重难点03 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性7考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

重难点03 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 7大高频考点概览 考点01函数单调性的应用 考点02函数奇偶性的应用 考点03函数周期性的应用 考点04函数的奇偶性与单调性 考点05函数的奇偶性与周期性 考点06函数的奇偶性与对称性 考点07函数性质的综合应用 地 城 考点01 函数单调性的应用 1．（2024秋•广州校级期末）函数的单调增区间为 ． 2．（2025春•深圳期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 3．（2025春•广州期末）若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是 　　． 4．（2025春•深圳校级期末）若函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•阳江期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 6．（2025春•云浮期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•鹤山市校级期末）已知函数，对任意，，，，则实数的取位范围是　　 A． B． C．或 D． 8．（2024秋•光明区校级期末）已知函数在区间上满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 地 城 考点02 函数奇偶性的应用 9．（2025春•龙岗区校级期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•江城区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则　　 A． B．2 C． D．4 11．（2024秋•阳江期末）已知函数是定义在上的奇函数，当，时，，则 　　，（2） 　　． 12．（2024秋•广东期末）已知偶函数，当时，，则当时，　　 A． B． C． D． 13．（2024秋•阳江期末）已知，且，则（3） 　　． 14．（2025春•揭阳期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2024秋•宝安区期末）已知为奇函数，则实数的值是 　　． 16．（2024秋•普宁市期末）若是奇函数，则实数　　． 17．（2024秋•龙岗区校级期末）若是奇函数，则实数　　． 地 城 考点03 函数周期性的应用 18．（2024秋•黄埔区校级期末）函数，则 　． 19．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C． D．1 20．（2024秋•梅州期末）函数的定义域为，满足，且当，时，，则（9） 　　；当，时， 　　． 21．（2025春•广州校级期末）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 　　 ． 地 城 考点04 函数的奇偶性与单调性 22．（2025春•深圳期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•普宁市期末）设偶函数的定义域为，当，时，是增函数，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在，上单调递减．若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 25．（2024秋•江城区校级期末）若定义在上的偶函数在，上单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　 A．， B．，， C．，， D．， 26．（2025春•揭阳期末）已知偶函数在区间，上单调递增，则满足（2）的的取值范围是　　 A． B． C． D．， 27．（2024秋•龙岗区期末）已知函数，则不等式（3）的解集为　　 A．，， B． C． D． 28．（2024秋•罗湖区期末）已知定义域为的函数满足，（1），且时，，则下列说法正确的　　 A．（2） B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 地 城 考点05 函数的奇偶性与周期性 29．（2024秋•深圳期末）设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当，时，，则（5）　　 A． B．0 C．2 D．6 30．（2024春•广州期末）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，若（1），则　　 A．23 B．24 C．25 D．26 31．（2024春•黄埔区校级期末）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则　　 A． B．1 C．2023 D．2024 地 城 考点06 函数的奇偶性与对称性 32．（2025春•龙岗区校级期末）已知函数，则图象上关于原点对称的点有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 33．（2024秋•汕尾期末）函数与的图象关于轴对称，且，，下列判断正确的是　　 A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 34．（2023秋•广州期末）已知奇函数的图象关于直线对称，当，时，，则　　 A． B． C． D． 35．（2024秋•南山区期末）设函数，则“”是“的图象关于对称”的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 36．（2024秋•广州校级期末）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 ． 地 城 考点07 函数性质的综合应用 37．（多选）（2025春•龙岗区校级期末）函数对于任意的，，满足，且，则　　 A．为偶函数 B．4是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 38．（多选）（2021春•番禺区校级期末）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足　　 A． B．是奇函数 C．在，上有最大值 D．的解集为 39．（多选）（2024秋•汕尾期末）已知是函数的一个零点，若，都有，则　　 A． B． C．有最大值 D．是奇函数 40．（多选）（2025春•潮阳区校级期末）已知定义域为，，且，当，时，．则下列说法正确的有　　 A．直线是的对称轴 B．在，上单调递减 C．（1） D．设与图象的第个交点为，，若与的图象有个交点，则 41．（多选）（2025春•揭阳期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，时，，则下列说法中正确的有　　 A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 42．（多选）（2024秋•广东期末）已知函数的定义域为，在，上单调递减，（2），且是奇函数，则下列结论正确的是　　 A． B．（1） C．不等式的解集是， D．不等式的解集是，， 43．（多选）（2024秋•越秀区校级期末）已知函数，的定义域均为，且，，则下列选项一定正确的是　　 A．的图象关于直线对称 B．是奇函数 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 44．（多选）（2022秋•清远期末）已知函数，则下列结论正确的是　　 A．若是偶函数，则 B．若的解集是，则 C．若，则恒成立 D．，，在上单调递增 45．（多选）（2024秋•东莞市期末）我们知道：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，类比以上结论也可得到函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件．已知函数的定义域为，其图象关于直线成轴对称图形，且为奇函数，当时，，则下列说法中正确的是　　 A．的图象关于点成中心对称图形 B．为偶函数 C．的最小正周期为12 D．当时， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 7大高频考点概览 考点01函数单调性的应用 考点02函数奇偶性的应用 考点03函数周期性的应用 考点04函数的奇偶性与单调性 考点05函数的奇偶性与周期性 考点06函数的奇偶性与对称性 考点07函数性质的综合应用 地 城 考点01 函数单调性的应用 1．（2024秋•广州校级期末）函数的单调增区间为 ． 【解答】解：根据题意，， 令，即，解得， 由函数表示开口向下，且对称轴为的抛物线， 在上递增，在上递减， 在上递增， 故函数的单调增区间． 故答案为：． 2．（2025春•深圳期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：根据题意，设，则， 函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立． 所以，解得，即的取值范围为，． 故选：． 3．（2025春•广州期末）若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是 　　． 【解答】解：根据题意，，设，则， 若函数在区间上单调递增，且在上递增， 则在上单调递增且恒成立， 则有，解可得，即的最大值为． 故答案为：． 4．（2025春•深圳校级期末）若函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设，则， 由于且，则在其定义域上递增， 要使函数且在上单调递减， 则，解得，即的取值范围为，． 故选：． 5．（2024秋•阳江期末）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解答】解：因为函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是，． 故选：． 6．（2025春•云浮期末）已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，函数在上是单调函数， 对于，，易得其在，上单调递增，故函数在上单调递增， 则有，即，即的取值范围为，． 故选：． 7．（2024秋•鹤山市校级期末）已知函数，对任意，，，，则实数的取位范围是　　 A． B． C．或 D． 【解答】解：因为对任意， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 即，解得． 故选：． 8．