1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，通过猜谜语引出三角尺，复习直角三角形三角函数定义，引导学生观察三角尺锐角，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于以“做一做”“想一想”引导学生动手测量三角尺边长计算函数值，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），结合秋千摆动、树高测量等实例构建模型解决问题，发展模型意识（数学语言），中考专练强化运算与推理（数学思维）。学生能深化理解与应用，教师可获得结构化教学素材提升效率。

北师大版数学9年级下册培优备课课件 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 第一章 直角三角形的边角关系 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07日 . 1 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖，  3个头，尖尖角，我们学习少不了. 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 45° 45° 90° 60° 30° 90° 思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？ 复习导入 如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°. 思考：sinA和cosB，有什么关系? sinA=cosB tanA和tanB，有什么关系? tanA·tanB=1 b A B C a ┌ c 探究新知 观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 45° 45° 60° 30° （1）sin30°等于多少？你是怎样得到的？（2）cos30 °等于多少？ tan30 °呢？ 45° 45° 60° 30° 探究新知 想一想 利用45 °角的直角三角尺，测量出30 °角的直角三角尺的三条边的长度，就可以分别计算出sin30 ° 、cos30 °和tan30 °的值. （1）60 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的? （2）45 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的? 探究新知 45° 45° 60° 30° 做一做 利用求30 °角的三角函数值相同的方法，可以分别求得60 °角和45 °角的三角函数值. （3）完成下表： 三角 函数 角α 三 角 函 数 值 sinα cosα tanα 30° 45° 60° 返回 C 1. tan 30°的值等于(　　) 中考考法 9 返回 2. A 如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B＝30°，∠C＝90°，则sin A的值为(　　) 中考考法 10 例题详解 例1 计算: （1）sin30 ° + cos45 °； （2）sin260 ° + cos260 ° －tan45 °. 解:（1）sin30 ° + cos45 ° （2）sin260 ° + cos260 ° －tan45 ° sin260°表示(sin60°)2 cos260°表示(cos60°)2 例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆过的角度∠BOD恰好为60 °，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). 例题详解 O B A D C 2.5m 60° 解: 如图，由题意可知，∠AOD= ×60°=30 °， OD = 2.5m， ∴ OC = OD·cos30 ° =2.5× ≈ 2.165(m). ∴ AC = 2.5－2.165 ≈ 0.34(m). 即最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 返回 3. A 中考考法 返回 4. 如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则tan ∠ABC＝________. 中考考法 1. 计算: （1）tan 45°－sin 30°； （2）cos 60°＋ sin 45°－ tan 30°； （3）6 tan2 30°－ sin 60°－ 2 cos 45°. 随堂练习 随堂练习 2. 如图，河岸 AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，桥长12 m，在C处看桥两端A，B，夹角∠BCA=60°，求B，C间的距离（结果精确到1 m）. 随堂练习 3. 如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB =120°，AB=54，求SO的长. 随堂练习 4. 如图，身高1.75 m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A=30° )，已知她与树之间的距离为5m，那么这棵树大约有多高?(结果精确到0.1 m) 随堂练习 随堂练习 5.如图，一段长1500 m的水渠，它的横截面为梯形ABCD，其中AB//CD，BC=AD，渠深AE=0.8 m，底AB= 1.2 m，坡角为45°，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米? 随堂练习 解：∵AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F， ∴AE//BF . 又∵AB//CD， ∴四边形ABFE为平行四边形. ∵∠AEF=90°， ∴四边形ABFE为矩形， 即AB=EF，且DE=CF. 在△BCF中，∵∠CBF = 45°，BF=0.8m， ∴CF=BFtan45°=0.8（m） ∴CD=DE+EF+FC=2.8（m） ∴四边形ABCD的面积S=1/2（AB+CD）∙AE =1/2×（1.2+2.8）×0.8=1.6（m²），则该段水渠最多能蓄水1.6×1500=2400（m³）. 随堂练习 6. 某阶梯的形状如图所示，其中线段AB=BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，AD = 1.5 m.如果每个台阶的高不超过20cm，那么这一阶梯至少有多少个台阶?(最后一个台阶的高不足20cm时，按一个台阶计算) 随堂练习 随堂练习 返回 5. (12分)计算： (1)tan 45° cos 45°－cos 30° sin 45°；   (2)sin 230°＋sin 260°＋1－tan 60°； 原式＝3－1－1＝1. 中考考法 返回 6. A 中考考法 返回 7. 30° 中考考法 返回 8. 等腰直角 中考考法 返回 9. [教材P10“习题1.3”第2题变式]如图，某学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出AC＝3 km，利用测量仪器测得∠A＝30°， ∠C＝90°，则学校与公园之间的直线距离AB等于________. 中考考法 29 10. (8分)如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD， BC＝2 m，∠C＝45°，∠BAD＝60°. (1)求旗杆AB部分的长； 中考考法 30 (2)求钢丝的总长度．(结果保留根号) 返回 中考考法 31 返回 11. B 中考考法 32 返回 12. D 中考考法 33 课堂小结 A．1 B． C． D． A． B． C． D．1 [2025天津中考]tan 45°－cos 45°的值等于(　　) A．0 B．1 C．1－ D．1－ 原式＝＋＋1－＝2－. (3)tan 260°－2cos 60°－sin 45°. 解：原式＝1×－×＝. 已知α为锐角，且cos α＝，则α等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 已知α是锐角，sin (90°－α)＝，则α＝________. △ABC中，若＋(1－tan B)2＝0，则△ABC是________三角形. 2 km 解：在Rt△ABC中，tan C＝， ∴AB＝BC·tan C＝2×1＝2(m)． 解：∵AB＝BC＝2 m，AB⊥CD， ∴AC＝＝＝2(m)， ∵在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠D＝30°. ∴AD＝2AB＝2×2＝4(m)， ∴钢丝的总长度为m. 点P关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为(　　) A． B． C． D．以上答案都不对 如图，某天桥高AB＝5 m，BC是通向天桥的斜坡， ∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　) A．1.59 m B．2.07 m C．3.55 m D．3.66 m $