6.3.2 二项式系数的性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦选择性必修第三册第六章计数原理中的二项式系数性质，通过幻灯片展示杨辉三角，从(a+b)^0到(a+b)^5的展开式系数入手，结合箭头标记相邻行数字关系，衔接二项式定理基础，为探究系数规律搭建学习支架。 其亮点是结构化设计，含课前预习、课堂互动和课时作业模块，以杨辉三角直观呈现系数，引导学生用数学眼光观察规律，用数学思维归纳“等距离”“奇偶性”等性质，用数学语言表达符号规律，助力学生发展抽象能力与推理意识，也为教师提供清晰教学脉络。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 6.3　二项式定理 6.3.2　 二项式系数的性质 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（八） Part 03 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 等距离 二项式系数 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 2n 2n 偶数 2n－1 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课时作业（八） 点击进入word 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题； 2．会用“赋值法”求展开式系数的和． 1．通过对二项式系数性质的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．通过利用二项式系数的性质解决相关问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　二项式系数的性质 [问题]　(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (3)二项式系数的最大值有何规律？ 答：n＝2，4，6时，中间一项最大；n＝3，5时，中间两项最大． (1)从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 答：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． (2)计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n. ►知识填空 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C eq \o\al(m,n) ＝C eq \o\al(n－m,n) ，即二项展开式中，与首末两端“__________”的两项的______________相等 增减性与 最大值 当二项式的幂指数n是偶数时，中间的一项______取得最大值 当n为奇数时，中间的两项_______与_______相等，且同时取得最大值 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于_____，即C eq \o\al(0,n) ＋C1n＋C eq \o\al(2,n) ＋…＋C eq \o\al(n,n) ＝______ 奇数项的二项式系数之和等于________项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C eq \o\al(1,n) ＋C eq \o\al(3,n) ＋C eq \o\al(5,n) ＋…＝C eq \o\al(2,n) ＋C eq \o\al(4,n) ＋C eq \o\al(6,n) ＋…＝______ [点睛] (1)对称性：源于组合数的性质“C eq \o\al(m,n) ＝C eq \o\al(n－m,n) ”，基础是C eq \o\al(0,n) ＝C eq \o\al(n,n) ＝1，然后从两端向中间靠拢，便有C eq \o\al(1,n) ＝C eq \o\al(n－1,n) ，C eq \o\al(2,n) ＝C eq \o\al(n－2,n) ，…. (2)各二项式系数和： C eq \o\al(0,n) ＋C eq \o\al(1,n) ＋C eq \o\al(2,n) ＋…＋C eq \o\al(n,n) ＝2n，源于(a＋b)n＝C eq \o\al(0,n) an＋C eq \o\al(1,n) an－1b＋…＋C eq \o\al(n,n) bn中，令a＝1，b＝1，即得到C eq \o\al(0,n) ＋C eq \o\al(1,n) ＋C eq \o\al(2,n) ＋…＋C eq \o\al(n,n) ＝2n. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为C eq \o\al(1,n) ＋C eq \o\al(2,n) ＋…＋C eq \o\al(n,n) .(　　) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A．n，n＋1　　　　　　 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 解析：选C　2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1－1,2)＋1)) 项，第 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1＋1,2)＋1)) 项，即第n＋1项与第n＋2项，故选C. 3. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x))) eq \s\up20(n) 的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 解析：选D　二项式展开式的通项为Tk＋1＝C eq \o\al(k,n) ·(x eq \s\up16(\f(1,2)) )n－k·(x－1)k＝C eq \o\al(k,n) ·x eq \s\up16(\f(1,2)n-\f (3,2)k) ，令k＝7，则 eq \f(1,2) n－ eq \f(21,2) ＝0，解得n＝21，通项可化简为C eq \o\al(k,21) ·x eq \s\up16(\f(21－3k,2)) .由于n＝21，故展开式中一共有22项，又展开式中各项的二项式系数与项的系数相同，故系数最大的项为k＝10，11两项，即展开式的第11项和第12项． 4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.① 又Tk＋1＝C eq \o\al(k,4) (－3)4－k(2x)k， ∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. 答案：－15 题型一　与杨辉三角有关的问题 [例1]　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19. 解：由杨辉三角可知，数列中的首项是C eq \o\al(2,2) ，第2项是C eq \o\al(1,2) ，第3项是C eq \o\al(2,3) ，第4项是C eq \o\al(1,3) ，……，第17项是C eq \o\al(2,10) ，第18项是C eq \o\al(1,10) ，第19项是C eq \o\al(2,11) . 故S19＝(C eq \o\al(1,2) ＋C eq \o\al(2,2) )＋(C eq \o\al(1,3) ＋C eq \o\al(2,3) )＋(C eq \o\al(1,4) ＋C eq \o\al(2,4) )＋…＋(C eq \o\al(1,10) ＋C eq \o\al(2,10) )＋C eq \o\al(2,11) ＝(C eq \o\al(1,2) ＋C eq \o\al(1,3) ＋C eq \o\al(1,4) ＋…＋C eq \o\al(1,10) )＋(C eq \o\al(2,2) ＋C eq \o\al(2,3) ＋…＋C eq \o\al(2,11) )＝ eq \f((2＋10)×9,2) ＋C eq \o\al(3,12) ＝274. [反思感悟] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，在哪一行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3? 解：杨辉三角中的每个数均为二项式系数，第n行中从左至右第k个数为C eq \o\al(k－1,n) . 由题意得C eq \o\al(13,n) ∶C eq \o\al(14,n) ＝2∶3，∴2C eq \o\al(14,n) ＝3·C eq \o\al(13,n) 即2 eq \f(n！,14！(n－14)！) ＝3· eq \f(n！,13！(n－13)！) ， 2(n－13)＝3×14，∴n＝34. 故在第34行中的第14个数与第15个数之比为2∶3. 题型二　求二项展示式的系数和 [例2]　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解：(1)令x＝0，则a0＝－1， 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由 eq \f(①－②,2) 得：a1＋a3＋a5＋a7＝ eq \f(1,2) [128－(－4)7]＝8 256. (3)由 eq \f(①＋②,2) 得：a0＋a2＋a4＋a6＝ eq \f(1,2) [128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一：∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. [反思感悟] 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)； 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ eq \f(f(1)＋f(－1),2) ； 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ eq \f(f(1)－f(－1),2) . 若(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，求： (1)a1＋a2＋a3＋…＋a11； (2)a0＋a2＋a4＋…＋a10. 解：(1)由(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11， 令x＝1，得26×(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11， 即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26①， 又令x＝0，得a0＝1. 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26－1＝－65. (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝0②， 由 eq \f(①＋②,2) ，得a0＋a2＋a4＋…＋a10 ＝ eq \f(1,2) (－26＋0)＝－32. 题型三　求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 [例3]　已知( eq \r(3,x2) ＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x＝1，则展开式中各项的系数和为(1＋3)n＝4n， 又展开式中各项的二项式系数和为2n， 由题意知，4n－2n＝992， ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5为奇数， ∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝C eq \o\al(2,5) ( eq \r(3,x2) )3(3x2)2＝90x6， T4＝C eq \o\al(3,5) ( eq \r(3,x2) )2(3x2)3＝270x eq \s\up16(\f(22,3)) . (2)展开式的通项为Tr＋1＝C eq \o\al(r,5) 3r·(x eq \s\up16(\f(2,3)) )5＋2r. 假设Tr＋1项系数最大，则有eq \o\al(r,5) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C3r≥C eq \o\al(r－1,5) 3r－1，,C eq \o\al(r,5) 3r≥C eq \o\al(r＋1,5) 3r＋1，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5！,(5－r)！r！)×3≥\f(5！,(6－r)！(r－1)！)，,\f(5！,(5－r)！r！)≥\f(5！,(4－r)！(r＋1)！)×3，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1)，)) ∴ eq \f(7,2) ≤r≤ eq \f(9,2) . ∵r∈N，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为T5＝C eq \o\al(4,5) 34x eq \s\up16(\f(26,3)) ＝405x eq \s\up16(\f(26,3)) . [反思感悟] 求展开式系数最大项的方法 (1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决． (2)若展开式的系数为f(r)＝C eq \o\al(r,n) ·mg(r)的形式，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ar＋1≥Ar＋2，,Ar＋1≥Ar)) 解出r，即得系数最大项． (3)若展开式的项数较少或转化为讨论较少项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定． 1. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x2))) eq \s\up20(n) (n∈N*)的展开式中的所有二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项是______________． 解析：C eq \o\al(0,n) ＋C eq \o\al(1,n) ＋C eq \o\al(2,n) ＋…＋C eq \o\al(n,n) ＝2n＝128，所以n＝7.二项式系数最大的项是T4＝C eq \o\al(3,7) (x3)4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2))) eq \s\up20(3) ＝－35x6和T5＝C eq \o\al(4,7) (x3)3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2))) eq \s\up20(4) ＝35x. 答案：－35x6，35x 2．(x＋2y)7展开式中系数最大的项为_________________． 解析：设k＋1项系数最大，则有eq \o\al(k,7) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·2k≥C eq \o\al(k－1,7) ·2k－1，,C eq \o\al(k,7) ·2k≥C eq \o\al(k＋1,7) ·2k＋1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(7！,k！(7－k)！)2k≥\f(7！,(k－1)！(7－k＋1)！)2k－1，,\f(7！,k！(7－k)！)2k≥\f(7！,(k＋1)！(7－k－1)！)2k＋1，)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)≥\f(1,8－k)，,\f(1,7－k)≥\f(2,k＋1)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≤\f(16,3)，,k≥\f(13,3)．)) 又因为0≤k≤7，且k∈N，所以k＝5，所以系数最大项为T6＝C eq \o\al(5,7) x2·25y5＝672x2y5. 答案：672x2y5 [课堂小结] 1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观看出． 2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 3．注意以下两点： (1)区分开二项式系数与项的系数． (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0，1，2，…，n}． $