专题训练 导数的几何意义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题训练 导数的几何意义（详解版） 必备知识： 【1】函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【2】补充说明：(1)切线与曲线的交点不一定只有1个；(2)切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关；(3)f′(x0)的正负决定增减，|f′(x0)|的大小决定快慢． 【3】利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 专题训练： 一、单选题 1．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据函数单调性和导数正负的关系，可判断，，，再根据在该点处切线倾斜角的大小，可比较，即可得出最终答案. 【详解】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以； 故选：D． 2．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线斜率的定义、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先求出函数的导函数，得到函数在处的导数值；再根据导数的几何意义、直线的倾斜角和斜率之间的关系即可求解. 【详解】由可得：. 所以. 设曲线在点处的切线的倾斜角为， 则，解得. 故选：C 3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义可知为该点切线的斜率，由图可知处的切线斜率比处的切线斜率大，为两点处的斜率，比较即可得出. 【详解】根据导数的几何意义，如图， 分别表示在点处切线的斜率，又因为 由图可知 故选：B. 4．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、导数的运算法则、直线的倾斜角、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于-1，结合的范围，得到答案. 【详解】，设， 则曲线在点处切线的斜率为， 则，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：B 5．已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据和求出即可求解. 【详解】依题意有，， 又，即， ，，. 故选：D. 6．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，则对求导有， 故在处切线的斜率为，则由在直线上可得， 解得，故. 故选：C 7．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式“1”的妙用求最值、已知切线（斜率）求参数 【分析】据题意，由导数的几何意义代入计算，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，则，令，可得， 结合题设，将代入，得，即， 则， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值是， 故选：D. 8．设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线斜率的定义、导数的运算法则、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得. 【详解】令，求导得，则切线的斜率为， 由的倾斜角小于，得切线的斜率或， 即或， 解得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题 9．（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】直线的倾斜角、基本（均值）不等式的应用、斜率与倾斜角的变化关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以． 因为，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，所以． 又因为，所以． 故选：CD． 10．（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（   ） A．             B．             C．             D． 【答案】CD 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】切线倾斜角的正切就是曲线的导数，只要判断导函数的取值范围即可. 【详解】，， 依题意：，， ∵倾斜角的取值范围是，∴， 故选：CD. 11．已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 【答案】ACD 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义可得. 【详解】选项A：联立和2，得， 所以直线与曲线相切，故A正确； 选项B：由，得，由，得，故B错误； 选项C：由，得，令，得， 则，所以切线方程为，即，则， 令，得，则， 所以切线方程为，即，则， 所以，故C正确； 选项D：当时，，令， 则，设过原点的直线与曲线切于点， 则切线方程为， 将原点代入得，整理得， 则，解得或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求点到直线的距离 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 13．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则 . 【答案】2 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】根据导数几何意义可知，点在切线上，计算可求得. 【详解】由，得， 所以，又在切线上，所以， 解得，所以. 故答案为：. 14．若函数在点，处的切线互相平行，则 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由条件结合导数的几何意义列方程可得结果. 【详解】由题意，，所以， ， 由于在点，处的切线互相平行，所以， 即，，，检验符合. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】导数的乘除法、求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】（1），因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. （2）设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 16．已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 导数的几何意义（学生版） 必备知识： 【1】函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【2】补充说明：(1)切线与曲线的交点不一定只有1个；(2)切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关；(3)f′(x0)的正负决定增减，|f′(x0)|的大小决定快慢． 【3】利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 专题训练： 一、单选题 1．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（    ） A．1 B． C． D． 6．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 7．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（   ） A．             B．             C．             D． 11．已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 三、填空题 12．曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 13．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则 . 14．若函数在点，处的切线互相平行，则 . 四、解答题 15．已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 16．已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $