7.3.3 余弦函数的性质与图象-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数。 7.3.3余弦函数的性质与图象 学习目标 ①y=-2cosx-l,②y=201:③y= 1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数 cosx-3cosx+2 的周期、单调区间和最值. 2.会用五点法、图象变换法作余弦函数 和y=Acos(ωx+p)的图象。 要点精析 川要点1余弦函数的定义域和值域 求三角函数式的函数值域的类型主要有： (1)y=Asin(ox+p)型，值域为[-A, A](A>0). (2)y=asinw+也或y=acosx+地型，解决 csinx+d ccosx+d 这类问题的常用方法：反解sinx(或cosx), 得到sinx=f(y)(或cosx=f(y)),再利用 Isinl≤1（或lcosxl≤1），列出f(y)川≤1，解 出y的范围，即为所求函数的值域： (3)y=sinc+型，一般用数形结合法 反思感悟 ccosx+d (1)求与余弦函数有关的定义域时注 求解 意结合余弦函数的图象 (（4)y=asin'x+bsinx+c(或y=acos2x+ (2)与余弦函数有关的值域的求法. bcosx+c)型，可以通过配方法转化为二次 ①直接法.利用y=cosx的有界性或已 函数在区间sinx∈[-l,1]上的最值求解. 知x的范围求y=cOsx的值域 (5)y=sinr+a(a>0)型，转化为利 ②反解法.也是利用有界性，但是要把 sinx 函数反解成cosx=g(y)的形式，再用-1≤ 用函数y=x+卫(p>0)型函数值域（最值）， g(y)≤1，解得y的范围 即利用函数的单调性 ③换元法.令t=c0sx,整体换元，换元 例1(1)求f代x)=V2cose-1的定义域. 后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如 (2)求下列函数的值域： 一次函数、二次函数、对数函数等 学 43 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1 ⑧变式训练2 求下列函数的最大值和最小值！ 判断下列函数的奇偶性， (1)y=2c0s+1 (1)y=V1-cosx +Vcosx-1 cosx-2 2)=2cos2+号，xe- 2y=sn2+空 6,6 川要点2余弦函数的性质 例2判断下列函数的奇偶性。 (1)f(x)=sin(cosx); +os+3 (2)fx) 1-cos 例3求下列函数的周期！ (1)y=-2cos-7-1;(2)y=cos3x+ sin2x. 反思感悟 (I)复合函数yfg(x)的奇偶性， yf()与t=g(x)只要有一个为偶函数， 则y=fg(x)为偶函数. yft)与t=g(x)二者均为奇函数，则y= f八g(x)为奇函数. (2)判断函数的奇偶性时，应先确定 定义域的对称性，然后化简，最后判断 44)学 第七章三角函数。 反思感悟 例4求下列函数图象的对称轴、对称 (I)一般地，函数y=Acos(ox+p）(x∈ 中心. R)(其中A,w,P为常数，且A≠0， (1)y=2cos- 0≠0)的周期为T=2m.今后，可以使用这 个公式直接求这个函数的周期 (2)cow3+月 6/1 (2)两个三角函数和（或差）的周期。 如果f(x)的周期为T,P(x)的周期为 T2,T与T2的“最小公倍数”为T,则 F(x)=f(x)±p(x)的周期为T 如fx)=sin(-3x)+cos子x,sn(-3x)的 周期为，c0s子的周期为，变与 3 3 3, 4m的“最小公倍数”为4 故所求函数 的最小正周期为4 变式训练3 反思感悟 求下列函数的周期， 关于函数y=Acos(ωx+p)的对称性：将 (1)y=3cos4+5: wx+p看作整体，代入到y=cosx的对称中 心、对称轴的表达式，可以求出函数y= (2)y=2c0s5-2x: Acos(ωx+p)的对称中心、对称轴】 B变式训练④ 已知函数x)的图象和y=sm+于】 关于点年，0对称，则f(x)的表达式是 Ay=cosx+牙 B)=c0s年 C.y=-cos D.y=csx-平 学 45 N 高中数学必修第三册人教B版 例5求函数y=c0s2x-牙的单调递增 (2)c0s(-828)与c0s(-765°). 