7.2.3 平行线的性质 同步练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

7.2.3 平行线的性质 一．选择题 1．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．145° B．135° C．125° D．45° 2．如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 3．如图所示，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若∠DBC＝55°，则∠ADB＝（　　） A．25° B．55° C．75° D．115° 4．如图，直线a∥b，若∠1＝35°，那么∠2的大小为（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 5．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD．若∠ADE＝40°，则∠AED的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，AB∥DE，点C在DE上，AC平分∠BCD，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 二．填空题 7．如图，小明沿箭头所指示的路线行走，经过两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一个拐角∠A＝80°，那么第二个拐角∠B＝　 　 °． 8．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 　 　 °． 9．如图，AB∥EF，BC∥DE，∠BDE＝116°，∠C＝42°，则∠FEC＝　 　 °． 10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A＝100°，∠B＝160°，则∠C的度数是 　 　 ． 11．如图，直线m∥n，过点A作AB⊥n于点B，AC与直线m相交于点C，测得∠1＝109°10′，则∠2的大小为 　 　 ． 三．解答题 12．如图，已知直线a∥b，∠3=131°，求∠1、∠2的度数（填理由或数学式） 解：∵∠3=131° （ 　 　 ） 又∵∠3＝∠1 （ 　 　 ） ∴∠1＝　 　 （ 　 　 ） ∵a∥b （ 　 　 ） ∴∠1+∠2＝180° （ 　 　 ） ∴∠2＝　 　 （ 　 　 ）． 13．阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG、EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD． 证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∴HK∥　 　 （　 　 ）， ∴∠1＝　 　 （　 　 ）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴　 　 +∠4＝180°（　 　 ）， ∴AB∥CD（　 　 ）． 14．补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，试说明DG∥BA． 解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知）， ∴∠BFE＝90°，∠BDA＝90°（　 　 ）， ∴∠BFE＝∠BDA， ∴EF∥AD（　 　 ）． ∴∠2＝∠3（　 　 ）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴　 　 （等量代换）． ∴DG∥AB（　 　 ）． 15．如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD交BE于点F，且∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD． 16．如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°． （1）判断EF与AC的位置关系，并证明； （2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数． 17．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 18．探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3 平行线的性质 一．选择题 1．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．145° B．135° C．125° D．45° 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝55°， ∴∠3＝∠1＝55°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣55°＝125°． 故选：C． 2．如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【解答】解：∵使公路准确接通， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝110°． 即∠α的度数应为110°． 故选：C． 3．如图所示，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若∠DBC＝55°，则∠ADB＝（　　） A．25° B．55° C．75° D．115° 【解答】解：∵AD∥BC，∠DBC＝55°， ∴∠ADB＝∠DBC＝55°（两直线平行，内错角相等）． 故选：B． 4．如图，直线a∥b，若∠1＝35°，那么∠2的大小为（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 【解答】解：如图： ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝35°， ∵∠4＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝55°， 故选：B． 5．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD．若∠ADE＝40°，则∠AED的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ADE+∠BAD＝180°，∠AED＝∠BAE， ∵∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝140°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD＝70°， ∴∠AED＝70°． 故选：C． 6．如图，AB∥DE，点C在DE上，AC平分∠BCD，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【解答】解：∵AB∥DE，∠1＝55°， ∴∠ACD＝∠1＝55°（两直线平行，内错角相等）， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠ACD＝2×55°＝110°， ∵AB∥DE， ∴∠2＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补）， 故选：D． 二．填空题 7．如图，小明沿箭头所指示的路线行走，经过两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一个拐角∠A＝80°，那么第二个拐角∠B＝　80　 °． 【解答】解：∵小明沿箭头所指示的路线行走，经过两次转弯后，和原来的方向相同， ∴小明转弯前与转弯后方向平行， ∵第一个拐角∠A＝80°， ∴∠B＝∠A＝80°． 故答案为：80． 8．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝38°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后的光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 　76　 °． 【解答】解：由条件可知∠ADC＝∠AOB＝38°， 由题意知，∠ADC＝∠ODE， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADC﹣∠AOB＝104°， ∵DC∥OB， ∴∠CDE+∠DEB＝180°， ∴∠DEB＝180°﹣∠CDE＝76°， 故答案为：76． 9．如图，AB∥EF，BC∥DE，∠BDE＝116°，∠C＝42°，则∠FEC＝　74　 °． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴∠BDE+∠B＝180°， ∵∠BDE＝116°， ∴∠B＝64°， ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC＝64°， ∵∠C＝42°， ∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠C＝180°﹣64°﹣42°＝74°． 故答案为：74． 10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A＝100°，∠B＝160°，则∠C的度数是 　120°　 ． 【解答】解：如图所示，过B作BF∥AE， ∵∠A＝100°， ∴∠ABF＝∠A＝100°， 又∵∠ABC＝160°， ∴∠FBC＝160°﹣100°＝60°， ∵AE∥CD， ∴FB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠FBC＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：120° 11．如图，直线m∥n，过点A作AB⊥n于点B，AC与直线m相交于点C，测得∠1＝109°10′，则∠2的大小为 　160°50′　 ． 【解答】解：过点A作AD⊥AB，且点D在AB的右侧，如图所示： ∴∠BAD＝90°， ∵∠1＝109°10′， ∴∠CAD＝∠1﹣∠BAD＝109°10′﹣90°＝19°10′， ∵AB⊥n于点B，AD⊥AB， ∴AD∥直线n， 又∵直线m∥n， ∴AD∥直线m， ∴∠2+∠CAD＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠CAD＝180°﹣19°10′＝160°50′． 故答案为：160°50′． 三．解答题 12．如图，已知直线a∥b，∠3＝131°，求∠1、∠2的度数（填理由或数学式） 解：∵∠3＝131° （ 　已知　 ） 又∵∠3＝∠1 （ 　对顶角相等　 ） ∴∠1＝　131°　 （ 　等量代换　 ） ∵a∥b （ 　已知　 ） ∴∠1+∠2＝180° （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ） ∴∠2＝　49°　 （ 　等式的性质　 ）． 【解答】解：∵∠3＝131° （已知） 又∵∠3＝∠1 （对顶角相等） ∴∠1＝131°（等量代换） ∵a∥b （已知） ∴∠1+∠2＝180° （两直线平行，同旁内角互补） ∴∠2＝49°（等式的性质）． 故答案为：已知，对顶角相等，131°，等量代换，已知，两直线平行，同旁内角互补， 13．阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG、EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD． 证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∴HK∥EG （　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠1＝　∠AKH （　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴　∠AKH +∠4＝180°（　等量代换　 ）， ∴AB∥CD（　同旁内角互补，两直线平行　 ）． 【解答】如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG、EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD． 证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∴HK∥EG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠AKH（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴∠AKH+∠4＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：EG；内错角相等，两直线平行；∠AKH；两直线平行，内错角相等；∠AKH；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 14．补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，试说明DG∥BA． 解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知）， ∴∠BFE＝90°，∠BDA＝90°（　垂直的定义　 ）， ∴∠BFE＝∠BDA， ∴EF∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠2＝∠3（　两直线平行，同位角相等　 ）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴　∠1＝∠3　 （等量代换）． ∴DG∥AB（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【解答】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知）， ∴∠BFE＝∠BDA＝90°（垂直的定义）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠1＝∠3，内错角相等，两直线平行． 15．如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD交BE于点F，且∠A＝∠ADE． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD． 【解答】（1）解：∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EDC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠EDC＝3∠C， ∴4∠C＝180°． 解得∠C＝45°； （2）证明：∵∠A＝∠ADE ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠ABE（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE（等量代换）， ∴BE∥CD（同位角相等，两直线平行）． 16．如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°． （1）判断EF与AC的位置关系，并证明； （2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数． 【解答】解：（1）EF∥AC， 证明：∵∠1＝∠EAB， ∴AE∥DC， ∴∠2＝∠EAC， ∵∠E+∠2＝180°， ∴∠E+∠EAC＝180°， ∴EF∥AC； （2）由（1）得EF∥AC， ∵BF⊥EF， ∴BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， ∵AC平分∠EAB，∠EAB＝60°， ∴∠EAC＝30°， ∵由（1）可知AE∥DC， ∴∠2＝∠EAC＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠2＝90°﹣30°＝60°． 17．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）解：∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2＝∠BAD， ∴∠H＝∠BAD，（等量代换） ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H﹣∠4＝10°， ∴2∠4+10°＝58°， ∴∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 18．探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 【解答】解：（1）∠A+∠C＝∠AEC，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A＝∠AEF， ∴∠C＝∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEC； （2）∠A+∠C+∠AEC＝360°，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A+∠AEF＝180°， ∴∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠C+∠AEF+∠CEF＝360°， ∴∠A+∠C+∠AEC＝360°； （3）∠A＝∠C+∠E，理由如下： 如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DME． ∵∠DME＝∠C+∠E， ∴∠A＝∠C+∠E； （4）∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G，理由如下： 过点F作FH∥AB， 由（1）知， ∠A+∠EFH＝∠E，∠HFG+∠C＝∠G， ∴∠A+∠EFH+∠HFG+∠C＝∠E+∠G， ∴∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G． 学科网（北京）股份有限公司 $