（2024秋•光明区校级期末）已知函数在区间上满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由于在区间上满足， 所以在上单调递减， 所以，即， 解得． 故选：． 地 城 考点02 函数奇偶性的应用 9．（2025春•龙岗区校级期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数， 对于，， 设， 则，所以为奇函数，故符合题意； 对于，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故不合题意； 对于，， 设， 则，不为奇函数，故不合题意； 对于，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故不合题意． 故选：． 10．（2024秋•江城区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则　　 A． B．2 C． D．4 【解答】解：根据题意，当时，，则（1）， 又由为奇函数，则（1）． 故选：． 11．（2024秋•阳江期末）已知函数是定义在上的奇函数，当，时，，则 　　，（2） 　　． 【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，当，时，， 所以，即， 所以，时，， 所以， （2）． 故答案为：；． 12．（2024秋•广东期末）已知偶函数，当时，，则当时，　　 A． B． C． D． 【解答】解：由偶函数，当时，，当时，则， 所以， 所以， 故选：． 13．（2024秋•阳江期末）已知，且，则（3） 　　． 【解答】解：已知，且， 则 ， 则有， 故（3）． 故答案为：7． 14．（2025春•揭阳期末）若命题为奇函数，为偶函数，则是成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：因为为奇函数， 所以，即； 若为偶函数，则，即或， 所以是的充分不必要条件． 故选：． 15．（2024秋•宝安区期末）已知为奇函数，则实数的值是 　　． 【解答】解：根据题意，设，则， 若为奇函数，则， 必有，变形可得或0， 当时，，其定义域为或， 又由，为奇函数，符合题意， 当时，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意， 故． 故答案为：． 16．（2024秋•普宁市期末）若是奇函数，则实数　　． 【解答】解：因为为奇函数， 由奇函数性质可得， 所以， 经检验此时为奇函数． 故答案为：． 17．（2024秋•龙岗区校级期末）若是奇函数，则实数　　． 【解答】解：根据题意，若是奇函数，则，即， 变形可得恒成立， 必有， 故答案为：1． 地 城 考点03 函数周期性的应用 18．（2024秋•黄埔区校级期末）函数，则 　． 【解答】解：根据题意，， 所以（5）（1）， 而（1）； 故． 故答案为：1． 19．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C． D．1 【解答】解：因为函数的定义域为，且，（1）， 所以令，可得， 所以， 所以， 所以， 所以，所以的周期为6， 所以（4）（1）． 故选：． 20．（2024秋•梅州期末）函数的定义域为，满足，且当，时，，则（9） 　　；当，时， 　　． 【解答】解：因为，且当，时，， 所以（9）（7）（5）（3）（1）； 由，可得， 当，时，，， 所以． 故答案为：16；． 21．（2025春•广州校级期末）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 　　 ． 【解答】解：移项平方得：， 令，则， 故也有， 两式相减可得， 所以（1）（3）（5）， 故， 即， 设，， 所以． 故答案为：． 地 城 考点04 函数的奇偶性与单调性 22．（2025春•深圳期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，错误； 对于，由在上递增，在定义域上递增，故在上单调递增函数，错误； 对于，为偶函数，且在上递减，故满足题意； 对于，为偶函数，在上为周期函数，故不满足题意． 故选：． 23．（2024秋•普宁市期末）设偶函数的定义域为，当，时，是增函数，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为函数为偶函数， 所以，（3）， 因为当，时，是增函数， 又， 所以，即． 故选：． 24．（2024秋•龙岗区校级期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在，上单调递减．若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为是定义域为的奇函数，且在，上单调递减， 则根据奇函数性质可得，，在上单调递减，即在上单调递减． 又，则， 则， 即的范围为． 故选：． 25．（2024秋•江城区校级期末）若定义在上的偶函数在，上单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　 A．， B．，， C．，， D．， 【解答】解：因为定义域为的偶函数在，内单调递减，且（2）， 所以在上单调递增，且， 所以当，，时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是，，． 故选：． 26．（2025春•揭阳期末）已知偶函数在区间，上单调递增，则满足（2）的的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【解答】解：因为为偶函数，且在区间，上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在区间，上单调递减， 而（2），则，所以， ． 故选：． 27．（2024秋•龙岗区期末）已知函数，则不等式（3）的解集为　　 A．，， B． C． D． 【解答】解：因为定义域为， ， 即为奇函数， 因为恒成立，即在上单调递增， 由（3）可得（3）， 所以， 解得． 故选：． 28．（2024秋•罗湖区期末）已知定义域为的函数满足，（1），且时，，则下列说法正确的　　 A．（2） B．为减函数 C．为奇函数 D．不等式的解集为 【解答】解：因为定义域为的函数满足，（1）， 所以（2）（1），错误； 任取，则， 因为时，， 所以， 所以，即单调递增，错误； 因为， 所以，即，显然不符合奇函数的性质，错误； 由（1）且为上的增函数， 所以，正确． 故选：． 地 城 考点05 函数的奇偶性与周期性 29．（2024秋•深圳期末）设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当，时，，则（5）　　 A． B．0 C．2 D．6 【解答】解：根据题意可得（5）（1）． 故选：． 30．（2024春•广州期末）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，若（1），则　　 A．23 B．24 C．25 D．26 【解答】解：根据题意，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即有，变形可得①． 又由为奇函数，所以，变形可得②． 由①，②得，， 故有， 由，得（2），又，可得（2）， （1）（3），（2）（4），由（1），得（3）， 故（1）（2）（1）（2）（3）（4）（1）（2）． 故选：． 31．（2024春•黄埔区校级期末）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则　　 A． B．1 C．2023 D．2024 【解答】解：因为为偶函数，所以①， 因为，所以，， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有，所以，所以，所以的周期为8． 因为，所以， 同理，由，得， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，， 所以，， 所以的周期为8，所以， 由，得（1）， 由，得（1）， 所以，所以． 故选：． 地 城 考点06 函数的奇偶性与对称性 32．（2025春•龙岗区校级期末）已知函数，则图象上关于原点对称的点有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【解答】解：当时，关于原点对称后的函数解析式为，， 与有两个交点， 即上有两个点，中心对称后在上． 故选：． 33．（2024秋•汕尾期末）函数与的图象关于轴对称，且，，下列判断正确的是　　 A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，因为函数与函数的图象关于轴对称，而， 那么，所以错误， 对于，，定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，错误， 对于，因为，即， 令，则，所以， 展开整理，则， ， 则有，同时， 所以既不是奇函数也不是偶函数，错误， 对于，因为， 可以看作将向左平移2个单位，再向上平移16个单位得到， 反之，的图象向右平移2个单位，再向下平移16个单位得到， 又由是奇函数，其图象关于原点对称， 则的图象关于点对称，正确． 故选：． 34．（2023秋•广州期末）已知奇函数的图象关于直线对称，当，时，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为为奇函数，且当，时，， 所以，解得：，即当，时，， 又因为的图象关于直线对称， 所以，且 则， 即函数是以4为周期的周期函数， 故． 故选：． 35．（2024秋•南山区期末）设函数，则“”是“的图象关于对称”的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：已知，则， 因为的图象关于对称，所以， 将与相加可得： ， 又因为，即，对于任意，该等式都成立， 所以，解得，将，代入， 可得，解得，此时． 将代入，得，， ， 由即时，， 当时，，此时的图象关于对称， 若时，，的图象不关于对称． 故“”是“的图象关于对称”的必要不充分条件． 故选：． 36．（2024秋•广州校级期末）已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为 ． 【解答】解：根据题意得，在上有解， 即在上有解， 转化为， 即在上有解， 令， 则在上有解， 再令，则在上有解， 函数的对称轴为， 当时，函数在，上递减，在上递增， ， 解得； 当时，函数在上递增， （2），解得； 综上：． 故答案为：，． 地 城 考点07 函数性质的综合应用 37．（多选）（2025春•龙岗区校级期末）函数对于任意的，，满足，且，则　　 A．为偶函数 B．4是函数的一个周期 C．点是图象的对称中心 D． 【解答】解：由题知，于任意的，，， 对于，令，得，所以， 令，得， 即，，所以为偶函数， 所以函数为奇函数，故不正确； 对于，令， 则， 即，， 所以， 所以， 所以周期为4，故正确； 对于，由中， 即， 所以关于对称，且（1）， 又周期为4， 所以（1），故正确； 对于，令， 得（2），即（2）， 令，，得（3）（1），所以（3）， 所以（1）（2）（3）， 故，故正确． 故选：． 38．（多选）（2021春•番禺区校级期末）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足　　 A． B．是奇函数 C．在，上有最大值 D．的解集为 【解答】解：令，则，故，选项正确； 令，则，则，即，故函数为奇函数，选项正确； 设，则，由题意可得，，即， 即，故函数为上的减函数， 在，上的最大值为，选项错误； 等价于，又为上的减函数，故，解得，选项正确． 故选：． 39．（多选）（2024秋•汕尾期末）已知是函数的一个零点，若，都有，则　　 A． B． C．有最大值 D．是奇函数 【解答】解：因为，都有，且（1）， 所以令，，可得，所以， 对于，因为，都有， 所以令，，可得（1），所以， 再令，，可得，所以，故正确； 对于，因为，都有， 所以令，可得（1）， 则（1），故正确； 对于，设函数， 此时（1），，符合题意； 此时，的值域为，则无最大值，故错误； 对于，设， 因为，有， 即，有， 所以，有， 令，则，所以函数是奇函数， 即函数是奇函数，故正确． 故选：． 40．（多选）（2025春•潮阳区校级期末）已知定义域为，，且，当，时，．则下列说法正确的有　　 A．直线是的对称轴 B．在，上单调递减 C．（1） D．设与图象的第个交点为，，若与的图象有个交点，则 【解答】解：根据题意，，可知函数的图象关于对称， 又，则有， 变形可得，故有， 所以4为函数的一个周期． 依次分析选项： 对于，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对于，，，所以函数在，的单调性与函数在，单调性相同， 由，，，且函数为上的奇函数，所以函数在，单调递增，错误； 对于，，（1），（2），（3）（1），（4），则（1）（2）（3）（4） 又（1），所以（1）（2）（1）（2）（3）（4）（1），正确； 对于，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数， 两个函数的交点也关于原点对称，则有，正确． 故选：． 41．（多选）（2025春•揭阳期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，时，，则下列说法中正确的有　　 A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 【解答】解：对于，是偶函数，且为奇函数，，即， ，， 的周期为，选项正确； 对于，由知，的图象关于点对称，选项错误； 对于，的周期，，（4）； 当，时，，（1）， 由，令，得（2），令，得（3）（1）， （1）（2）（3）（4）（1），选项正确； 对于，作出函数与函数的图象，如图所示： 曲线与有8个交点，选项正确． 故选：． 42．（多选）（2024秋•广东期末）已知函数的定义域为，在，上单调递减，（2），且是奇函数，则下列结论正确的是　　 A． B．（1） C．不等式的解集是， D．不等式的解集是，， 【解答】解：因为是奇函数且定义域为， 所以的图象关于对称，即（1），错误；正确； 因为在，上单调递减， 根据函数的对称性可知，在上单调递减， 又（2），则， 由可得，正确； 由可得或， 解得或，正确． 故选：． 43．（多选）（2024秋•越秀区校级期末）已知函数，的定义域均为，且，，则下列选项一定正确的是　　 A．的图象关于直线对称 B．是奇函数 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，若，则有， 若，即，则， 综合可得：，即的图象关于直线对称，正确，错误； 对于，若，则有， 若，则有， 而，则有， 故为偶函数，正确，错误． 故选：． 44．（多选）（2022秋•清远期末）已知函数，则下列结论正确的是　　 A．若是偶函数，则 B．若的解集是，则 C．若，则恒成立 D．，，在上单调递增 【解答】解：对于选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， 即，即对任意的恒成立，则，故正确； 对于选项，若不等式的解集为， 则且、1为方程的两根， 则，解得，故，故正确； 对于选项，若， 则，△， 故不恒成立，故错误； 对于选项，当时， 因为， 则在上单调递增， 当时，函数的对称轴为直线且， 由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， 故，，在上单调递增，故正确． 故选：． 45．（多选）（2024秋•东莞市期末）我们知道：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，类比以上结论也可得到函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件．已知函数的定义域为，其图象关于直线成轴对称图形，且为奇函数，当时，，则下列说法中正确的是　　 A．的图象关于点成中心对称图形 B．为偶函数 C．的最小正周期为12 D．当时， 【解答】解：因为为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，错误； 由的图象关于对称可得，的图象关于轴对称，即为偶函数，正确； 函数关于直线成轴对称，关于对称， 所以最小正周期为，正确； 因为时，， 当时，， 所以， 当时，，， 因为， 所以，正确． 故选：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $