专题08 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

该初中数学讲义通过分类梳理圆的内切圆与外接圆模型构建知识体系，运用示意图呈现三角形（含直角三角形）、四边形的内切圆及外接圆模型的条件、结论与证明过程，清晰展示重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于以中考真题（如苏州期中四边形内切圆半径计算、长沙校考内心与外接圆综合题）为载体，通过模型结论推导培养推理能力，基础题巩固模型应用，综合题提升问题解决能力，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题08 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 例3（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 例4（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ．（2）若，则的半径为 ． 例5（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 例6（2025·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ． 例7（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 模型2.外接圆模型 例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 例2（2025·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 例4（2025·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID 的值为 ． 例5（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结．(1)求证：；(2)若，求的长． 例6（2025·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知，(1)连接，，则______（用含有的代数式表示）(2)求证：；(3)连接，若，求的最小值(4)若，为等腰三角形，直接写出的值． 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，，是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（  ） A． B． C．1 D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，I是的内心，连接，若，，则的面积的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·成都·阶段练习）如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 10．（24-25·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（   ） A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1 12．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 13．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为 ． 15．（24-25·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则 ． 16．（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，若为的直径，求线段的长度． 17．（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 18．（2025·四川绵阳·二模）如图，是的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，． (1)求证：是的切线；(2)如图，延长交于点，点恰好是的内心． ①求证：；②若，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵中，，∴， ∵点是的内心，∴平分，平分， ∴，，∴， ∴，故选：D． 例2（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦，∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，，设，∵，∴，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去），∴设，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴的半径为，故答案为：． 例3（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步，设内切圆的半径为， ∵，∴，解得， ∴内切圆的直径是240步．故选：B． 例4（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ．（2）若，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：（1），，， 是的内心，平分，平分， ，， ，答案为：． （2）作于点，则， ，，即，解得， ，，在中，． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，，，，且， ， 解得：．故答案为：． 例5（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ． 【答案】21 【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H， 则，，且，∴， ∵，，且的周长为， ∴， ∴，∴的周长为，故答案为：21． 例6（2025·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：直线l：，，，，， 的内切圆圆心为，在的角平分线上， 如图，做于点，于点，于点，设半径为， 由作图可得四边形为正方形，，， ，解得：，，的坐标为， ，，，，， ，，，，为等边三角形， ，与的相似比为， 又的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，连接，，，， 在的角平分线上，即，都在的角平分线上， ，，， ，则同理可得横、纵坐标的相似比，的坐标为， 同理：的坐标为，的坐标为， 的内切圆圆心的坐标为，即， 故答案为：． 例7（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：作于M，于N，在上截取，如图： ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵P是的内心，∴，∵， ∴四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴，同理：， ∴， ∵，∴，故选：A． 模型2.外接圆模型 例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 【答案】 【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC， ∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2， ∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC， 则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI， ∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=， 即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，． 例2（2025·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， ∵点是的内心，∴平分，∵，∴， ∵点是外接圆的圆心，∴， ∵，∴，故选：C． 例3（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：延长交于点，连接，   ， ∵是的直径，∴，∴，∴， ∵点I为的内心，∴，， ∴， ∴，，∴， ∵，，∴, ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，故选：D． 例4（2025·四川绵阳·校考一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID 的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：过点作、、的垂线，分别交于点、点、点，设与的交点为点，过点作的垂线，交于点，连接，如图所示 ∵是的内心∴又∵，，， ∴四边形是正方形设，则， ∵，，∴， 在中，∴+∴∴ ∵是的外心∴∴在中， ∵是的内心，∴∴ ∵，∴∴∴， ∵∴在中， 在中， ∴ 故答案为：． 例5（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结．(1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴是的角平分线，∴， ∵是半圆的直径，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； （2）解：如图，过点O作于点E， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴． 例6（2025·重庆·九年级专题练习）内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知，(1)连接，，则______（用含有的代数式表示）(2)求证：；(3)连接，若，求的最小值(4)若，为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)的最小值(4)或时，为等腰三角形 【详解】（1）连接，， ∵点是的内心∴，， ∴ （2）解：如图1所示，连接， ∵点是的内心，∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：因为，所以点为的中点，故点是一个定点． 由（1）的结论，可知，点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，所以当点，，三点共线时，取最小值． 如图2所示，此时为的直径，且为的垂直平分线，，∵  ∴ 在中，∴ 在中，∴∴ 故的最小值 （4）解：∵   ∴   ∴ 分别连接，，记与相交于点， ∵，∴，， ∴是等边三角形同（2）可求得，， ①，如图3所示， 此时  ∴ 而矛盾，故此种情况不成立． ②，如图4所示，过点作，交于点，过点作，交于点， 此时，， ∴，∴ 设，则，∵∴，解得 ∴，∴， ∵∴，即 解得，∴ ③，如图5所示，此时， ∵是等边三角形，∴∴点，，三点共线 ∴为的直径∴∴ 综上所述，或时，为等腰三角形． 1．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为点O是的外心，且，所以， 在中有，， 又因为点I是的内心，所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，，∴， ， ∵为斜边上的中线，∴，∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴，解得：， 同理可得，，解得，∴，故选：D． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，是的内切圆，分别切，，于点，，，，是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵是的内切圆，，是切点，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，为的直径，， 的平分线交于，，， 是的内心，平分，， ，， ，， 点在以点为圆心且半径长为的上运动，该弧所对的圆心角为， ，走过的路径长为，故选：B． 5．（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵四边形内接于，∴，∴， ∵点是的内心，∴平分，平分， ∴，∴， ∴．故选：C． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图： ∵的内心是的中点，∴是的平分线，是的平分线， ∴，，∴， 根据圆周角定理得：，∴， ∴，∵是的外角， ∴，∴，∴， ∵的内心是的中点，∴，∴， ∵点是直线上的动点，根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，两点间的距离为最小，最小值是线段的长， ∵是半圆的直径，，在中，由勾股定理得：， ，， 在中，，， ∴两点间的距离的最小值为，故选：D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，I是的内心，连接，若，，则的面积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：过I作于H，于E，于F， ∵是直径，∴，∴四边形是矩形， ∵I是的内心，∴，∴四边形是正方形， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵∴，即，解得：，∴， 在和，，∴，∴，， ∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴的面积的值为．故选C． 8．（24-25九年级下·成都·阶段练习）如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵是的内切圆，∴分别平分， ∴，∴， ∴，故选：C． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，    ，，，， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ，四边形是正方形，， ， ，．故选：C． 10．（24-25·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是的内切圆,、、 是的切线， 又切于点K，、、、、，    的周长为： 设，，， 则、、， 解得，的周长为：．故选D． 11．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（   ） A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1 【答案】D 【详解】解：由作图可知：平分，故选项A正确； ∵是的内切圆，∴点为三角形三条角平分线的交点，∴点在射线上，故选项B正确； 连接，则：， ∵，∴四边形为正方形， ∴，，∴，故选项C正确； ∵，，，∴，设的半径为，则：， ∴，∴，∴，故选项D错误；故选D． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【详解】解：如图，连接，点是的内心，平分， ，， 点是外接圆的圆心，， ，，故答案为：． 13．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心，∴，、、，∴四边形是正方形， ∵中，，，，∴， 设，，， 则，解得：，∴， ∵点O为的外心，∴，∴， ∴．故答案为． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：设交于点F，连接，作于点L，则， ∵I是的内心，∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，， ∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∴；同理，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 15．（24-25·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则 ． 【答案】14.3 【详解】如图，过点A作交于点D， ∵，，∴是等腰三角形，∴， ∵点I是的内心，点O是的外心，∴点I、点O都在直线AD上， 连接OB、OC，过点I作交于点E，设，， 在中，，∴，， 在中，，解得：， ∵，，∴， ∴，即，  解得：，∴， ∴．故答案为：14.3． 16．（2025·四川达州·一模）如图1，是的内接三角形，是的内心，连接并延长交于点、交于点，连接、、，已知． (1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，若为的直径，求线段的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是的内接三角形，是的内心，∴，． ∵，∴，∴． ∵，， ∴，∴，即是等腰三角形； （2）解：∵为的直径，∴，∴，． ∵是的内心，∴，∴， ∴，即，∴． ∵，，∴，，∴， ∴，即， ∴，即， ∴，∴，解得：． 17．（2025·福建泉州·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)能， 【详解】（1）解：从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列，两圆的直径为，圆的最大半径为； （2）解：如图，连接，， 设的半径为，在中，， 是的内切圆，，，，，， 又，四边形为正方形，． （3）解：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距， 如图，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点， 则，，在中，， 整理得，解得，当时，，不符题意； 当时，，且， 任务3中圆的最大半径为． 18．（2025·四川绵阳·二模）如图，是的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，． (1)求证：是的切线；(2)如图，延长交于点，点恰好是的内心． ①求证：；②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；② 【详解】（1）证明：∵点是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴，即， ∵，，∴， ∴，∴，即， 又∵是的半径，∴是的切线； （2）①证明：∵点是的内心，∴平分，∴， ∵，，， ∴，∴； ②)解：∵，，，，∴， ∴，即，设，则，， ∴，解得：，∴， 在中，，，即，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∴或（负值不符合题意，舍去），∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $