概率统计4 概率最值问题专项训练——2026届高三数学二轮复习

概 率 统 计（4） 概率最值问题 考点一 二项分布，超几何分布最值 1.（江苏南京师大附中2024高三模拟）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 【详解】（1）由可得． （2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， ∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， ∴，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望． （3）用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率， 设周平均阅读时间在内的学生有名，则 ， 所以． 令，解得， 所以当或，最大． 所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名． 2．某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2025年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2024年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： 附：参考数据与公式 ，若 ，则① ；② ；③ . （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得：，利用该正态分布，求： （i）在2024年脱贫工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元? （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少? 【详解】（1）由频率分布直方图可得： ； （2）（i）由题，， 所以满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii）， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X， 恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率 得， 所以当时，，当时，，所以这10002. 3.（2023年东三省二模）位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位. 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． (1)若，求的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 【详解】（1）依题意X服从超几何分布，且， 故． （2）当时，，当时，， 记，则 ． 由，当且仅当， 则可知当时，；当时，， 故时，最大，所以N的估计值为6666． 4.（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系，根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得，由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件， 令该年级的20名同学中1人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ②，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以，即取最大值时的取值为12 总结：求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果 5.（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题能被软件正确应答的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？ 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B， 由题意可知：，则， 所以. （2）由（1）可知：，则，可得， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可得； 所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大. 考点二 概率最值函数问题 1.（2023·山东潍坊·统考模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 【答案】AD【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为， 其中，其中，， 则，故A正确； B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，， 所以生产线乙的食盐质量，故B错误； C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误； D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确. 2.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 3.（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【详解】（1）. （2）设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3） 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 4.（2023·湖北·统考二模）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； (3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． 【详解】（1）记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则   . （2）由题意， ∴ 令，则，当，，为增函数； 当，，为减函数；所以在处取到最大值． （3）记事件B＝“人工检测达标”，则，又， 所以，所以需要对生产工序进行改良． 5.（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 6.（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为. （i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件，且，所以. （ii）的所有可能取值为， 由（i），得，， ，，， 所以. （2）由，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则. 因为， 所以当时，；当1时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，最大，此时，解得，故当时，最大. 7.（2024新课标2）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ，， ，， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理， 因为，则，，则，应该由甲参加第一阶段比赛. 考点三 分布列与数列 1.（2023年长春市三模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束． ①求随机变量的分布列； ②证明：单调递增，且小于3． 【详解】（1）由题设，可取值为1，2，3， ，，， 因此的分布列为 1 2 3 （2）①可取值为1，2，…，， 每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：， 所以时，；当时， 故的分布列为： 1 2 3 … … ②由①知：（，）． ，故单调递增； 由上得，故， ∴， 故． 2.某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 【详解】（1），， 因此的分布列为 1 2 3 4 P （2）（ⅰ）时，第k人必答对第二题，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故. 当时，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故. 的分布列为： 1 2 3 … P … （ⅱ）. ， 故，求得， 故， ∴，① ，② ②①，. 故. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概 率 统 计（4） 概率最值问题 考点一 二项分布，超几何分布最值 1．（江苏南京师大附中2024高三模拟）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 2.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2025年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2024年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： 附：参考数据与公式 ，若 ，则① ；② ；③ . （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得：，利用该正态分布，求： （i）在2024年脱贫工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元? （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少? 3.（2023年东三省二模）位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位. 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． (1)若，求的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 4.（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 总结：求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果 5.（2024·山东日照·一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题能被软件正确应答的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？【详解】（1）记“输 考点二 概率最值函数问题 1.（2023·山东潍坊·统考模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（    ） 附：随机变量，则，，． A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15% B．生产线乙的食盐质量 C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重 D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的 2.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 3.（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 4.（2023·湖北·统考二模）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； (3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． 5.（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 6.（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）已知甲口袋有个红球和2个白球，乙口袋有个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时， （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，则当为何值时，最大？ 7.（2024新课标2）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 考点三 分布列与数列 1.（2023年长春市三模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束． ①求随机变量的分布列； ②证明：单调递增，且小于3． 2.某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $