47.余弦函数的奇偶性判断与证明（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 47.余弦函数的奇偶性判断与证明（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的奇偶性定义 ￮定义表述：设函数的定义域为，且关于原点对称，若对任意的，都有，则称为奇函数；若对任意的，都有，则称为偶函数。 ￮数学符号/表达式： 奇函数：，； 偶函数：，。 ￮关键特征：① 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要前提；② 奇函数图象关于原点中心对称，偶函数图象关于轴轴对称。 ￮跨章节关联：适用于二次函数、幂函数、三角函数等各类初等函数的奇偶性判断。 2. 【概念2】余弦函数的奇偶性 ￮定义表述：余弦函数的定义域为，关于原点对称，且满足，因此是偶函数。 ￮数学符号/表达式：，。 ￮关键特征：① 定义域为全体实数，天然关于原点对称；② 图象关于轴中心对称；③ 复合余弦函数的奇偶性需结合定义域和的化简结果判断。 ￮跨章节关联：可与函数的单调性、周期性结合考查，也可用于三角恒等变换的化简与证明。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇偶性的前提条件 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 1. 忽略定义域对称性，直接化简判断；2. 认为定义域关于原点对称的函数一定是奇函数或偶函数 对比：函数，定义域为，但且，为非奇非偶函数 复合余弦函数的奇偶性 对于，当时为偶函数；当时为奇函数 1. 误认为所有余弦型函数都是偶函数；2. 判断时忽略、的取值对奇偶性的影响 对比：是偶函数，是奇函数 奇偶性与图象对称性的关系 偶函数图象关于轴对称，奇函数图象关于原点对称；余弦函数图象的对称轴为，对称中心为 1. 混淆余弦函数的对称轴与对称中心；2. 误将复合余弦函数的对称性质等同于基本余弦函数 对比：的对称轴为，而非 三、题型分类与例题精析 题型1：基本余弦函数的奇偶性判断 题型特征：直接考查及简单变形（如）的奇偶性，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 确定函数的定义域，并判断是否关于原点对称；2. 计算的表达式；3. 比较与、的关系，得出结论。 例题1 判断函数的奇偶性。 解析：1. 定义域：的定义域为，关于原点对称；2. 计算：；3. 比较关系：，因此函数是偶函数。 答案：偶函数 举一反三1-1 判断函数的奇偶性。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. ；3. ，故是偶函数。 答案：偶函数 举一反三1-2 下列函数中，为偶函数的是（） A. B. C. D. 解析：选项A：定义域为，，偶函数；选项B：，偶函数；选项C：且，非奇非偶；选项D：，偶函数。故选ABD。 答案：ABD 举一反三1-3 判断函数的奇偶性，并说明理由。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. ；3. 因为，所以是偶函数。 答案：偶函数，理由见解析 题型2：复合余弦函数的奇偶性判断与证明 题型特征：考查形如的复合余弦函数的奇偶性，需要结合三角恒等变换化简，属于中等基础题型。 解题步骤：1. 确定函数定义域，判断是否关于原点对称；2. 计算的表达式，利用三角公式化简；3. 对比与、的关系，判断或证明奇偶性。 例题2 证明函数是偶函数。 解析：1. 定义域：的定义域为，关于原点对称；2. 计算：；3. 得出结论：，因此是偶函数。 答案：证明见解析 举一反三2-1 判断函数的奇偶性。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. 化简；3. ，故是奇函数。 答案：奇函数 举一反三2-2 函数的奇偶性为（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法确定 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. 化简；3. ，因此是偶函数，选B。 答案：B 举一反三2-3 证明函数是偶函数。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. ；3. ，故，因此是偶函数。 答案：证明见解析 题型3：含参数余弦函数的奇偶性求参 题型特征：已知复合余弦函数的奇偶性，求参数的取值，需要结合奇偶性的充要条件，属于基础拔高题型。 解题步骤：1. 明确函数定义域关于原点对称；2. 根据奇偶性列出等式（偶函数：；奇函数：）或；3. 解方程求出参数的值。 例题3 已知函数是偶函数，求的取值集合。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. 