机变量分布列的性质， 得 eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,5) ＋m＋ eq \f(1,20) ＝1，解得m＝ eq \f(1,6) ， ∴E(X)＝(－2)× eq \f(1,4) ＋(－1)× eq \f(1,3) ＋0× eq \f(1,5) ＋1× eq \f(1,6) ＋2× eq \f(1,20) ＝－ eq \f(17,30) . 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30))) ＝ eq \f(17,15) . 答案： eq \f(17,15) [反思感悟] 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ). 1．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P eq \f(1,4) m n eq \f(1,12) A． eq \f(1,3) 　　 B． eq \f(1,4) 　　 C． eq \f(1,6) 　　 D． eq \f(1,8) 解析：选A　因为η＝12ξ＋7， 则E(η)＝12E(ξ)＋7， 即E(η)＝12 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12))) ＋7＝34.所以2m＋3n＝ eq \f(5,3) ，① 又 eq \f(1,4) ＋m＋n＋ eq \f(1,12) ＝1，所以m＋n＝ eq \f(2,3) ，② 由①②可解得m＝ eq \f(1,3) . 2．(变结论)若例3条件不变，且ξ＝aX＋3，E(ξ)＝－ eq \f(11,2) ，求a的值． 解：E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－ eq \f(17,30) a＋3＝－ eq \f(11,2) ，所以a＝15. [课堂小结] 求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值． $