第3章 三视图与表面展开图（知识清单）数学浙教版九年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“三视图与表面展开图”单元内容，涵盖投影（平行投影、中心投影）、三视图（概念、画法、还原几何体）、表面展开图（圆柱、圆锥）三大知识范畴，搭建了从概念辨析到技能应用再到综合实践的递进式学习架构。 清单采用“知识点分类+易错要点标注”的方式构建知识体系，将平行投影、中心投影的结论与三视图“长对正、高平齐、宽相等”原则系统整合，培养学生的空间观念和推理意识。特别设计“易错要点提示”和“典型例题解析”，如标注“圆柱侧面展开图长方形长为底面圆周长”，不同层次学生可高效掌握，教师可结合实例设计分层教学，提升课堂效率。

第3章 三视图与表面展开图 1.物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 2.由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光线、探照灯的光线都可以看成平行光线，由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 3.由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. (3)在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 4.三视图的概念 （1）视图:从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面:用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图:物体在正投影面上的正投影叫做主视图；在水平投影面上的正投影叫做俯视图；在侧投影面上的正投影叫做左视图. 产生主视图的投射线方向也叫做主视方向.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 5.（1）位置关系:三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 　　（2）大小关系:三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的“长对正”，主视图与左视图的“高平齐”，左视图与俯视图的“宽相等”的原则.如图(2)所示. 6.画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　(4)几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 7.由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 8.由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析： (1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高； (2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线； (3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助； (4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 9.表面展开图:将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. 10.圆柱的表面展开图 如下左图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（BC）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体.AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆.AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论旋转到哪个位置，都是圆柱的母线. 如果沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图.一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆柱的表面展开图如上右图所示. 由图可知，圆柱的侧面积公式为：.全面积公式为：. 11.圆锥的表面展开图 圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边AB不论旋转到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. 一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周长2πr的扇形，如图，由此我们可以得到圆锥的侧面积和全面积公式： . . 若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则由，得到圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：. 1.平行投影的实际应用 易错要点：平行投影时，不同高度的物体的影长不同，满足：，其原理为相似三角形的对应边成比例。 例1 （24-25九年级下·河北邢台·月考）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 2.中心投影的实际应用 易错要点：中心投影时，类似于相似三角形中的位似问题，只要对应边成比例即可。 例2 （24-25九年级上·全国·期末）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是（　　） A． B． C． D． 3.判断几何体的三视图 易错要点：首先注意区别主视图、左视图与俯视图；其次要确定好正视方向。一些特别的图形，存在： （1）正方体三个视图都是正方形、球的三个视图都是圆； （2）主视图和左视图一样的几何体是长方体、圆柱和圆锥等。 例3 （25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4.根据三视图计算几何体的长宽高、体积或表面积 易错要点：首先要根据三视图确定是什么几何体，再明确三视图中所标数值表示的是几何体中长宽高的哪个数据，将其转化为几何体的数据，从而求出几何体的体积和表面积。 例4 （2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 5.小正方体组合体的三视图 易错要点：（1）在确定小正方体个数时注意被遮挡的小正方体。 （2）在画小正方体组合体的三视图时注意区别主视图和左视图。 （3）不能只通过三视图中的其中两个图就确定了小正方体的数量和摆放方式，还应该用第三个图进行验证。 例5 （24-25九年级上·河南郑州·月考）若干个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位置小正方体的个数： (1)请画出该几何体的主视图与左视图． (2)现在还有一些相同的小正方体，如果要保持俯视图和主视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 6.在棱柱的侧面求最短路径 易错要点：一般步骤： （1）展开侧面展开图和两个底面 （2）确定展开图中各线段长 （3）确定是否翻过容器口：若翻过容器口，则需要沿着侧面长作对称图形。 （4）根据两点之间线段最短，连结线段并求值。 （5）如下图所示，长方体中存在点A和点B，从点A到点B的最小路程，只要将其展开即可，图1、图2、图3分别是不同的展开方式，再结合勾股定理分别求出AB的长，比较大小即可。 7.圆柱的表面展开图 易错要点：圆柱的表面展开图是底面的两个圆和侧面的长方形，并且侧面长方形的长为底面圆的周长。 例6 （25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 例7 （25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 8.圆锥的表面展开图 易错要点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，作为扇形它有自己的半径，也就是圆锥的母线长。因此要主要区别底面圆的半径和侧面展开扇形的半径。圆锥展开图中，各数据有相互关系，最主要的关系如下：L h （1） 侧面展开扇形弧长L=底面圆形周长2πr； （2） 底面面积S底=πr²，侧面面积S侧=πrl； （3）圆锥的高h、底面半径r和母线长l构成直角三角形，因此有. 例8 （24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 1．（25-26七年级上·河南南阳·月考）下列现象中，属于中心投影的个数是（    ） ①皮影；②台灯下笔的影子；③太阳光下圭表的影子；④探照灯下人的影子． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）分别从前面、左面和上面看某个立体图形，得到如图的平面图形，那么该立体图形是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱 4．（25-26七年级上·山西运城·月考）图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数是 ． 7．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是 ． 8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 9．（25-26九年级上·四川达州·期中）杨柳食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数     1 2 3 4 … 碟子的高度（单位：） 2 3.5 5 6.5 … 现在分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度为 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 11．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 12．（25-26九年级上·江西新余·月考）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 三视图与表面展开图 1.物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 2.由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光线、探照灯的光线都可以看成平行光线，由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 3.由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. (3)在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 4.三视图的概念 （1）视图:从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面:用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图:物体在正投影面上的正投影叫做主视图；在水平投影面上的正投影叫做俯视图；在侧投影面上的正投影叫做左视图. 产生主视图的投射线方向也叫做主视方向.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 5.（1）位置关系:三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示. 　　（2）大小关系:三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的“长对正”，主视图与左视图的“高平齐”，左视图与俯视图的“宽相等”的原则.如图(2)所示. 6.画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　(4)几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 7.由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 8.由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析： (1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高； (2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线； (3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助； (4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 9.表面展开图:将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图. 10.圆柱的表面展开图 如下左图，圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边（BC）旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体.AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆.AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论旋转到哪个位置，都是圆柱的母线. 如果沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面“剪开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图.一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆柱的表面展开图如上右图所示. 由图可知，圆柱的侧面积公式为：.全面积公式为：. 11.圆锥的表面展开图 圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边（AC）旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体.直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面.斜边AB不论旋转到哪一个位置，都叫做圆锥的母线. 一般地，一个底面半径为r，母线长为l的圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周长2πr的扇形，如图，由此我们可以得到圆锥的侧面积和全面积公式： . . 若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，则由，得到圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：. 1.平行投影的实际应用 易错要点：平行投影时，不同高度的物体的影长不同，满足：，其原理为相似三角形的对应边成比例。 例1 （24-25九年级下·河北邢台·月考）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得， 故选：C． 2.中心投影的实际应用 易错要点：中心投影时，类似于相似三角形中的位似问题，只要对应边成比例即可。 例2 （24-25九年级上·全国·期末）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心投影，位似三角形的性质，根据位似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：由题意可知与是位似图形，且， ∴位似比为， ∴， ∴． 故选：D． 3.判断几何体的三视图 易错要点：首先注意区别主视图、左视图与俯视图；其次要确定好正视方向。一些特别的图形，存在： （1）正方体三个视图都是正方形、球的三个视图都是圆； （2）主视图和左视图一样的几何体是长方体、圆柱和圆锥等。 例3 （25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上边看得到的图形是解题的关键． 【详解】解：从上边看，该几何体的俯视图是一个矩形加一条实线， 故选：A． 4.根据三视图计算几何体的长宽高、体积或表面积 易错要点：首先要根据三视图确定是什么几何体，再明确三视图中所标数值表示的是几何体中长宽高的哪个数据，将其转化为几何体的数据，从而求出几何体的体积和表面积。 例4 （2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是几何体的体积及由三视图判断几何体，解题的关键是先判断几何体的形状，然后求其体积． 由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积． 【详解】解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为，， 所以棱柱的体积为：． 故选：C． 5.小正方体组合体的三视图 易错要点：（1）在确定小正方体个数时注意被遮挡的小正方体。 （2）在画小正方体组合体的三视图时注意区别主视图和左视图。 （3）不能只通过三视图中的其中两个图就确定了小正方体的数量和摆放方式，还应该用第三个图进行验证。 例5 （24-25九年级上·河南郑州·月考）若干个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位置小正方体的个数： (1)请画出该几何体的主视图与左视图． (2)现在还有一些相同的小正方体，如果要保持俯视图和主视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据俯视图中各位置小正方体的个数来确定主视图和左视图的形状即可； （2）在保持俯视图和主视图不变的前提下，分析可添加小正方体的位置和数量即可得解． 本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握由俯视图确定主视图和左视图的方法以及根据视图不变确定可添加小正方体数量的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：主视图有列，每列小正方体的个数分别为，，； 左视图有列，每列小正方体的个数分别为，； 主视图与左视图如下， （2）解： 要保持俯视图和主视图不变， ∴ 最多可以再添加个小正方体 故答案为：． 6.在棱柱的侧面求最短路径 易错要点：一般步骤： （1）展开侧面展开图和两个底面 （2）确定展开图中各线段长 （3）确定是否翻过容器口：若翻过容器口，则需要沿着侧面长作对称图形。 （4）根据两点之间线段最短，连结线段并求值。 （5）如下图所示，长方体中存在点A和点B，从点A到点B的最小路程，只要将其展开即可，图1、图2、图3分别是不同的展开方式，再结合勾股定理分别求出AB的长，比较大小即可。 7.圆柱的表面展开图 易错要点：圆柱的表面展开图是底面的两个圆和侧面的长方形，并且侧面长方形的长为底面圆的周长。 例6 （25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 例7 （25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 8.圆锥的表面展开图 易错要点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，作为扇形它有自己的半径，也就是圆锥的母线长。因此要主要区别底面圆的半径和侧面展开扇形的半径。圆锥展开图中，各数据有相互关系，最主要的关系如下：L h （1） 侧面展开扇形弧长L=底面圆形周长2πr； （2） 底面面积S底=πr²，侧面面积S侧=πrl； （3）圆锥的高h、底面半径r和母线长l构成直角三角形，因此有. 例8 （24-25九年级上·江苏苏州·月考）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 1．（25-26七年级上·河南南阳·月考）下列现象中，属于中心投影的个数是（    ） ①皮影；②台灯下笔的影子；③太阳光下圭表的影子；④探照灯下人的影子． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影．中心投影的光线从一个点光源发出，平行投影的光线平行，根据每个现象的光源特性判断是否属于中心投影，即可作答． 【详解】解：①皮影使用点光源（如灯泡或蜡烛），光线从点发出，属于中心投影； ②台灯下笔的影子，台灯是点光源，光线从点光源发出，属于中心投影； ③太阳光下圭表的影子，太阳光近似平行，属于平行投影； ④探照灯下人的影子，探照灯是点光源，光线从点光源发出，属于中心投影； ∴属于中心投影共3个， 故选：D 2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】解：从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线． 故选A． 3．（25-26七年级上·全国·期末）分别从前面、左面和上面看某个立体图形，得到如图的平面图形，那么该立体图形是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图的基本知识，明确各个几何体的三视图是解题关键． 根据三视图可知左视图和主视图是长方形，俯视图是圆，可得该立体图形为圆柱． 【详解】∵该立体图形的左视图和主视图是长方形，俯视图是圆， ∴该立体图形为圆柱． 故选：C． 4．（25-26七年级上·山西运城·月考）图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．根据主视图和左视图的定义解答即可． 【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个小正方形，第二列看到两个小正方形，第三列可看到一个小正方形； 从左视图来看：第一列有三个小正方形，第二列有一个小正方形． 故符合题意的图形为： 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交的延长线于D，    则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， 在中，． 故选B． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由几何体的三视图来确定组成该几何体的小正方体的个数．需要综合主视图、左视图和俯视图的信息确定个数． 【详解】俯视图反映了几何体最底层小正方体的分布情况，从俯视图可知，最底层有个小正方体，主视图和左视图显示，该几何体有两层，上层只有个小正方体，将最底层和上层的小正方体个数相加，得到组成该几何体的小正方体的总个数，． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据三视图求几何体的体积，等边三角形的性质，勾股定理，由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其高为2，其底面是一个高为的等边三角形，据此求出底边等边三角形的面积，再根据三棱柱的体积计算公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其高为2，其底面是一个高为的等边三角形， 如图所示，是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形；②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形；③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形；画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：①如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ②如图2，把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ③如图3，把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴， 在中，由勾股定理得，； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·四川达州·期中）杨柳食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表： 碟子的个数     1 2 3 4 … 碟子的高度（单位：） 2 3.5 5 6.5 … 现在分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度为 ． 【答案】23 【分析】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，找出碟子个数与碟子高度之间的关系式是此题的关键． 根据三视图得出碟子的总数，由（1）知每个碟子的高度，即可得出答案． 【详解】解：由表格知：看出碟子数为x时，碟子的高度为； 由三视图可知共有15个碟子， ∴叠成一摞的高度， 故答案为：23． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图计算几何体的体积，由三视图还原几何体是解题的关键． 根据三视图可知该几何体为圆锥和圆柱的结合体，进而根据三视图中的数据计算体积即可． 【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体， 其体积为： ． 11．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 12．（25-26九年级上·江西新余·月考）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 【答案】(1) (2)这个圆锥的高是 【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键． （1）利用扇形面积公式计算即可； （2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解∵扇形的圆心角为，半径为， ∴． （2）扇形所对的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴这个圆锥的高是 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $