16.3 一次函数 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕一次函数展开，涵盖概念、图象、性质及表达式求解。通过汽车行驶路程、弹簧长度等情境导入，从实际问题抽象变量关系，搭建从具体到数学模型的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以情境创设和合作探究为主，结合数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。如用待定系数法解决温度计问题，强化模型应用，小结系统。学生能提升抽象与应用能力，教师可直接用于课堂提升效率。

16.3 一次函数 16.3.1 一次函数 1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点） 学 习 目 标 问题一 小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己距北京的路程. 情 境 导 入 分析：汽车距北京的路程随着行车时间的变化而变化.要想找出这两个变化着的量之间的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探究这两个变量之间的函数关系式.为此,我们设汽车在高速公路上的行驶时间为t 小时,汽车距北京的路程为s 千米,则不难得到s 与t 之间的函数关系式: s=570-95t. (1) 先找出问题中的变量并用字母表示，再探求变量之间的函数关系式. 情 境 导 入 (2)你能写出y与x之间的关系吗？ y=6+0.3x . （2） 某弹簧的自然长度为6 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.3 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为1 kg,、2 kg,、3 kg、 4 kg、 5 kg 时的长度，并填入下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 6 6.3 6.6 6.9 7.2 7.5 问题2 情 境 导 入 s=570-95t. (1) y=6+0.3x . (2) 大家讨论一下，问题1、2中得到的两个函数关系式（1）、（2）有什么共同点？ 上面的两个函数关系式： 上述函数的关系式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数. 概括 合 作 探 究 一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0. 特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数. 问题1、2 中得到的函数,都是一次函数. 讲 授 新 课 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4； (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx； (6)y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1)是一次函数，不是正比例函数. (2)不是一次函数，也不是正比例函数. (3)是一次函数，也是正比例函数. (4)是一次函数，也是正比例函数. (5)不是一次函数，也不是正比例函数. (6)是一次函数，也是正比例函数． 针 对 练 习 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零. 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数 项为零． 注意：正比例函数是特殊的一次函数. 新 知 小 结 例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是 否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与 行驶时间x(h)之间的关系； 解：由“路程=速度×时间”，得y=60x ，y是x的一次函 数，也是x的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得y=x2，y不是x的正比例函数， 也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 典 例 精 析 解：这个水池1 h增加5 m3水，x h增加5x m3水， 则y=15+5x， y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. （3）某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度 为 5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 典 例 精 析 例2 已知函数y＝(m－5)x－24＋m＋1. 解：（1）∵y＝(m－5)x－24＋m＋1是一次函数， ∴m2－24＝1且m－5≠0， 解得m＝－5. ∴当m＝－5时，函数y＝(m－5)x－24＋m＋1是一次函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求m的值． 典 例 精 析 解：(2)∵y＝(m－5)x－24＋m＋1是正比例函数， ∴m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0， ∴m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， ∴函数y＝(m－5)x－24＋m＋1不可能是正比例函数． 解题技巧：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数． 典 例 精 析 1.判断: (1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.（ ） (2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ） √ √ 2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函 数；当m 时，y是x的正比例函数. ≠2 =-2 随 堂 检 测 3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m的值. 4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值. 解：根据题意，得∣m∣=1， 解得m=±1. 但m-1≠0，即m≠1， ∴m=-1. 解：根据题意，得m2-9=0， 解得m=±3. 但m-3≠0，即m≠3， ∴m=-3. 随 堂 检 测 5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元.小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本. (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式； (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式； (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? 解：(2)y2=0.4x+12. 解：(1)y1 =x. 解：(3)由x=0.4x+12知，当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时，会员卡租书方式合算. 随 堂 检 测 6．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 m3的部分，自来水公司按每立方米2元收费；超过5 m3的部分，按每吨立方米2.6元收费.设某用户月用水量x m3，自来水公司应收的水费为y元. （1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式； （2）该户今年5月份的用水量为8 m3，自来水公司应收水费多少元？ 解:（1）当x≤5时，y＝2x； 当x＞5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3. （2）因为8＞5，所以自来水公司应收水费2.6×8－3=17.8（元）. 随 堂 检 测 一次函数的概念 一次函数 正比例函数的概念 函数关系式的确定 课 堂 总 结 16.3.2 第1课时 一次函数的图象（1） 1.掌握一次函数的图象的画法及特征.（重点） 2.能够正确进行一次函数图象的平移.（难点） 学 习 目 标 1.下列函数： 2.函数有哪些表示方法? 图象法、列表法、解析法 一次函数有 ，正比例函数有 . (2),(4) (2) 三种方法可以相互转化 它们之间有什么关系? 3.你能将解析法转化成图象法吗? 一次函数的图象是什么形状? 复 习 导 入 知识点1 一次函数的图象 前面，我们已经学习了用描点法画函数的图象，分为三个步骤： ①列表 ②描点 ③连线 那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？ 讲 授 新 课 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 o -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 x y 1 y=－2x＋1 描点、 连线. 一次函数的图象 是什么？ -1 列表 x –2 –1 0 1 2 y=－2x+1 5 3 1 –1 –3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 例1 画出一次函数y=－2x＋1的图象. 典 例 精 析 在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： 做一做 合 作 探 究 1 -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 0 观察所画的这些一次函数的图象，你能发现什么? x y 思考：几个点 可以确定一条直线？画一次函数的图象时，只需要取几个点？ 合 作 探 究 一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的图象是一条直线. 通常也称为直线y=kx+b. 特别地，正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线. 因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了. 概括 讲 授 新 课 知识点2 两个一次函数图象之间的位置关系 . . . . x y 2 O . . . 请大家用描点法在同一坐标系内画出一次函数y=x+2，y=x-2的图象. x … -2 -1 0 1 2 … y=x+2 … … y=x-2 … … 0 -3 1 -4 2 -2 3 -1 4 0 . . . y=x+2 y=x-2 观察它们的图象有什么特点？ 思考 合 作 探 究 y=x y=x+2 y=x-2 y 2 O x 2 ● ● 观察三个函数图象的平移情况： 把一次函数y=x+2，y=x-2的图象与y=x 比较，发现： 1.这三个函数的图象形状都是 ， 并且倾斜程度______． 2.函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2 的图象与y轴交于点 ，即它可 以看作由直线y=x向 平移______ 个单位长度得到．函数y=x-2的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=x向____平移____个单位长度得到． 直线 相同 （0，2） 上 2 （0，-2） 下 2 讲 授 新 课 比较三个函数的解析式， 相同, 它们的图象的位置关系是 . 自变量系数k 平行 y=x+2，y=x-2，y=x 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）. 下 上 新 知 小 结 (1)将直线y＝2x向上平移2个单位长度后所得图象对应的函数表达式为(　　) A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2 (2)将正比例函数y＝－6x的图象向上平移，则平移 后所得图象对应的函数表达式可能是__________ (写出一个即可)． D y＝－6x+3 针 对 练 习 观察“做一做”中画出的 两个一次函数 与 的图象，并说说两函数图 象有什么共同点与不同点？ 问题1 1 -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 O 共同点：两个一次函数互相平行，倾斜程度一致 y x 不同点：两个一次函数与y轴的交点不一样 合 作 探 究 观察“做一做”中画出的 两个一次函数 与 的图象，并说说两函数图 象有什么共同点与不同点？ 问题2 1 -1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 O y x 共同点：两个一次函数都经过点（0，2) 不同点：两函数的倾斜程度不一样 合 作 探 究 观察函数的关系式及其图象，填写下表. y=3x y=3x+2 关系式 图 象 y=3x y=3x+2 相同点： 不同点： 相同点： 不同点: y=3x+2 相同点： 不同点： 相同点： 不同点： k相同 b不同 倾斜度一样（平行） 与y轴的交点不同 b相同 k不同 都与y轴交于点(0，2) 倾斜度不一样（不平行） 讲 授 新 课 y=3x y=3x+2 根据以上的分析，可以得出： （1）如果k1= k2 ，那么这两条直 线会________. （2）如果b1 = b2 ，那么这两条直 线会与y轴______________. 平行 相交于同一个点 特例：如果b=0，那么（正比例） 函数y=kx的图象一定经过点 （__，__），即______. 0 0 原点 新 知 小 结 例2 分别在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象： ⑴y=2x与y=2x+3； ⑵y=2x+1与 x y=2x 0 1 0 2 x y=2x+3 0 -1 3 1 x y=2x+1 0 1 1 3 x 0 2 1 2 y=2x y=2x+3 y=2x+1 典 例 精 析 例3 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出 它们有什么关系： ⑴ y= － 2x； ⑵ y= －2x－4. x y=－2x x y= － 2x － 4 0 0 1 － 2 0 － 4 － 2 0 y=－2x y =－2x－ 4 典 例 精 析 y=－2x y= － 2x － 4 观察直线 y=－2x与y= － 2x － 4，可以知道，它们______________，并且第二条直线可以看作由第一条直线向____平移____个单位长度得到. 互相平行 下 4 典 例 精 析 1.在直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2中，如果k1=k2，那么这 两条直线_____，并且其中一条直线可以看作是由另 一条直线_____得到的；如果b1 = b2 ，那么这两条直 线会与y轴相交于_______.特别地，如果b=0，那么函 数的图象一定经过点（__，__）. 平行 平移 同一点 0 0 2.直线y=kx+b向上平移n个单位长度，得到直线 y=kx+b+n； 直线y=kx+b向下平移n个单位长度，得到直线 y=kx+b－n. 新 知 小 结 1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它 们有什么关系： （1）y=－2x－4; （2）y=－2x. y=－2x y=－2x－4 两函数图象平行. 2.直线y=3x-2可由直线y=3x向 _ 平移 个单位长度得到. 3.直线y=x+2可由直线y=x-1向 平移 个单位长度得到. 下 2 上 3 随 堂 检 测 4.下列函数草图是否正确，如果错误，应如何画？为什么？ y=1.5x y x O y=-2x+3 y x y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚ y x y=－2x+3 x y O 解：错误，如右图： x y O 解：错误，如右图： y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚ 解：错误，如右图： y=1.5x x y O O O 随 堂 检 测 一次函数的图象 一次函数的图象 两个一次函数图象之间的位置关系 课 堂 总 结 16.3.2 第2课时 一次函数的图象（2） 1.会求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，初步感悟函数与方程的关系.（重点） 2.能正确画出具有实际意义的一次函数图象.（难点） 学 习 目 标 1.一次函数y=kx+b的图象是什么图形？ 2.几个点可以确定一条直线？ 两点确定一条直线. y=kx+b的图象是一条直线. 两个点. 3.画一次函数图象时，只取几个点就可以了？ 你取的是哪几个点？和同学比较一下，怎样取比较简单. 思考 复 习 导 入 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 作出一次函数 y=－2x+5的图象. 列表： x … 0 2.5 … y=-2x+5 … … 0 5 描点、连线. A B y=-2x+5 y x 取坐标轴上的点或坐标是整数的点比较简单. 知识点1 一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征 问题1 合 作 探 究 1.一次函数 y = k x + b(k≠0) (1) 当 x = 0 时，y =0 · k + b = b， 所以一次函数 y = k x + b 经过点 ( 0 ，b ) . (2) 当 y = 0 时，k x + b = 0，x = 所以一次函数 y = k x + b 经过点( ， 0). 2.一次函数 y = k x + b (k≠0)是经过点 ( 0，b )和 ( ，0)的一条直线. 合 作 探 究 因为正比例函数是一次函数y=kx+b，当b=0时的特殊情况， 所以正比例函数y=kx是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线，即正比例函数过原点. 合 作 探 究 例1 求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线. 解：直线与x轴的交点 为 与y轴的 交点为（0，-3）. 过两点画出直线如图. -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x 1 y y=-2x-3 典 例 精 析 例2 如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)求A、B两点的坐标； 解：(1)令y＝0，得x＝ ∴点A的坐标为 令x＝0，得y＝3， ∴点B的坐标为(0，3)． (2)过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP 的面积． 