区间和周期： 反思感悟 比较两个三角函数值的大小时，首先 将函数名称统一，再利用诱导公式将角转 化到同一个单调区间内，通过函数的单调 性进行比较 反思感悟 D变式训练6 对于y=Acos(owx+p)的单调区间的求 不求值，比较下列各对余弦值的大小， 法，先将ωx+p看作一个整体，然后根据三 (1)cos1155°和cos(-1516°)； 角函数的单调性，确定x的范围即为所求 单调区间 (2)c0s- 2与c0s3m 变式训练5 (1)函数y=3-2cosx的单调递增区间为 (2)函数y=1+cosx,x∈[-T,2m]的 单调递增区间为 川要点3余弦函数性质的应用 例6比较下列各数的大小」 ()cos与cos 46)学 第七章三角函数。 川要点4作余弦函数的图象 数学文化 例7已知函数f(x)=Acos(ox+p)+b 例我国著名数学家华罗庚先生曾说： A>0,w>0,lol<T的大致 “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形 2 结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的 图象如图所示，将函数f(x〉 学习和研究中，常用函数的图象研究函数的 的图象上点的横坐标拉伸为 性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图 原来的3倍后，再向左平移 象特征.如函数y=-2cos2x+cosx+1,x∈ 个单位，得到函数g(x)的 2 -牙，受的图象大致为() 图象，则函数g(x)的单调递 图7-3-6 增区间为() -3π+3km,3kπ A. (k∈Z) 2 B.3k,3跳m+3}eZ c7年+3km,-4+3km (k∈Z) 4 D.平+3m, T43k (k∈Z) 4 B变式训练⑦ 已知函数f(x)=Acos(wx+P)(A>0,w> 0,0<φ<T)的部分图象如图所示 (1)求f(x)的解析式； (2)者xe9,m,函数e)的值岐 为3,3， 求m的取值范围. 图7-3-7 学(472x+受=3m=石，=号将最高点坐标（号，2）代入 y=2n号4p,得2sin晋+9)-2，小石-2m+号，ke Z,“=2k+牙，keZ.由-m<4<m知，p=于.此函数的 解析式为y-2n(子+写 方法二（起始点法）：函数y=Asin(ox+p)的图象一般 由五点法作出，而起始点的横坐标x正是由ox+p=0解得 的，故只要找出起始点的横坐标就可以迅速求得角口. 由题中图象求得=子=受，9=w=-号×受引 =受又A-2.此函数的解析式为)-2sn子+号， 方法三（平移法）：由图象知，将y=2sin子x的图象沿 x轴向左平移牙个单位，就得到本题图象，故所求函数的 解析式为y-2n号+号小，即-2sm号+写} 变式训练6解：由题图可知，A=V3-(V3)-V3, 7T=2x0-牙)=m,w=2严-2，y=V3sin(2x+p),由题 图可知，当x=牙时，y=V3sin(子πe=0,则子m+0= 2km(keZ),9-2水m-号mkeZ,p可以取-号， 函数的一个解析式为)=V3sin2x-号π上 例7解：(1)f(x)为偶函数，p=km+7,又pe(0, m,=罗 (2)fx)=sin(2x+p)关于=对称，f0)f4 即sinp=sin7+9=cop,tane=l,p=km+牙(keZ).又 pe0,m),g牙，f)=sn2x+平月 由2x+牙+受(keZ),得x=经+贺(keZ),由 2x+晋=6m,得=经-智(e2,)的对称轴方程为 =红+智eZ),对称中心为经-哥，0e2 变式训练7②8【解析】123sin2x7号上3sin石) 号，等)3sn暂-号}-0，故①错，②正确 令-7+2km≤2x-牙≤7+2km,keZ,解得-亚+hm≤ x≤径+h,ke乙，故③正确.函数y=3sin2:的图象向右平 移牙个单位，得到函数)=3sin2x-写)=3sin2x-2)的图 参考答案。 象，故④错 变式训练8)户30sin0-受+35【解折】设=4 tsin(otg)+ B,曲题意可得4=30,0=额=高·B=30x2+5-30=35, :(0,5)为最低点，代入可得5=30sinp+35,sin9=-1,p= -受+2km,6=0时，g=受.=30sin10-受+35. 变式训练9解：)由题设的数据可得48，故A口 3,6=1,周期7=2，故w=石，故y3in君9+1.= 4时，y=l4,3sin2e)+1=l14,sn(+e-l.ok 受，4=石y3sm君4-若+11 (2)令y≥7.545=125，则3sn石+-石}+11≥125，得 sm后-看)≥分g+2m≤君4君≤语+2，keZ, 6 即2+12k≤t≤6+12k,keZ.t∈[0,24]，2≤t≤6或 14≤t≤18，故船舶至多能在港内停留16h. 