事件与概率问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习资料聚焦概率统计核心考点，涵盖概率基本性质、古典概型、事件独立性、条件概率及全概率公式等内容，按“性质-公式-应用”逻辑层次架构知识体系。通过考点梳理明确内在联系，方法指导拆解公式推导，真题训练融入新高考真题，帮助学生系统突破概率计算难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计考点突破策略，如考点一通过概率公式间推导训练培养逻辑推理能力，考点四结合2022新高考Ⅰ卷真题解析全概率公式应用。设置分层练习匹配不同难度，配合即时反馈机制，确保学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生构建概率统计解题思维体系。

概 率 统 计（1） 一．普通概率的性质 1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 2：互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 3：对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；特别地， 4：概率的一般加法公式（性质6） 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 5.古典概型概率公式 P(A)＝＝. 二．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 三．条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. （特别地，） 四．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 五．贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 考点一 概率公式间的推导 1.若随机事件A，B满足，则（    ） A． B． C． D． 2.设事件A，B满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3.设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 4.已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 古典概型与事件关系 1.（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（吉林长春东北师大附中2024届五模）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 3.（河南郑州外国语2024高三适应性考试）甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 4.（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是（    ） A． B． C． D． 考点三 相互独立事件 1.（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 2.（多选）（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 3.（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 4.（2024吉林长春东北师大附中高三七模）在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 . 5.（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 考点四 条件概率与全概率 1.（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（贵州贵阳一中2024届高三一模）核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ． 3.（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ） A．，互斥 B． C． D． 4.（2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 5.（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件B与事件相互独立 B． C． D． 6.（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D． 7.（2025贵州省名校协作二模）某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 8.（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 9.（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 10.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为：发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)已知接收的信号为1，且，求发送的信号是0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概 率 统 计（1） 一．普通概率的性质 1：概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 2：互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 3：对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；特别地， 4：概率的一般加法公式（性质6） 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 5.古典概型概率公式 P(A)＝＝. 二．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 三．条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. （特别地，） 四．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 五．贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 考点一 概率公式间的推导 1.若随机事件A，B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】解：由题意知：，得，故. 2.设事件A，B满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由事件A，B满足，则有. 3.设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 4.已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由已知可得，.因为，所以，. 又,所以，.又，所以，. 考点二 古典概型与事件关系 1.（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率. 2.（吉林长春东北师大附中2024届五模）春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 . 【答案】【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，其概率为，至少有两人去南湖且有人去净月的概率为，所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 3.（河南郑州外国语2024高三适应性考试）甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以3科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，当分配方案为2，2，1时，共有种不同的选择方案；当分配方案为3，1，1时，共有种不同的选择方案；所以满足要求的不同选择种数为；所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为 4.（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有种选法， 其和等于15的三个数的种类共有8种，即：（图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为． 故其和等于15的概率是： 考点三 相互独立事件 1.（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个，其中事件有，共12个，事件有，共12个，事件有，共4个基本事件，所以, 所以，故相互独立， 2.（多选）（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（    ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 【答案】ABC【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、， 事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确. 3.（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】元件都不正常的概率，则元件至少有一个正常工作的概率为，而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，所以这个电路是通路的概率. 4.（2024吉林长春东北师大附中高三七模）在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 . 【答案】【详解】若在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为，则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为，由条件概率公式得. 5.（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】若，，则，而，， 所以，所以事件相互独立，反过来，当，，此时，，满足，事件相互独立，所以不一定，所以甲是乙的充分不必要条件. 6.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确 考点四 条件概率与全概率 1.（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则，因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区，则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为，若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁，此时，不同的参观情况种数为，若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，此时，不同的参观情况种数为种， 因此，，由条件概率公式可得. 2.（贵州贵阳一中2024届高三一模）核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ． 【答案】【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件， 事件所取核桃为空壳为事件，则，，，，所以. 3.（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ） A．，互斥 B． C． D． 【答案】C【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，，故B，D均正确；因为，故C错误. 4.（2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【详解】依题意可得，，，，所以，故A正确、B正确、C错误；，故D正确. 5.（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件B与事件相互独立 B． C． D． 【答案】BD【详解】，， 先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球， 先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，， 先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，． ，B对． ，C错．，A错． ，D对． 6.（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D． 【答案】BCD【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，，，，， ，，共种，其概率，故A错误； 满足事件的有，，，，，，，，，，，， ，，，，，，共个，故； 满足事件的有，，共个，所以，故B正确； 满足事件的有，，，，，，，，，，，， ，，，，，，共个，故，满足事件的有，，， ，，， ，，，共个，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确；满足事件的有，，，，，，，共种， 所以，则，故D正确. 7.（2025贵州省名校协作二模）某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅，则,，则, 故, , 则 8.（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以所以， (ii) 由已知，，又，，所以 9.（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：, 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 10.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为：发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)已知接收的信号为1，且，求发送的信号是0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围. 【详解】（1）设A：发送的信号为1，B：接收到的信号为1，则：发送的信号为0，：接收到的信号为0，则，故 ， 故； （2）采用三次传输方案译码为1的概率为， 采用单次传输方案译码为1的概率为，由题意而，故，故. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $