2025-2026学年沪教版（上海）九年级数学第一学期期末（一模）冲刺卷

2025-2026学年九年级数学上学期期末一模冲刺卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 1、（2025·上海闵行·预测）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，顶点坐标为．据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 2、（2025·上海杨浦·期末）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选：． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，D是的边上一点，，如果向量，，那么向量用向量、表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．根据，得出，再根据平面向量的减法法则求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 4、（2024·上海浦东新·期末）如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用两边成比例且夹角相等证明，即可判断A、B、D选项，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； C．无法推出， 故选项错误，符合题意； D．∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意， 故选：C． 5、（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列说法错误的是（　　） A．如果与都是单位向量，那么 B．如果，那么或 C．如果（为非零向量），那么 D．如果，（为非零向量），那么与平行 【答案】C 【知识点】实数与向量相乘、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、如果与都是单位向量，那么，A选项正确，不符合题意； B、如果，那么或，B选项正确，不符合题意； C、如果（为非零向量），那么，故C选项不正确，符合题意； D、∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行． 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 6、（24-25九年级下·上海·月考）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求； 当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7、（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 8、（2024·上海普陀·一模）化简： ． 【答案】/ 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9、（2025·上海杨浦·一模）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果．解题的关键：已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 10．（2025·上海崇明·一模）小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】50 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为， ∴他行走的水平宽度为米， 由勾股定理得，， 解得，，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用）——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 11、（2025·上海黄浦·一模）如图，已知梯形中，E、F分别是腰、上的点，，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．延长交于G，证明，则，，设，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：延长交于G， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴设， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 12、（2025·上海金山·期末）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 千米． 【答案】52 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“”是解题的关键，注意单位的统一． 设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，依题意得： ， ， 厘米千米， 故答案为：52． 13、（2025·上海青浦·预测）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可得出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴二次函数的图像开口向下，且函数值有最大值． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14、（2025·上海崇明·期末）点是线段的黄金分割点，如果，那么较长线段的长是 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割点．熟练掌握黄金分割点的定义，是解题的关键． 15、（2024·上海·真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 16、（2025·上海青浦·一模）在中，，正方形的边在边上，顶点D、F分别在边、上．如果，那么正方形的边长是 ． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由，四边形是正方形，顶点F在上，得，，可证明，得，而，，所以，则，所以，求得，则正方形的边长是2，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， ∵，四边形是正方形，顶点F在上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴正方形的边长是2， 故答案为：2． 17、（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 18、（2023·上海宝山·二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 【答案】或 【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”， 则 ∴ ∴ ∴； 当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线， 作于E，则， ∵，∴，∴， ∵，，，，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得，解得． 综上，的长等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 31．（2025·上海崇明·预测）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案． 【详解】，，，， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键． 20、（2024·上海徐汇·一模）如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设． (1)用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、向量的线性运算 【分析】（1）根据平行四边形的性质 且．且，根据三角形法则得出； （2）作，，根据平行四边形法则，得出向量为向量分别在向量、方向上的分向量，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且．且 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作,，根据平行四边形法则， 向量为向量分别在向量、方向上的分向量 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键． 21、（2025·上海奉贤·模拟）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 22、（2023·上海松江·一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆的高度．如图，他先在点处放置一个高为米的测角仪（图中），测得旗杆顶部的仰角为，再沿的方向后退米到点处，用同一个测角仪（图中），又测得旗杆顶部的仰角为．试求旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】旗杆的高度约为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】如图所示，延长，交于点，则，设，则，，在中，根据三角函数值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于点，则， 由题意得，，，，， 设，则，， 在中，， ∴，解得，即（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高度约为米． 【点睛】本题主要考查仰俯角测量高度，理解图示中角与线的关系，掌握仰俯角测量高度的方法，三角函数值的计算方法是解题的关键． （2025·上海杨浦·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，，垂足为点，点是边上一点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接与交于点，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的判定，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，正确理解题意是解题的关键： （1）先根据平行四边形的性质得出，推出，再证明，进而可得出结论； （2）连接，先证明，再证明，再推出，进而可得出结论 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）如图： 连接， 四边形是平行四边形， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． 24、（2025·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 25、（2023·上海闵行·模拟）如图，在中，，，以为边作（点D、A在直线的异侧），且满足，． (1)求证：； (2)设点E为边的中点，连结并延长交边于点F，当为直角三角形时，求边的长； (3)设，，求y关于x的函数解析式并写出定义域． 【答案】(1)见详解 (2)或 (3)y关于x的函数解析式为，定义域为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可知，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意可分：①当时，②当时，然后分别画出图形，进而根据含30度直角三角形的性质及三角函数可进行求解； （3）如图，过点作，交于点，过点作于点，利用等腰梯形和三角函数建立y与x的函数关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意可分：①当时， ∵点E为边的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在上取一点G，使得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 过点C作于点H， ∴，， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，或； （3）解：如图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， 且与不平行, ∴ 四边形是梯形． ， ∴ 四边形是等腰梯形． ， 由， ， 过点作于点， ， 在中，，， ， ， 又，且，， ， 整理得， 定义域：由，得，即， 综上，y关于x的函数解析式为，定义域为． 【点睛】本题主要考查函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末一模冲刺卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 1、（2025·上海闵行·预测）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2、（2025·上海杨浦·期末）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，D是的边上一点，，如果向量，，那么向量用向量、表示为（   ） A． B． C． D． 4、（2024·上海浦东新·期末）如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（   ）    A． B． C． D． 5、（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列说法错误的是（　　） A．如果与都是单位向量，那么 B．如果，那么或 C．如果（为非零向量），那么 D．如果，（为非零向量），那么与平行 6、（24-25九年级下·上海·月考）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7、（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 8、（2024·上海普陀·一模）化简： ． 9、（2025·上海杨浦·一模）如果，那么 ． 10．（2025·上海崇明·一模）小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 11、（2025·上海黄浦·一模）如图，已知梯形中，E、F分别是腰、上的点，，如果，那么 ． 12、（2025·上海金山·期末）第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 千米． 13、（2025·上海青浦·预测）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是 ． 14、（2025·上海崇明·期末）点是线段的黄金分割点，如果，那么较长线段的长是 ． 15、（2024·上海·真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 16、（2025·上海青浦·一模）在中，，正方形的边在边上，顶点D、F分别在边、上．如果，那么正方形的边长是 ． 17、（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 18、（2023·上海宝山·二模）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19、（2025·上海崇明·预测）计算： 20、（2024·上海徐汇·一模）如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点．设． (1)用向量、表示向量； (2)求作：向量分别在向量、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 21、（2025·上海奉贤·模拟）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 22、（2023·上海松江·一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆的高度．如图，他先在点处放置一个高为米的测角仪（图中），测得旗杆顶部的仰角为，再沿的方向后退米到点处，用同一个测角仪（图中），又测得旗杆顶部的仰角为．试求旗杆的高度．（参考数据：，，） 23、（2025·上海杨浦·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，，垂足为点，点是边上一点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接与交于点，如果，求证：四边形是菱形． 24、（2025·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 25、（2023·上海闵行·模拟）如图，在中，，，以为边作（点D、A在直线的异侧），且满足，． (1)求证：； (2)设点E为边的中点，连结并延长交边于点F，当为直角三角形时，求边的长； (3)设，，求y关于x的函数解析式并写出定义域． 学科网（北京）股份有限公司 $