数学文化 例解：(1)设该函数为f(x)=Asin(ox+p)+B(A>0, w>0,lpkT),其中x=1,2,…,12. 根据①，可知这个函数的周期是12； 由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)=400, 故该函数的振幅为200： 由③，可知f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)=100, .∴.f(8)=500. 根据上述分析可得2石=12，故0=石.又A-200,则 B=500-200=300. 当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，故 sn2x君e=-1,且m8x君9)-l.又pkm,故g=-g ·.入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为 f)-20 hsin(4300(al,2,,12) (2)由条件，可知20m石x-石)+30≥400，化简 得m(君≥分 2 即2冰m+g≤君-≤2k+语，keZ.解得12k+ 6≤x≤12k+10,k∈Z. x∈N,且1≤x≤12，故x=6,7,8,9,10,即客栈 在6,7,8,9,10这五个月要准备400份以上的食物. 7.3.3余弦函数的性质与图象 要点精析 例1解：(1)由2cosr-1≥0，知cosr≥7，作出)=cosx 在xe[-m,m]的图象知2km-写≤x≤2km+写，keZ, 41 N 高中数学必修第三册人教B版 定义域为2km-于≤x≤2km+霄，keZ (2)①.-1≤c0sx≤1，.-2≤-2c0sx≤2，.-3≤-2c0sx- 1≤1. .函数y=-2cosx-1的值域为[-3,1]. ②hy2,可得（1-2=高 ≠ko≤1，ox≤1.“a艺71，即3 y2 4+1≥0.y≤兮或y≥1.函数y=的值镜为 (←0,3]U[1,+o). ③令t=cosx,xeR,te[-l,1].原函数可化为 y-342=-号}户子易知谈二次函数的图象开日向上， 且对称轴为直线号，E[-1,】为二次函数的单调速 减区间. t=-1时，ymx=6;t=1时，ym=0..函数y=cos2x- 3cosx+2的值域为[0,6]. 变式训练1解：(1)方法一：y=2c0+-2+5 cosx-2 coSx-2 -1≤c0sx≤1，-5≤5 2s-,-32t5 COS4-2 号m-gm3 方法=：由，每得c=咎1 cos≤1，-1≤2y+1≤1，解得-3≤y≤↓. -2 Ymin=-3. (2)-看≤≤晋，0≤2x+号≤，-1≤ 2cos(2x+号≤2.当cos2x+号)=l,即x=-石时，ym2, 当cos2+号）=7，即x=石时，ym=-l. 例2解：(1)定义域为R,f-x)=sin(cos(-x)=sin(cosx) f(x),∴f(x)为偶函数. (2)cosf+3=cos+号)F-5m.fc)归 1+sinr≠0，sinx≠-l,x≠2km-受(keZ).定义域 为xxeR,x≠2km-受，eZ},不关于原点对称，原 函数为非奇非偶函数. 安式训练2解：由2001=2 (keZ).定义域关于原点对称，而此时0.=V1-cosx+ Vcosx-1既是奇函数又是偶函数. (2)fx)=sin子+受=-cos子，其定义蚊为R. f(-x)=-cos子到=-cos及f(x).函数f(x)= 42 s血（子+受）为佣函数 例3解：(1)y=-2cs7-1=-20s2+1小，六函数 周期T=2m=4m. 2 (2)=c03x的周期7=2牙，in2:的周期7=2牙 T=否，1=西的最小公倍数是，7=2m 3 变式训练3解：y=Acos(ox+p)(A≠0，ω≠0)的周期 为7下2m lwl )1=2年=受 2)哥-m 例4解：()由宁+兮m+号(heZ,得站+ 2 罗（传eZ,函数y=2c0s宁+写的图象的对称中心 为3kπ+，0)kez). 由兮+号meZ,得=(3-1meZ,六函 数y=20s写+写)的图象的对称轴为直线=3-1)元 (k∈Z). (2)由3x+石m+受(eZ).得x=智+写e Z),函数y=2os3+石)的图象的对称中心为 (+g,0)kez). 由3+后知低eZ,得x=智-西ke2,两数 )=之c0s3+号)的图象的对称轴是直线=写西ke2)· 变式训练4B【解析】本题主要考查利用函数的对称性求 解析式，设M(x,y)是所求函数y=f(x)图象上任意一点， 则点M关于点（牙，0）的对称点为M(受x,y小，代入 已知函数解析式中有y=sin受+平=sin[受-x-牙] cosx-牙)，则=-cos-4故选B. 例5解：设u=2x-号，则u是x的增函数，而)=c0su在 区间[2kT-T,2kπ](k∈Z)上单调递增，故当2kπ- m≤2-号≤2 kr (keZ),即xekm-号，km+君](keZ) 时，J=c0s2-号)单调递增，故函数)=c0s2-号)的单调 递增区间是km-号，k+君]化eZ.周期2上证=受=m 变式训练5(1)[2km,+2km](keZ)(2)[-T, 0],[π，2r]【解析】(1)y=3-2cosx与y=3+2cosx的单 调性相反，由y=3+2cosx的递减区间为[2kT,T+2kπ] (k∈Z),=3-2cosx的递增区间为[2hm,π+2kπ](k∈ Z). (2)函数y=1+cosx的单调递增区间为[2kT+T,2π+ 2km](k∈Z),[2kT+m,2r+2kπ]∩[-T,2r]=[-T, 0]U[π，2π]，，y=1+cosx的单调递增区间为[-T,0], [T,2m]. 例6解：（)os8-c0s800<品m,而 c0sx在[0，m]上是减函数，0s贺>cos哥，即cos8】 cos0 (2)c0s(-828°)=c0s(-1080°+252°)=c0s252°，c0s(-765°) =cos(-1080°+315°)=cos315°，.180°<252°<315<360°，且 y=cosx在[180°，360°]上为增函数，.c0s252°<cos315° 即cos(-828°)<c0s(-765°). 变式训练6解：(1)cos1155°=cos(3×360°+75)=cos75° cos(-1516°)=c0s1516°=c0s(4×360°+76°)=cos76°，.y= cosx在[0°，90]上是递减的，且0°<75<7690°，∴c0s75 cos76,即c0s1155>cos(-1516）. 2)cos-2号cos2 3 ,y=cosx在[0，π]上是递减 的，且0k<<m,cos要>os9,即cos-2k cos (3)co()cos )coc os4+号=cos号，yo在[0，m】上是递减的， 且0<要<3平<m,0s>e0s平，即cosl7)< 例7C【解折】依题意位3.每得价子，故fe) 2osow)-l,丽f侣)l,号-山，号B 故T=m=2红，则w=2,寸x)=2c0s(2x+p)-l.2os石0） -1l,故君p=2mkeZ.又ok空.故g-石，“x) =2c0s2x-石）-山.将函数f代x)的图象上点的横坐标拉伸为 原来的3倍后，得到y-2c0s子石}-1，再向左平移受 个单位，得到g6)-2cos号+号-石}1-2os号+g1. 令-T+2km≤号+晋≤2m(ke2),故-7牙+3m≤ x≤-开+3km(keZ), 故函数gx)的单调递增区间为[7平+3站m,-牙+3m 参考答案。 (keZ).故选C. 变式训练7解：（山）由图可得A=3,1上4×等+子=4， 00.0=2牙=受f)3co(号p小的图象经 过点号3.3cos个否+p]3,-w-2kmke ),=2hm+eZ)0<0<m,p=,x) =3os+2 2）9m.9≤受+≤4) 3 3 的值域为多.3小4≤受+≤解得9≤m≤ 3 3 8故m的取值范用为.8 数学文化 例B【解析】y=-2cosx+c0sx+1,xe[-罗，受]是 偶函数，图象关于y轴对称，A,D错误：又当xe受，受] 时，cosx∈[0,1]，y=-2c0s2x+c0sx+1=-(2c0sx+1)(cosx-1) ≥0，C错误.故选B. 7.3.4正切函数的性质与图象 要点精析 例1解：变使m有意文，须满足≠m号，ke乙 l1-tanx≠0， k≠km+受，keZ,。 m+受，keZ, ·.原函数的定义 tanx≠1， ≠6m+，keZ 域为：≠hm+受且x≠km+平，keZ tanx≥l, 变式训练1解：根据题意，得lan+石)≠0： +君≠7+6m(keZ). +hm≤x<受hm, 4 解得≠-石+6m, (k∈Z). *罗Wn 函数的定义域为[牙+km,哥+hm)U(写+m,受 kT(k∈Z). 例2解：y=snc在[牙，牙]上是增函数，y=anx在 [平，牙]上也是增函数，函数y=sin+anr在[平，牙] 上是增函数. 当x=-牙时，函数有最小值，m=sin←牙)+an(-平》 43