典 例 精 析 (2)设点P的坐标为(x，0)，则x＝±3， ∴点P的坐标为P1(3，0)、P2(－3，0)， ∴S△ABP1＝ × ×3＝ ， S△ABP2＝ × ×3＝ ， ∴△ABP的面积为 或 . 典 例 精 析 直线y=kx+b （k≠0）与 坐标轴的交点 注意：|b|， 是直线y＝kx＋b(k≠0)与坐标轴的两交点和原点构成的直角三角形的两直角边的长． 与x轴的交点坐标为 与y轴的交点坐标为（0，b） 方程kx+b=0的解是x= 新 知 小 结 小波同学带10元钱去文具店买笔芯，已知每支定价1元8角，写出买笔芯后剩余的钱y(元)与买笔芯的数量x(支)之间的函数关系式，并画出函数的图象． 知识点2 画实际问题中的一次函数图象 解：根据题意，得函数关系式 为y＝10－1.8x，x的范围是 0≤x≤ ，且x为整数，故 函数的图象为一条线段上间 断的点. 问题2 讲 授 新 课 例3 汽车距北京的路程s（千米）与汽车在高速公路上行驶的时间t（时）之间的函数关系式是s=570-95t，试画出这个函数的图象. 分析：在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系. 典 例 精 析 O 190 285 1 2 3 t(时) 95 4 5 6 7 380 475 570 s（千米） 当s=0时，t=6. 又t≥0，所以自变量t的取值范围为 0≤t≤6. 函数的图象是一条线段. 画出这个函数的图 像，并讨论： 这里自变量t 的取值范围是什么？函数的 图象是怎样的图形？ 典 例 精 析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象： 当x≤a或x≥a时，函数y＝kx＋b的图象是射线； 当a≤x≤c(a<c)时，函数y＝kx＋b的图象是线段； 当x取几个整数时，函数y＝kx＋b的图象是一条直线上的几个点． 一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线、一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的____________，因此在解题时应具体问题具体分析． 取值范围 新 知 小 结 1.请画出函数y=x-1与函数y=-2x-1的图象. 解： y=-2x-1 x 0 1 y=x-1 -1 0 y x o 1 2 -1 -2 -1 -2 1 2 y=x-1 x 0 - — y=-2x-1 -1 0 1 2 随 堂 检 测 2.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元.观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算． ＞1500 随 堂 检 测 3.今有一根弹簧，不悬挂重物时的长度为12 cm，悬挂的重物每增加1 kg(重物不超过8 kg)，弹簧的长度就增加0.5 cm.写出弹簧的长度y(cm)和悬挂物的质量x(kg)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围，并画出 这个函数的图象. 解:由题意，得函数关系式为 自变量 x 的取值范围为0≤x≤8.函数图象如图： y O 12 16 x 随 堂 检 测 4.试说明无论m为何值，函数y = (m+1)x + 2m﹣6的图象都过某一定点. 解：由y = (m+1) x + 2m﹣6， 得 y -x+6= (x+2)m. 令y -x+6=0 ，x+2=0， 得 x=-2 ，y=-8. 所以，无论m为何值，函数y =(m+1)x +2m﹣6的图象都过点(-2，-8). 随 堂 检 测 与坐标轴的交点 一次函数的图象 与x轴的交点是(-，0)与y轴的交点是（0，b） 实际问题中的一次函数 自变量的取值范围决定函数图象 课 堂 总 结 16.3.3 一次函数的性质 1.掌握一次函数的性质．（重点） 2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．（难点） 学 习 目 标 1.一次函数图象有什么特点？ 2.作出一次函数图象需要描出几个点？ 只需要描出2个点. 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，直线上所有点的坐标都满足表达式y=kx+b. 一般选直线与两坐标轴的两交点，即(0，b)和 复 习 导 入 知识点1 一次函数的性质 在同一坐标系中作出下列函数的图象. （1） （2） （3） -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x y 1 函数值随x值的变化而怎样变化？ 画一画1 合 作 探 究 在同一坐标系中作出下列函数的图象. （1） （2） （3） -3 o -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x y 1 画一画2 思考：函数值随x值的变化而怎样变化？ 合 作 探 究 在一次函数y=kx+b中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 由此得到一次函数性质： 新 知 小 结 例1 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象 上的两点，下列判断中，正确的是( ) A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2 B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2 D 分析:根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D正确． 典 例 精 析 例2 画出直线 和 的图象， 并分析图象的特征. -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x 1 y 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升. 典 例 精 析 当k＜0时，y随x的增大而_____，这时函数的图象从左到右_____． -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x y 1 4 y减小 x增大 减小 下降 例3 画出直线 和 的图象，并分析图象的特征. 思考：k、b的值跟图象有什么关系？ 典 例 精 析 k 0，b 0 > > k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 > > > < < < < < = = 根据一次函数的图象判断k、b的正负，并说出直线经过的象限： 知识点2 直线y=kx+b 的位置与k,b 的关系 合 作 探 究 当k＞0时，直线y=kx＋b从左到右逐渐上升， y随x的增大而增大. 当k＜0时，直线y=kx＋b从左到右逐渐下降， y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过 第一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 一次函数y=kx＋b中，k、b的正负对函数图象及性质有什么影响？ 合 作 探 究 两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　) C 针 对 练 习 例4 已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1). (1)当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？ (2)当k满足什么条件时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点？ 解：由题意，得2k-1＞0，解得k＞0.5. 故当k＞0.5时，y随x的增大而增大. 解：由题意，得2k+1=0，解得k=-0.5. 故当k=-0.5时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点. 典 例 精 析 (3)当k满足什么条件时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与y轴的交点在x轴的下方？ (4)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小且函数图象与y轴的交点在x轴的上方？ 由题意，得2k+1＜0，解得k＜-0.5.故当k＜-0.5时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与y轴的交点在x轴的下方. 由题意，得2k-1＜0，且2k+1＞ 0，解得-0.5＜k ＜0.5. 故当-0.5＜k ＜0.5时，y随x的增大而减小且函数图象与y轴的交点在x轴的上方. 典 例 精 析 例5 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1，求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限. 解：(1)由题意，得1-2m>0，解得 (2)由题意，得1-2m≠0且m-1<0，解得 (3)由题意，得1-2m<0且m-1<0，解得 典 例 精 析 例6 某面食加工部每周用10 000元流动资金采购面粉及其他物品，其中购买面粉的质量在1500 kg-2000 kg之间，面粉的单价为3.6元/kg，用剩余款额y元购买其他物品.设购买面粉的质量为x kg. (1)求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 解: (1)由题意，得购买面粉的资金为3.6x元，总资金为10 000元，则3.6x+y=10 000，所以该函数关系式为 y=-3.6x+10 000，其中x的取值范围是1500≤x≤2000. 典 例 精 析 (2)求出购买其他物品的款额 y 的取值范围. （2）因为y=-3.6x+10 000，k=-3.6<0，所以y随x的增大而减小. 因为1500≤x≤2000， 所以y的最大值为 -3.6×1500+10 000=4600； 最小值为 -3.6×2000+10 000=2800. 故y的取值范围为2800≤y≤4600. 典 例 精 析 1.下列函数中，y随x的增大而增大的函数是 （ ） A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2 C 2. 一次函数y=(m2+1)x-2的大致图象可能为（ ） C A B C D 随 堂 检 测 4.已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，当m是什 么数时，函数值y随x的增大而增大？ 解：由题意，得2m-1>0，解得m＞ ∴当 　　时，函数值y随x的增大而增大. 3.点A(-1，y1)、B(3，y2)是直线y=kx+b(k<0)上 的两点，则y1-y2 0.(填“>”或“<”) > 随 堂 检 测 5.已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围. 解： 由题意，得 解得 ∴ m的取值范围为 1-2m＞0， m-1＜0， 6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 . 解: 由题意，得 解得 又∵m为整数， ∴m＝2. m＜. m＜. 随 堂 检 测 一次函数的性质 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 课 堂 总 结 16.3.4 求一次函数的表达式 1.理解和掌握用待定系数法求一次函数的表达式，了解待定系数法的思维方式与特点.（重点） 2. 明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实. 3.通过对一次函数图象和性质的研究，体会数形结合思想在解决问题中的作用，并能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．（难点） 学 习 目 标 　　前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数表达式吗？如何画出它们的图象？ 两点法——两点确定一条直线 反过来，已知一个一次函数图象经过的两个具体的点，你能求出它的表达式吗？ 思考 复 习 导 入 引例 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与 其下滑时间t(s)的关系如右图所示： (1)请写出v与t的关系式； (2)下滑3 s时物体的速度是多少？ v (m/s) t(s) O 解：（1）v=2.5t. （2）2.5×3=7.5 (m/s)， 即下滑3 s时物体的速度是7.5 m/s. 5 2 知识点1 用待定系数法求一次函数的表达式 讲 授 新 课 例1 求正比例函数 的表达式． 解：由正比例函数的定义，得 m2－15＝1且m－4≠0， ∴m＝－4， ∴y＝－8x. 解题技巧：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 典 例 精 析 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 一个 两个 想一想 合 作 探 究 88 如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1）、 Q（1，1）两点，怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 讲 授 新 课 89 一次函数的一般形式是y=kx+b（k、b为常数，k≠0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）. 函数表达式 y=kx+b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象 直线l 选取 解出 画出 选取 讲 授 新 课 因为P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上， 因此它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该式，得到一个关于k、b的二元一次方程组： 解这个方程组，得 所以，这个一次函数的表达式为 y = 2x- 1. 讲 授 新 课 这种先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 待定系数法： 讲 授 新 课 例2 温度计是利用水银(或酒精)热胀冷缩的工作原理制作的，温度计中水银(或酒精)柱的高度y(厘米)是温度x(℃)的一次函数. 某种型号的实验用水银温度计能测量-20 ℃至100 ℃的温度,已知10 ℃ 时水银柱高10厘米，50 ℃时水银柱高18厘米，求这个函数的表达式. 知识点2 一次函数的表达式的应用 典 例 精 析 解：设所求函数表达式为y=kx+b(k≠0), 根据题意，得 10k+b=10， k=0.2， 50k+b=18， b=8. 所以，所求函数表达式是y=0.2x+8,其中x的取值范围是-20≤x≤100. 解得 分析:已知y是x的一次函数,它的表达式必有y=kx+b(k≠0)的形式,问题就归结为求k和b的值.两个已知条件实际上给出了x和y的两组对应值:当x=10时,y=10;当x=50时,y=18.分别将它们代入关系式y=kx+b,进而求得k和b的值. 典 例 精 析 例3 如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？ 解：设函数表达式为y=kx+b. 由题意，得 解得 4k+b=5， 5k+b=2， 所以，函数表达式为 y=-3x+17，图象如图所示. k=-3， b=17. 这里将求函数表达式问题转化为解方程（组）来解决. 典 例 精 析 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b. 2.将已知条件代入上述表达式中，得到关于k、b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组，求得k、b. 4.写出一次函数的表达式. 新 知 小 结 1.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=______. 2.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），则这个函数的表达式为____________. 3 y=2x+5 针 对 练 习 例4 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式． 解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x， 一次函数的表达式为y2＝k2x＋b. ∵点A(4，3)是它们的交点， ∴代入上述表达式中， 得3＝4k1，3＝4k2＋b，∴k1＝ 即正比例函数的表达式为y＝ x. 典 例 精 析 ∵OA＝ ＝5，且OA＝2OB， ∴OB＝ . ∵点B在y轴的负半轴上， ∴点B的坐标为 又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上， ∴ ＝b. 代入3＝4k2＋b中，得k2＝ . ∴一次函数的表达式为y2＝ x－ . 典 例 精 析 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正 确的是( ) A．k=2　　B．k=3　　C．b=2　　D．b=3 D y x O 2 3 随 堂 检 测 2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: 　(1)b=______,k=______； (2)当x=30时，y=_____； (3)当y=30时，x=______. 2 -18 -42 l x y 随 堂 检 测 3.已知一次函数的图象经过(0，5)，(2，－5)两点， 求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b. 根据题意，得 ∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. 随 堂 检 测 解：设直线l为y=kx+b. 　　∵l与直线y=-2x平行， ∴k= -2. 又∵直线l过点（0，2）， ∴b=2， ∴直线l的表达式为y=-2x+2. 4.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)， 求直线l的表达式. 随 堂 检 测 5.在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度. 解：设y=kx+b(k≠0)，则 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5. 当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5. 故当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为16.5厘米. 随 堂 检 测 104 2.列：根据已知条件列出关于k、 b的方程组 1. 设：设所求的一次函数表达式 为y=kx+b 3. 解：解方程，求出k、b 4. 代：把求出的k、b代回表达式 即可 用待定系数法求一次函数的表达式 课 堂 总 结 $