2026年陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》第22卷 立体几何（3）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年陕西省职教单招数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是职教高考复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共40份试卷，本卷是陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》的第22卷，是专题模拟卷。 2026年陕西省职教单招 第22卷 立体几何（3） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若三棱锥一个底面上的三条边长都为6，其余三条棱长都为4，那么此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得此三棱锥为正三棱锥，在直角三角形中，求出三边长度，结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】 因为三棱锥一个底面上的三条边长都为6，其余三条棱长都为4， 故三棱锥为正三棱锥，，， 作平面，垂足为，延长交于点， 所以， 所以， 所以. 故选：C 2．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可解得. 【详解】如图，为棱的中点，为正的中心，为外接球的球心， 根据直棱柱外接球的性质可知，，外接球半径， ∵正的边长为6，则，是的外接圆，, 则，即， 得到， ∴， 外接球的表面积； 故选：D． 3．已知是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（ ） A．则 B．则 C．，则 D．，则 【答案】D 【分析】利用线面关系的性质定理和判定定理对选项分别分析即得． 【详解】已知是两条直线，是一个平面， 对于A，则，故A错误； 对于B，则或者异面，故B 错误； 对于C，，则与位置关系不确定，故C错误； 对于D，满足线面平行的判定定理，，则，故D正确． 故选：D． 4．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A．2 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论圆柱底面的周长的组成情况，利用圆的周长公式即可得解. 【详解】如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长， 则，所以； 同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则，所以. 故选：C. 5．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定，二面角的定义即可求解. 【详解】对A，因为，所以平面， 又平面，所以，因为平面平面， 所以为平面与平面的平面角， 因为是锐角三角形，所以， 所以平面与平面不垂直，故A错误. 对B，若平面平面，则平面内要有直线垂直平面， 因为，，则平面内找不到直线垂直平面， 所以平面平面不成立，故B错误. 对C，因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确. 对D，因为，所以平面， 因为与平面交于点，故平面内找不到直线垂直平面 所以平面和平面不垂直，故D错误. 故选：C. 6．设为两条直线，为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据线面之间的关系，利用判定定理和性质定理，即可判断. 【详解】A.若，，，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，故A中的命题为真命题，错误； B.若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，故B中的命题为真命题，错误； C.若，，，则可能相交，可能平行，故C中的命题为假命题，正确； D.若，，，则的法向量平行，所以，故D中的命题为真命题，错误； 故选：C. 7．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质以及线段之间的数量关系求解即可. 【详解】过作交于，连接，    因为，∴，故共面， 因为 平面 ，平面平面 ，平面，所以， 又，∴四边形为平行四边形， 又，∴，所以， 故选：B． 8．如图所示，在三棱锥中，，，，E为的中点，F为的中点. 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与直线平行. 其中所有真命题的编号是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐个分析即可. 【详解】已知在三棱锥中，E为的中点，F为的中点， 所以直线与直线平行，故④正确， 则直线与直线异面，故①正确， 直线与直线异面，故②错误， 直线与直线相交不垂直，故③错误， 故选：B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．在等腰中，，是平面的垂线段，，则点与的距离为 ． 【答案】 【分析】由线面垂直的判定与性质即可得解. 【详解】 在中，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则，连接. 因为平面，平面，所以. 又因为，. 所以平面. 因为平面. 所以. 所以为到的距离. 因为，，所以. 因为，所以. 所以点与的距离为. 故答案为：. 10．已知球的半径为，有两个平行平面截球所得截面面积分别等于与，则这两个平行平面的距离为 . 【答案】或 【分析】分别求出球心到两截面的距离，再考虑两平面在球心同侧或异侧即可求解. 【详解】不妨设截面面积等于，截面面积等于， 可得截面所在圆面的半径为，截面所在圆面的半径为， 对截面，如下图所示，球心与截面所在圆面圆心连线垂直截面， 在直角三角形中，，可求得. 即球心到截面的距离为. 同理可求，球心到截面的距离为. 当截面在球心同侧时，两个平行平面的距离为 此时截面的距离为. 同理，当截面在球心异侧时，截面的距离为. 故答案为：或. 11．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则 .    【答案】 【分析】连接，证明，进而求出. 【详解】连接，    在直二面角中，， 又，，， 所以，又， 则，又， 所以在中， . 故答案为：. 12．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为 （结果保留π）. 【答案】 【分析】根据题意，结合几何体的三视图，可求得圆锥的高和底面半径，继而求得母线长，结合圆锥的表面积公式，代入即可求解. 【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥，且高为4，底面圆的直径为6， 所以底面半径为， 所以母线为， 所以表面积. 故答案为：. 三、解答题:本大题共3小题，第13小题12分，第14、15小题14分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由圆锥的展开面求得底面半径，再利用圆锥的表面积公式和球的表面积公式即可得解； （2）根据圆锥的体积和球的体积公式求值即可. 【详解】（1）设圆锥的底面半径，即半球的半径为， 因为，且扇形的半径为， 则有，解得， 所以模具的表面积为 . （2）已知圆锥的母线长为，底面半径为， 则圆锥的高为， 该模型的体积为 . 即最多能装立方厘米的橡皮泥. 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，求异面直线与所成角的余弦值.    【答案】 【分析】将异面直线与转化为相交直线，再由余弦定理求解余弦值即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 则是的中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则有， 又，则是异面直线与所成的角或其补角， 因为，，则有， 设，则， ， 平面，平面，所以， ，， ,,， 故， 则异面直线与所成角的余弦值为.    15．如图所示，已知正三棱柱的体积为3，的面积为. (1)设点为棱的中点，求二面角的大小； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作的中点，连接，，根据等边三角形中线证明，由题可得，找到二面角的平面角，再由体积公式求，利用等面积公式求，从而得到平面角. （2）利用等体积法可得点到平面的距离. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，. ，点为的中点， . 又点是棱的中点， ，即是二面角的平面角. ， . 由及等边三角形面积公式可得，， ， 二面角的大小为. （2）由（1）知，，所以 ， ， ，即， ， 即点到平面的距离为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》，依托于近三年陕西省职教单招数学真题，以真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是职教高考复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共40份试卷，本卷是陕西省职教单招《数学45分钟模拟卷》的第22卷，是专题模拟卷。 2026年陕西省职教单招 第22卷 立体几何（3） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．若三棱锥一个底面上的三条边长都为6，其余三条棱长都为4，那么此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（ ） A．则 B．则 C．，则 D．，则 4．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A．2 B． C．或 D．或 5．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 6．设为两条直线，为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时，的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在三棱锥中，，，，E为的中点，F为的中点. 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与直线平行. 其中所有真命题的编号是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．在等腰中，，是平面的垂线段，，则点与的距离为 ． 10．已知球的半径为，有两个平行平面截球所得截面面积分别等于与，则这两个平行平面的距离为 . 11．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则 .    12．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为 （结果保留π）. 三、解答题:本大题共3小题，第13小题12分，第14、15小题14分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，求异面直线与所成角的余弦值.    15．如图所示，已知正三棱柱的体积为3，的面积为. (1)设点为棱的中点，求二面角的大小； (2)求点到平面的距离. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $