6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

该高中数学课件聚焦选择性必修第三册第六章“计数原理”，核心内容为6.1第1课时的分类加法与分步乘法计数原理。通过课前预习搭建基础，结合现实情境问题引导学生抽象出计数原理，形成“预习-互动-作业”的学习支架，帮助衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，课堂互动环节引导学生用数学思维分析计数原理的逻辑关系，结合“m+n”“m×n”实例培养推理能力。采用分层作业设计，学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助清晰的教学环节提高课堂效率。

第六章　计数原理 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理及其简单应用 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（一） Part 03 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 前 预 习 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 m＋n 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 m×n 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课 堂 互 动 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 课时作业（一） 点击进入word 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 谢谢观看 第六章　计数原理 选择性必修第三册 数学 学习目标 素养要求 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； 2．会用这两个原理分析和解决一些简单和实际计数问题． 1．通过对两个计数原理的学习，培养数学抽象的核心素养； 2．在利用两个计数原理解决简单实际问题的过程中，提升数学建模、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　分类加法计数原理 [问题]　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果按照性别来分类，选1名同学任数学课代表的方案可分几类？ 答：可分两类，即选男同学、选女同学． (2)这几类方案中各有几种方法？ 答：第1类方案(选男同学)有22种方法，第2类方案(选女同学)有18种方法． (3)选1名同学任数学课代表一共有多少种不同的方法？ 答：共有22＋18＝40种方法． ►知识填空 分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． [点睛] 分类加法计数原理的最重要特点是各类中的每种方法都可以单独完成这件事；正确运用分类加法计数原理的关键是明确分类的标准并做到不重不漏． 知识点二　分步乘法计数原理 [问题]　高三(1)班有22名男生，18名女生，现在要从中选1名男同学和1名女同学作为数学课代表协助老师收发作业． (1)如果每次选1名同学任数学课代表，那么选2名同学任数学课代表需要分几步完成？ 答：分两步完成，第1步选男同学任数学课代表，第2步选女同学任数学课代表． (2)完成每一步各有几种方法？ 答：第1步选男同学任数学课代表有22种方法，第2步选女同学任数学课代表的18种方法． (3)选1名男同学和1名女同学任数学课代表一共有多少种方法？ 答：共有22×18＝396种方法． ►知识填空 分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． [点睛] 当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同的方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成，这件事情才算完成．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某商场共有4个门，购物者从一个门进，从另一个门出，不同的走法种数是(　　) A．8　　　　　　　 B．7 C．11 D．12 解析：选D　要完成这件事需两个步骤：第一步进门的4种方法；第二步出门有3种方法，两步全部完成才能完成这件事，所以完成这件事共有4×3＝12方法． 3．已知集合M＝{－2，1，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(　　) A．18 B．17 C．16 D．10 解析：选B　分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内． 4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法． 解析：由分步乘法计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法． 答案：48 题型一　分类加法计数原理 [例1]　某校高三共有三个班，各班人数如下表． 男生数 女生数 总数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3) 班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解：从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法． (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法． [反思感悟] 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 1．设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程 eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的是(　　) A．6个　　　　　　 B．8个 C．12个 D．16个 解析：选A　因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.m＝4，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________． 解析：法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 答案：36 题型二　分步乘法计数原理 [例2]　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复) 解：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10； 第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码． [反思感悟] 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 1．(变条件)若本例中各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(　　) 解：按从左到右的顺序拨号可以分四步写成： 第一步，有10种拨号方式，即m1＝10； 第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9； 第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8； 第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040个四位数的号码． 2．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位偶数． 解：(1)三位数有三个数位： 百位 十位 个位 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数． (2)分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2，4中选1个数字，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数． 题型三　两个计数原理的简单应用 [例3]　现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种). (2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班学生中选一人任组长． 所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种). (3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1个，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1个，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1个，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1个，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1个，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1个，有9×10种不同的选法． 所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种). [反思感悟] (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要画出恰当的示意图或树状图，使问题的分析直观、清楚，便于探索规律． (3)混合问题一般是先分类再分步． 某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 解：(1)分三类：第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共人N＝8＋10＋6＝24种不同的选法． (2)分三步：第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法；第三步从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480种不同的选法． (3)分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188种不同的选法． [课堂小结] 1．牢记2个知识点 (1)分类加法计数原理； (2)分步乘法计数原理． 2．掌握2种方法 (1)利用分类加法计数原理的解题方法：根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类． (2)利用分步乘法计数原理的解题方法；按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． 3．注意1个易错点 应用两个计数原理时，一定要明确是“分类”还是“分步”． $