8.1.1 向量数量积的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 学习目标 A.T B.2m 6 3 1.理解向量数量积的含义及其物理意义 C.3m D. 4 6 2.知道向量的投影与向量数量积的几何 (2)已知△ABC中，AB=4,BC=2,AB. 意义 BC=-4,则向量BC与CA的夹角为 3.掌握数量积的定义及运算性质，并会 利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等 向量AB与CA的夹角为 问题 分析 (1)由平面向量的夹角公式计 算夹角的余弦值再求角 要点精析 (2)先由向量的数量积公式计算B, 再由平面几何性质计算∠ACB,∠BAC,最 川要点1平面向量的夹角 后求向量的夹角 给定两个非零向量a,b,在平面内任选 反思感悟 一点0，作0A=4,0B=b,则称[0，π]内 求平面向量的夹角的方法与技巧： 的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作 (1)已知平面向量的长度和数量积， (a,b〉. 利用夹角余孩公式计算cos(a,b)=ab (1)两个向量夹角的取值范围是[0， Γlab1’ T],且(a,b)=b,a). 若是特殊角，再求向量的夹角。 (2)在△ABC中，注意三角形的内角 (2)当(a,b)=?时，称向量a与向量 与平面向量的夹角的区别和联系，常常利 b垂直，记作a⊥b. 用几何图形确定是“相等”还是“互补” 例1(1)已知向量lal=2,b=V3,的关系. 且b=-3,则(a,b》=() 60)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 b=0,则lac=b·cl;③a,b共线→ab=albl: 变式训练1 ④lallbl<a-b;⑤a…aa=lalP;⑥a2+b2≥2ab; (1)若两个单位向量的数量积等于-1， ⑦向量a,b满足ab>0,则a与b的夹角为 则这两个单位向量的夹角为( 锐角；⑧若a,b的夹角为0，则blcos0表示 A.0 B.5 c.9 D.T 向量b在向量α上的投影的数量.其中正确 的是 (填序号) (2)已知a是单位向量，且3a·b=b1, 则sin(a,b)= 川要点3平面向量数量积的几何意义 要点2与向量数量积有关的概念 例3 (1)已知向量b的模为1，且b 例2(1)以下四种说法中正确的是 在a上的投影的数量为V3,则a与b的 2 (填序号) 夹角为( ①如果ab=0,则a=0或b=0;②如果 A.30° B.60° 向量a与b满足ab<0,则a与b所成的角 C.120° D.1509 为钝角；③在△ABC中，如果AB·BC=0, (2)已知平面向量la=2,b=6且ab= 那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与 -4,则a在b上投影的数量为 ,b b是两个单位向量，则a2=b2 在a上投影的数量为 (2)已知等腰三角形ABC的底边BC长 分析 (1)向量b在a上的投影的数 为4，则BA.BC= 量为blcos(a,b),再求向量的夹角 反思感悟 (2)先由平面向量数量积的公式计算 (1)在书写数量积时，a与b之间用实 cos(a,b),再计算投影的数量 心圆点“.”连接，而不能用“×”连接， 反思感悟 更不能省略不写。 关于平面向量数量积的几何意义的两 (2)求平面向量数量积的方法 点注意事项： ①若已知向量的模及其夹角，则直接 (1)向量a在b所在直线上的投影是 利用公式a·b=lallblcos0. 一个向量，向量a在b所在直线上的投影 ②若已知一向量的模及另一向量在该 的数量是一个实数. 向量上的投影，可利用数量积的几何意义 (2)向量4在向量b上的投影的数量 求b. 是lalcos(a,b),向量b在向量a上的投影 的数量是blcos(a,b),二者不能混为一谈. 变式训练② 给出下列判断：①若a2+b2=0,则a=b= D变式训练③ 0;②已知a,b,c是三个非零向量，若a+ (1)如图，圆心为C的圆的半径为r, 61 N 高中数学必修第三册人教B版 弦AB的长度为2，则AB· 数学文化 AC的值为() B.2r 向量a与b的外积axb是一个向量，其 A.r C.1 D.2 变式训练3图 、 长度等于laxb=lallblsin(a,b〉，其方向正交 (2)已知向量a在向量b上的投影的数 于a与b,并且(a,b,axb)构成右手系. 量是2，b=3,则ab= 特别地，0xal=lax0l=0.