因为是偶函数，所以对任意恒成立；3. 由余弦函数奇偶性的充要条件，得，，因此的取值集合为。 答案： 举一反三3-1 若函数是奇函数，求的一个值。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. 奇函数满足；3. 解得，，取，。 答案：（答案不唯一） 举一反三3-2 已知函数是偶函数，则的取值可以是（） A. B. C. D. 解析：偶函数满足，，选项中和符合条件，故选AC。 答案：AC 举一反三3-3 若函数是偶函数，求的取值是否受限制？并说明理由。 解析：1. 定义域为，关于原点对称；2. 偶函数需满足对任意恒成立；3. 由余弦函数的对称性，可得，，但不是的整数倍，因此无论取何值，都不是偶函数，取值不受限制但无法使函数为偶函数。 答案：取值不受限制，理由见解析 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的奇偶性是（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 解析：定义域为，，符合偶函数定义，选B。 答案：B 2. 多选题 下列函数中，是偶函数的有（） A. B. C. D. 解析：选项A：，偶函数；选项B：，偶函数；选项C：，偶函数；选项D：，偶函数。故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 函数的奇偶性是______。 解析：，定义域为，故为偶函数。 答案：偶函数 4. 解答题 (1) 判断函数的奇偶性。 解析：定义域为，关于原点对称；，因此是偶函数。 答案：偶函数 (2) 证明函数是偶函数。 解析：定义域为，关于原点对称；；，故是偶函数。 答案：证明见解析 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，则的最小正数值为（） A. B. C. D. 解析：奇函数满足，，最小正数值为，选B。 答案：B 2. 多选题 关于函数的奇偶性，下列说法正确的有（） A. 当时，函数是偶函数 B. 当时，函数是奇函数 C. 函数的奇偶性与的取值无关 D. 函数的奇偶性与的取值无关 解析：选项A：时，，，偶函数；选项B：时，，奇函数；选项C：只影响振幅，不影响奇偶性；选项D：影响周期，不影响奇偶性。故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 若函数是偶函数，则______。 解析：偶函数满足，。 答案： 4. 解答题 (1) 判断函数的奇偶性，并说明理由。 解析：定义域为，关于原点对称；且，故且，为非奇非偶函数。 答案：非奇非偶函数，理由见解析 (2) 已知函数是偶函数，求的取值是否有要求？并求此时函数的表达式。 解析：偶函数需满足对任意恒成立，即，，但不是的整数倍，因此无论取何值，函数都不是偶函数，无满足条件的表达式。 答案：取值无要求，不存在这样的偶函数表达式 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 函数的奇偶性是（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 解析：化简，定义域为，，是偶函数，选B。 答案：B 2. 多选题 已知函数满足，则下列说法正确的有（） A. B. 函数图象关于轴对称 C. D. 函数在上单调递减 解析：由知是偶函数，故，图象关于轴对称，；选项D不一定成立，如时单调递增。故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题 设函数是偶函数，其中为常数，则的取值范围是______。 解析：偶函数满足，即恒成立，与的取值无关，故。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数是偶函数，求的取值集合。 解析：化简，偶函数满足，解得，，取值集合为。 答案： (2) 定义在上的函数满足，判断的奇偶性。 解析：由得 ①；用代替得 ②，①和②等价；若是奇函数，则即不恒成立；若是偶函数，则即，满足条件，故是偶函数。 答案：偶函数 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 47.余弦函数的奇偶性判断与证明（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数的奇偶性定义 ￮定义表述：设函数的定义域为，且关于原点对称，若对任意的，都有，则称为奇函数；若对任意的，都有，则称为偶函数。 ￮数学符号/表达式： 奇函数：，； 偶函数：，。 ￮关键特征：① 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要前提；② 奇函数图象关于原点中心对称，偶函数图象关于轴轴对称。 ￮跨章节关联：适用于二次函数、幂函数、三角函数等各类初等函数的奇偶性判断。 2. 【概念2】余弦函数的奇偶性 ￮定义表述：余弦函数的定义域为，关于原点对称，且满足，因此是偶函数。 ￮数学符号/表达式：，。 ￮关键特征：① 定义域为全体实数，天然关于原点对称；② 图象关于轴中心对称；③ 复合余弦函数的奇偶性需结合定义域和的化简结果判断。 ￮跨章节关联：可与函数的单调性、周期性结合考查，也可用于三角恒等变换的化简与证明。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 奇偶性的前提条件 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 1. 忽略定义域对称性，直接化简判断；2. 认为定义域关于原点对称的函数一定是奇函数或偶函数 对比：函数，定义域为，但且，为非奇非偶函数 复合余弦函数的奇偶性 对于，当时为偶函数；当时为奇函数 1. 误认为所有余弦型函数都是偶函数；2. 判断时忽略、的取值对奇偶性的影响 对比：是偶函数，是奇函数 奇偶性与图象对称性的关系 偶函数图象关于轴对称，奇函数图象关于原点对称；余弦函数图象的对称轴为，对称中心为 1. 混淆余弦函数的对称轴与对称中心；2. 误将复合余弦函数的对称性质等同于基本余弦函数 对比：的对称轴为，而非 三、题型分类与例题精析 题型1：基本余弦函数的奇偶性判断 题型特征：直接考查及简单变形（如）的奇偶性，无复合结构，属于基础题型。 解题步骤：1. 确定函数的定义域，并判断是否关于原点对称；2. 计算的表达式；3. 比较与、的关系，得出结论。 例题1 判断函数的奇偶性。 举一反三1-1 判断函数的奇偶性。 举一反三1-2 下列函数中，为偶函数的是（） A. B. C. D. 举一反三1-3 判断函数的奇偶性，并说明理由。 题型2：复合余弦函数的奇偶性判断与证明 题型特征：考查形如的复合余弦函数的奇偶性，需要结合三角恒等变换化简，属于中等基础题型。 解题步骤：1. 确定函数定义域，判断是否关于原点对称；2. 计算的表达式，利用三角公式化简；3. 对比与、的关系，判断或证明奇偶性。 例题2 证明函数是偶函数。 举一反三2-1 判断函数的奇偶性。 举一反三2-2 函数的奇偶性为（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法确定 举一反三2-3 证明函数是偶函数。 题型3：含参数余弦函数的奇偶性求参 题型特征：已知复合余弦函数的奇偶性，求参数的取值，需要结合奇偶性的充要条件，属于基础拔高题型。 解题步骤：1. 明确函数定义域关于原点对称；2. 根据奇偶性列出等式（偶函数：；奇函数：）或；3. 解方程求出参数的值。 例题3 已知函数是偶函数，求的取值集合。 举一反三3-1 若函数是奇函数，求的一个值。 举一反三3-2 已知函数是偶函数，则的取值可以是（） A. B. C. D. 举一反三3-3 若函数是偶函数，求的取值是否受限制？并说明理由。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的奇偶性是（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 2. 多选题 下列函数中，是偶函数的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 函数的奇偶性是______。 4. 解答题 (1) 判断函数的奇偶性。 (2) 证明函数是偶函数。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数是奇函数，则的最小正数值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数的奇偶性，下列说法正确的有（） A. 当时，函数是偶函数 B. 当时，函数是奇函数 C. 函数的奇偶性与的取值无关 D. 函数的奇偶性与的取值无关 3. 填空题 若函数是偶函数，则______。 4. 解答题 (1) 判断函数的奇偶性，并说明理由。 (2) 已知函数是偶函数，求的取值是否有要求？并求此时函数的表达式。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 函数的奇偶性是（） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 2. 多选题 已知函数满足，则下列说法正确的有（） A. B. 函数图象关于轴对称 C. D. 函数在上单调递减 3. 填空题 设函数是偶函数，其中为常数，则的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知函数是偶函数，求的取值集合。 (2) 定义在上的函数满足，判断的奇偶性。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $