7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

7.2.2单位圆与三角函数线 要点精析 例1解：(1)在直角坐标系中 作单位圆如图所示，以Ox轴正方 向为始边作2π的终边与单位圆 3 交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足 为M,由单位圆与Ox正方向的 交点A作Ox轴的垂线与OP的 反向延长线交于点T,则sin 3 例1答图 MP,cos2=0,am受=A7,即2的正弦线为证，余 3 弦线为0，正切线为A7 (2)同理可作出-3π的正弦线、余弦线和正切线，如 图所示」 sm-)=np,cos平)-0w,am-平)=AT， 即-3亚的正弦线为MP,余弦线为Om,正切线为A7, 变式训练1解：“平<k受 如图所示，由三角函数线可得 sinl>Y2>cos,故sinl- cos1>0. 例2解：(1)-2π≤0≤ 3 石，0的终边对应区鼓如图 变式训练1答图 1,在由OB转向OA的过程中，sin0的值在第三象限为负，在 第四象限为负，在0=-T时，正弦线MB=R,故最小值为 -1;在第一象限时，正弦线取正值且不断增大，故在= 6 时取最大值】 ..-1≤sin≤ 2 1 120°4y 30 MO 图1 图2 例2答图 (2)画出角0的终边对应区域，如图2，当角0的终边 从OA转向OB时，tan0的值在第一象限为正，正切线越来 越长到无穷，n9≥Y;am0的值在第二象限为负。 由90°→120°的过程中，正切线越来越短，到OB时，an0= MN=-V3,tan0≤-V3,tan0∈(-o,-V3]U 参考答案。 [,* 变式训练21，之)【解析】 角α的终边对应区域如图中阴 影部分，角的终边在从OA转 向OB的过程中，其余弦线OM 越来越短，然后变成负值，在 α=π时取最小值-1，然后又增 大.os71≤c0< 变式训练2答图 例3解：(1)如图1所示，过点A0,之)作x轴的平 行线，与单位圆交于P,P点，则sin xOP=-sin∠x0P= L0P石，∠0P=g 6 满足条件的所有角a的集合是@0a=石+2km或a-+ 6 2kT,k∈Z: 0 图1 图2 例3答图 (2)如图2所示，过点BY,0作x轴的垂线， 与单位圆交于点P,P,则cos∠0P=cos乙sx0P=Y, ∠x0P石，∠xOP=-石满足条件的所有角a的集合是 61 @g+2km≤a≤君+2km,keZ 6 变式训练3解：(1)作直线=Y3交单位圆于A,B 2 两点，连接OA,OB,则OA与OB围成的区域（阴影部 分)即为角α的终边的范围，如图1.故满足条件的角α的 集合为a2km+T≤a≤2km+2红，keZ. 3 3 图1 图2 变式训练3答图 (2)作直线x=-2交单位圆于C,D两点，连接0C与 33 N 高中数学必修第三册人教B版 OD,则OC与OD围成的区域（阴影部分）即为角α终边 的范围，如图2.故满足条件的角a的集合为d2km+2织≤ 3 a≤2m+,keZ 例4解：如图所示 41.0) M.M 例4答图 (1)MPMP且MP与MP都与y轴正方向一致， sin子m>sin号m. (2)1AT>AT1且AT与AT都与y轴正方向相反， am子aan 2π 5 变式训练4cos6r<sin2红< 5 5 am罗【解折】由图可知cos< 0.tan20.sin 220.ik 5 国六，故cosg<sin牙<tam号 例5证明：如图所示，设角α的 变式训练4答图 终边交单位圆于P,过点P作PM 的 垂直于x轴，垂足为M.过点A(1, /终边 O)作单位圆的切线交OP于点T, 连接PA,则sina=MP,ana=AT, C:SA0PS审形P<S△0ar,∴)0A: M MP<2a0A<20AAr又0A=l, (1,0) .'.MP<a<AT,.'.sina<a<tana. 变式训练5证明：当角α的终边在 例5答图 x(y)轴上时，正弦线（余弦线）变 成一个点，而余弦线（正弦线）的长 等于r(=1),此时Isinal+-Icosal=-1. 当角α的终边落在某一个象限内 时，如图所示，利用三角形两边之和 大于第三边有Isina+-lcosal=MP+OM>1, 变式训练5答图 综上有Isina+-lcosa≥1. 变式训练6C【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第 一、二、三象限的弧，在AB上，tana>sina,不满足；在CD 上，tana>sina,不满足；在EF上，sina>0,cosa<0,tana<0, 且cosa>tana,满足；在GH上，tana>0,sina<0,cosa<0, 不满足.故选C 34 数学文化 例解：动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运 动，点P按逆时针方向每秒转石弧度，点Q按顺时针方向 6 每秒转11π弧度，而单位圆的周长为2m,则P,Q两点每 6 一秒相遇一次，则P,Q两点在第2019次相遇时，经过了 2019秒，点P转过的弧度数为π2019=673m=168x2m+ 2 受，故点P位于y轴的正半轴上，即点P位于点(0,1) 处，即P(0,1) 7.2.3同角三角函数的基本关系式 要点精析 例1解：tana=-2,∴a是第二或第四象限角，又由 tana=-2 sina=-2cosa. ①当a为第二象限角时，m2a1→5cosa=l. sin'a+cos a=1 cosa<0,∴.c0sa=- V5 ,sina=-2×-V5= 5 2V5 5 ②当α为第四象限角时， (sina=-2cosa, →5cos2a=1. sin'a+cos'a=1 .'coso>0...cosa=V5,sina=-2x=-2V5 5 5 综上可知，当a为第二象限角时，co=-V5 5 sna=2Y5,当a为第四象限角时，coa=写，inw 5 -2V5 5 变式训练1解：：cosa=-8<0,a是第二或第三象限的 17 角如果a是第二象限角，那么smu=VHcoa--音 15 0==了。点如果a是第三象限角，同理 5 cosa 8 8 17 7,tano= 可得sina=-V-cosa=-l5, 8 例m2解：1)原式2个号2三 5+3tana 53x- 6 (2)原式= 2sinasinecomSco 2tama-tana5 sin'a+cos'a tan'a+1 103 Γ201 sin'a+cos'a tan'a+1 (3)原式=snam+cosa-sinacosa-an+1-tana第七章三角函数。 7.2.2 单位圆与三角函数线 点M重合，点T与点A重合，此时，正弦 学习目标 线和正切线都变成了一点，它们的数量为 1.理解单位圆、有向线段的概念 零，而余弦线0M1=1或-1；当角a的终边 2.学会用与单位圆有关的有向线段，将 在y轴上时，正弦线MP=1或-1，余弦线变 任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出 成了一点，它表示的数量为零，正切线不 来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来. 存在。 3.通过三角函数的几何表示，进一步加 例1分别作出2红和-3π的正弦线、 深对数形结合思想的理解，拓展思维空间. 4 余弦线和正切线！ 要点精析 川要点1三角函数线 对于三角函数线的理解应注意： (1)三角函数线是表示一个角的三角函 数值的几何方法，是对任意角的三角函数定 义的一种“形”上的补充，它们的大小（即 长度)等于角的三角函数的绝对值，要特 别注意它们均有方向.记法：当两个端点都 在x轴上时，以原点为起点（余弦线）；当 两个端点有一个在x轴上时，以x轴上的点 为起点（正弦线、正切线），三角函数值的 正负与轴的方向才相同。 反思感悟 (2)正切线都是过点A(1,0)作圆的 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到 切线与角α终边或反向延长线相交所成的有 角的终边与单位圆的交点，然后过此交点 向线段.当角α终边在第一、四象限时，正 作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦 切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α 线和余弦线」 的终边的交点所成的有向线段；当角α终边 (2)作正切线时，应从A(1,0)点引 在第二、三象限时，正切线为过点A(1,0): 单位圆的切线交角的终边于一点T,即可 作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点：得到正切线AT，要特别注意，当角的终边 所成的有向线段， 在第二或第三象限时，应将角的终边反向 (3)当角α的终边在x轴上时，点P与：延长，再按上述作法来作正切线 学 17 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1 变式训练2 确定符号：sinl-cosl. 已知牙<a<暂，则cox的取值范围是 3 例3利用三角函数线，求满足下列条 件的角a的集合： )sina=:(2)cow≥V， 2 要点2利用三角函数线求三角函数值 或角的范围 例2 (1)若-2π≤0≤T,确定sin0 3 6 的范围： (2)若30°≤0<90°或90°<0≤120°，确 定tan0的范围. 反思感悟 表示角的集合时要注意终边相同的 角的表示方法，明确角的旋转方向是顺 时针还是逆时针，产生的角是变大还是 变小. 反思感悟 变式训练3 充分利用单位圆画出已知角的范围， 在单位圆中画出适合下列条件的角α终 结合正弦线、余弦线、正切线正确解题， 边的范围，并由此写出角αx的集合： 应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位 置、方向、符号.正弦线为α的终边与单位 )sw≥Y,2)casa≤-号 圆“交点”到x轴的垂直线段，由“垂足” 指向“交点”，与y轴同向为正、反向为 负；余弦线在x轴上，由“原点”指向 “垂足”，与x轴同向为正，反向为负；正 切线在过单位圆与x轴正向的交点的切线 上，由“切点”指向与α终边或反向延长 线的交点，与y轴同向为正，反向为负. 18)学 第七章三角函数。 川要点3比较三角函数值的大小 川要点4证明三角不等式 例4利用三角函数线比较下列各组数 例5设角α是锐角，利用单位圆与三 的大小： 角函数线证明：sina<ax<tana. （Dsn号r与sin号m;2)ta m与 4 tan 5 n. 反思感悟 (1)用三角函数线来解基本的三角不 等式的步骤： ①作出取等号的角的终边： ②利用三角函数线的直观性，在单位 反思感悟 圆中确定满足不等式的角的范围： 利用三角函数线解三角不等式的方法 ③将图中的范围用不等式表示出来。 (1)正弦、余弦型不等式的解法 (2)求与三角函数有关的定义域时， 对于sinx≥b,cosx≥a(sinx≤b,cosx≤ 先转化为三角不等式（组），然后借助三角 a),求解关键是恰当地寻求点，只需作直 函数线解此不等式（组）即可得函数的定 线y=b或x=a与单位圆相交，连接原点与 义域」 交点即得角的终边所在的位置，此时再根 据方向即可确定相应的范围 B变式训练④ (2)正切型不等式的解法 sn受，cos5,am号从小到大的顺 对于tanx≥c,取点（1，c),连接该点 和原点并反向延长，即得角的终边所在的 序是 位置，结合图象可确定相应的范围 学 19 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑤ 数学文化 利用三角函数线证明：Isinal+-lcosal≥1. 例如图所示，在平面 直角坐标系xOy中，动点 A(1.0) P,Q从点A(1,0)出发在 单位圆上运动，点P按逆时 图7-2-5 针方向每秒转亚弧度，点Q按顺时针方向 6 每秒转1m弧度，则P,Q两点在第2019 6 次相遇时，求点P的坐标 分析本题是用数学知识解决相遇问 题，先算出相遇一次所用时间，再计算出总 时间，确定点P的位置，从而确定点P的 坐标 变式训练6 如图，在平面直角 坐标系中，AB,CD EF,GH是单位圆上的 四段弧，点P在其中一 H 段上，角α以Ox为始 边，OP为终边，若tana< 图7-2-4 cosa<sina,则点P所在的圆弧是( A.AB B.CD C.EF D.GH 20)学