此外，对任意向量 a,axa=0. 62)学参考答案。 V,由于第一次到达平衡位置的时间为0.5s,因此由M点 而2.4-1.6-0.8s,.∴.经过1min后摆球在点0处. 第一次到达V点的时间为1s,由V处摆动到平衡位置是 数学文化 第二次到达平衡位置，用时0.5s,到达M点用时0.5s,从 点M再次达到平衡位置点O,即第三次到达平衡位置又用 例50【解析】据F=5V2sin100mt-)知0= 时0.5s.故第三次经过平衡位置的时间为1+0.5+0.5+0.5= 2.5(s). 10mads,该通信信号的周期为石=n=02s,则 变式训练3解：由题知，该摆球摆动一个来回需用时3.2s, .1min=60s=(18×3.2+2.4)s, 这种道信信号在Q5s内往复传输的次数为2一-x0 0.021 50(次). 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 >m8.1向量的数量积 4×2=8. 变式训练2①②⑥⑧【解析】由于a2≥0，b2≥0，若 8.1.1向量数量积的概念 a+b2-0,则a-b=0,.①正确： 要点精析 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量， 例1(1)D(2)90°150°【解析】(1)：向量1al=2, ac=bc,lac=bcl,②正确； hV5,且a0-3.osa,-=8喻 a,b共线台→a·b=±labL,.③不正确： 2 对于④，应有lab≥a·b,.④不正确： 又a,b)e[0,T],a,b=5元.故选D. 对于⑤，应该是a·a·a=laPa,.⑤不正确： 6 a2+b2≥2lalb1≥2a·b,⑥正确； (2)在△ABC中，AB=4,BC=2,AB·BC=4,Ai 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0,⑦不正确； IBC'lcos(AB,BC)=-4,4x2cos(T Iblcos0表示向量b在向量a上的投影的数量，·.⑧正 B)=-4,cosB=7,得B=60 确.综上可知①②⑥⑧正确. 例3(1)A(2)-子-2【解析】(1)：向量b的模 如图，延长BC到D,使CD=BC 则△ABD为等边三角形，.AC⊥BC ∠BAC=30°，向量BC与CA的夹角 为1，且方在a上的投影的数量为Y,则tleos(a,.b D1 为90°，AB与CA的夹角为150°， 例1答图 ,得cosa,b=a,be0.,a,b 2 变式训练1(1)D(2)2Y2【解析】(1)设两个： 3 =晋30、故选A 单位向量分别为e1,e2,则e1e2=cos(e1,e2》=-1,由于 (2)平面向量la=2,b=6且ab=-4,allblcos(a, (e1,e2)e[0,π]，.(e1,e2)=m.故选D.(2)a是单位 向量，且3ab=ibl,则3lalb1cos(a,b)=lb1,得cos(a,b) b)=-4,得csa,b)=号a在b上投影的数量为a =号又sin2a,b+cosa,b1.得sima.b=8 cosa,b=号，b在a上投影的数量为lcos(a,.b=-2 0≤(a,b}≤m,in(a,b)=2Y2 变式训练3(1)D(2)6【解析】(1)如图，取AB 3 的中点H,连接CH,则向量AC在AB 例2(1)③④(2)8【解析】(1)由数量积的定义知 上的投影的数量为AH=AC Icos∠CAB, ab=lallbl-cose0(为向量a,b的夹角). .AB.AC=IABI.IACIcos CAB=IABI. ①若a·b=0,则0=90°或a=0或b=0,故①错误： ②若ab<0,则0为钝角或0=180°，故②错误； A=2.故选D. ③由AB·BC=-0知B=90°，故△ABC为直角三角形，故 (2)向量a在向量b上的投影的 数量是2，b=3,则ab=lallblcos(a,b) ③正确： 变式训练3答图 =(lalcos(a,b))Ib=2x3=6. ④a=la=1,b2=lbP=1,故④正确， 8.1.2向量数量积的运算律 (2)如图，过点A作AD⊥BC, 垂足为D.MB=AC,BD=BC-2, 要点精析 例1④【解析】两个非零向量a,b垂直时，ab=0,故 于是B☒·cos∠ABC=BD=号BC- ①不正确； 例2答图 当a=0,b⊥c时，ab=bc-0,但不能得出a=c,故② 号×4-2，B,BC=BA'BCIcosLABC= 不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正